新高考数学一轮复习讲义：能力拓展之函数的综合应用（原卷版+解析）

能力拓展02函数的综合应用

【命题方向目录】

命题方向一：函数与数列的综合

命题方向二：函数与不等式的综合

命题方向三：函数中的创新题

命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）

命题方向五：倍值函数

命题方向六：函数不动点问题

命题方向七：函数的旋转问题

命题方向八：函数的伸缩变换问题

命题方向九：v型函数和平底函数

【典例例题】

命题方向一：函数与数列的综合

例1.（2023•全国•高三专题练习）己知数列｛与｝满足：4+1=/（%），aeN*,工。。是数列｛%｝的

前100项和，且满足<100,则不可能是（）

1

A./（x）=x9B.f（x）=x+——2

x

C.f（x）=ex-x-lD./（x）=lnx+%+l

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛〃“｝满足：0<弓<；,a"+i=%+ln（2-a“）.则下列说法正确

的是（）

C11,

A.0<。2019<2B.2<%019<1

33

C.1<%019<5D.5<々2019<2

例3.（2023•北京•高三校考强基计划）已知数列｛q｝满足q=gM"M=e""T（"eN*）,其中e=2.71828…，

记T,表示数列｛4｝的前w项乘积，贝U（）

1

A."wo<5B."loo>1

变式1.（2023•全国•高三专题练习）欧拉函数。（编（〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数"，且与"互

素（也称互质）的正整数的个数，例如°（1）=1,°（4）=2,夕（9）=6.则（）

A.数列｛。㈤｝单调B.。（5）＜°（6）

C.数歹（]｛°（2"）｝是等比数列D.0⑹=°（2）+以3）

变式2.（2023•北京•高三强基计划）已知实数％e[0,1）.数列｛%｝满足对任意的N*,有

*c1

2xn_1,xn_1＜~,

%=1现知%=%⑼，则可能的看的个数为（）

2x„_1-1,＞—.

A.2021个B.2血_1个C.2202i个口.以上答案都不对

命题方向二：函数与不等式的综合

例4.（多选题）（2023•山东潍坊•三模）已知函数"x）=ei-广工一sine,实数。满足不等式

n

〃2a）+〃a—l）＞0,贝壮的取值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

例5.（多选题）（2023•全国•模拟预测）已知了（。=。—2）e,，若正数满足/（x）＜y则下列不

等式可能成立的是（）

A.xy<y<lB.l<y<xy

C.y<xy<lD.xy<l<y

例6.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知正数明夕满足一丁＞马荔一^,则下

列不等式正确的是（）

114

A.—+—<-----

a/3a+(]

1111

C.Incr+a<In/7+/?D.一e+一a<二+一p

变式3.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）下列不等式成立的是（）

smlIn兀1

A.2<log2(sinl)B.-----<——

兀2.7

「20224+120225+l

D.log43<log65

20223+120224+1

变式4.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（力=尤3+x—sinr,实数小，〃满足不等式

/（2m-3n）+/（w-2）>0,则（）

nn+1

A.ra>e"B.—>-------

emm+1

C.In(m-zi)>0D.用2。21<〃2。21

变式5.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）若〃>6>1,则下列不等式中成立的是（）

A.aa>bbB.ab>ba

C.产修>。+6D.Inq<e"

命题方向三：函数中的创新题

例7.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里

一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数f（x）,在其定义域内

存在一点马，使得/（%）=%,则称不为函数/'（力的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（）

A./（x）=|lnx|B.f^x）=JC+2x+\

“f|2x+l|,x<0,、，.

C./（%）=SD./（x）=e+2x

lsinx,x>0'）

例8.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有"数学

王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用印表示不超过尤的最大整数，则丁=[幻称为

高斯函数，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.则下列说法正确的是（）

A.函数>=尤-[处在区间[匕左+1）（AreZ）上单调递增

B.若函数则>="（刈的值域为{0}

e-e

C.若函数/（x）=|Jl+sin2x—Jl—sin2x|,则y="（创的值域为。1}

D.xeR,x>[x]+l

例9.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）意大利画家列奥纳多・达•芬奇的画作《抱银鼠的女子》中,

女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出：固定项链的两端，使

其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题后人给出了悬链线的

函数解析式：/（尤）="cosh|jj,其中。为曲线顶点到横坐标轴的距离，coshx称为双曲余弦函数，其函

数表达式为coshx=相应地，双曲正弦函数的表达式为sinhx=三匚.若直线x="与双曲余弦

22

函数G双曲正弦函数G的图象分别相交于点A,B,曲线G在点A处的切线《与曲线G在点B处的切线/2相

交于点P,则下列结论正确的为（）

A.cosh（x-y）=coshxcoshy-sinhxsinhy

B.y=sinhxcosh尤是偶函数

C.（coshx）'=sinhx

D.若一R4B是以A为直角顶点的直角三角形，则实数％=0

变式6.（多选题）（2023•重庆永川•高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）中国传统文化中很多内容

体现了数学的"对称美"，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一

种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆。的圆心在原点，若函数的图像将圆。的周长和面积同时等分

成两部分，则这个函数称为圆O的一个"太极函数"，则（）

A.对于圆O,其"太极函数”有1个

B.函数/'（"=I"丁（："°入是圆0的一个"太极函数"

-x-x（x<0）

C.函数/（力=丁-3彳不是圆。的"太极函数"

D.函数〃尤）=ln（77W+x）是圆O的一个"太极函数"

变式7.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，

后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的

关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变

数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中

的函数定义："一般地，设A3是两个非空的数集，如果按某种对应法则了,对于集合A中的每一个元素X,

在集合8中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到8的一个函数下列对应法则了满足

函数定义的有()

A./(卜_2|)=尤B./(x+l)=x2+2x

D./(/+2%)=|%+1]

c-

变式8.(多选题)(2023•福建三明•高三三明一中校考阶段练习)若存在直线丁=履+3使得函数尸(力和

G(力对其公共定义域上的任意实数x都满足歹(%)>kx+b>G(x),则称此直线工丘+匕为尸(%)和G(x)

的“隔离直线〃，已知函数/(X)=X2(X£R),g(x)=-(x<0),"(%)=2elnx,下列命题为真命题的是()

x

F(x)=〃x)_g⑺在L，o]

A.内单调递增

B.和g(x)之间存在"隔离直线”,且6的最小值为-5

C.和g(x)之间存在"隔离直线"，且上的取值范围是[T0]

D.和〃(力之间存在唯一的"隔离直线"y=2疯-e

变式9.(多选题)(2023•江苏常州•高三江苏省前黄高级中学校考阶段练习)意大利著名画家列奥纳多•达・芬

奇(1452.4—1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出

不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是

什么？这就是著名的“悬链线问题"，后人给出了悬链线的函数解析式/(x)=acosh5,其中。为悬链线系数,

coshx称为双曲余弦函数，其表达式为coshx==J(其中e为自然对数的底数，下同)，相应地，双曲正

弦函数的表达式为sinhx=三匚.若直线％=皿机eR)与双曲余弦函数G和双曲正弦函数C?分别相交于

A,B,曲线G在点A处的切线与曲线C?在点B处的切线相交于点尸，则下列结论中正确的是()

A.cosh2x+sinh2x=lB.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

C.怛外随机的增大而减小D.X4B的面积随优的增大而减小

命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）

4

例10.（2023•浙江•高一期中）已知函数〃X）=ax+t+6（a力eR）在区间［1,4］上的最大值为〃，当M

取到最小值时则a+b2=.

例11.（2023•上海•高一专题练习）对于实数a,beR,函数〃尤）=水+g+b在区间xe［l,2］上的最大

值记为M（a,6）,M（a,b）的最小值为.

例12.（2023•全国•高三专题练习）已知函数=-4+2K一矶,当xe［0,4］时，/（%）

的最大值为M（a,b）,则的最小值为.

变式10.（2023•全国•高三专题练习）已知函数”力=,-4+段-矶当xe［O,2］,〃x）的最大

值为M（a,b）,则M（a,b）的最小值为

变式11.（2023•全国•高三校联考阶段练习）设函数/（力=卜3-6/+6+6］,若对任意的实数。和匕，总

存在修目0,3］,使得/（不）2加，则实数机的最大值为.

变式12.（2023唉国•高三专题练习）设函数〃x）=^-+ax+b，若对任意的实数。和实数b,总存在,

使得了（不）上切，则实数机的最大值是.

变式13.（2023•山东•高三校联考竞赛）设函数/U）=x2+如+b,对于任意的a,beR,总存在々［0,4］,

使得"⑺I..加成立，则实数m的最大值是.

变式14.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（力=|/+依+”在区间［0,4］上的最大值为m，当实数a,

方变化时，/最小值为当M取到最小值时，a+b=_.

命题方向五：倍值函数

例13.（2023•全国•高三专题练习）函数〃x）的定义域为，若存在闭区间［。回使得函数/（x）满

足：①“X)在,，国内是单调函数；②“X)在。句上的值域为［2a,2句,则称区间(，目为y=/(x)的"倍

值区间”.下列函数中存在"倍值区间"的有.

①/(工)=/(转0)；②〃x)=3工(xeR)；

③〃力=上心0)；④〃x)=W(xeR).

例14.(2023泗川绵阳高一绵阳中学实验学校校考期中)函数“X)的定义域为。，若存在闭区间［。肉U。，

使得函数满足：①〃x)在，，句内是单调函数；②在卜,句上的值域为［2。,2可，则称区间,,可为

，="X)的"倍值区间”.下列函数中存在"倍值区间"的有

①/(x)=x2(xZ0)②〃x)=e，(xeR)③/(加手/训

X+1

例15.(2023•宁夏•统考模拟预测)函数/⑴的定义域为。，若存在闭区间［凡切=。，使得函数了⑺满

足：①,⑺在他,切内是单调函数；②/⑴在团,田上的值域为3,2句，则称区间团,切为y=/(x)的"倍值区

间"，下列函数中存在“倍值区间"的函数有(填序号).

①/(x)=f(xzo)；

②/(x)="(xeR)；

x—4x

③/(尤)=下一;(尤20)；

X+1

④/(x)=loga(a'-1)(a>0,aw1)

o

变式15.(2023•山东临沂•高三阶段练习)函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间［a,b］UD,使得函数/(x)

满足：

(1)/(X)在［a,b］内是单调函数；

(2)fO)在［a,b］上的值域为［2a,2b］,则称区间［a,b］为y=f(x)的“和谐区间

下列函数中存在"和谐区间"的是(只需填符合题意的函数序号).

1Jr

①/(x)=/(xN0)；②/(x)="(xwR)；③/(元)=一(》>0)；(4)/(%)=—~-(x>0).

xx+1

变式16.(2023•全国•高三专题练习)函数“尤)的定义域为£>,若存在闭区间［。，句使得函数〃x)

同时满足：⑴〃尤)在［4,以内是单调函数；(2)/(尤)在心,可上的值域为［如祐］(左>0),则称区间,,以为

“X)的"左倍值区间”.下列函数：①〃x)=lnx；②〃力=?尤>0)；③,f(x)=x2(xZ0)；④

/(X)=金(04x41).其中存在“3倍值区间"的序号为.

变式17.(2023•内蒙古赤峰•高一统考期末)函数的定义域为D,若存在闭区间。仁。，使得函

数〃x)满足：①f(x)在心,句内是单调函数；②f(x)在,,可上的值域为［凡句，则称区间,,可为y=〃x)的

"等值区间"•下列函数中存在"等值区间”的有.

◎(%)=必

铀力=2,

(ly(x)=sinx

命题方向六：函数不动点问题

例16.(2023全国高三专题练习)设。是函数y=定义域内的一个区间，若存在x。e£>,使〃尤°)=-%,

则称与是的一个"次不动点"，也称在区间D上存在"次不动点"，若函数/(尤)=a？-3x-a+1■在

区间［1,4］上存在"次不动点"，则实数a的取值范围是()

A.弓，+8)B.(-8,JC.(--0)D.(0,1)

例17.(2023•全国•高三专题练习)若存在一个实数f,使得/(二)=/成立，则称f为函数尸(x)的一个不

动点.设函数g(x)=e*+(l-&)x-a(aeR,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足

/(-x)+/(x)=x2,且当x40时，广(%)<%.若存在不€卜|/0)+；,,/(1-幻+j，且与为函数g(x)的一

个不动点，则实数。的取值范围为()

(「八)(&厂］］&1

A.-oo,—B.一,+℃C.—"D.一,+»

2222

\JL7I」\7

例18.(2023•全国•高三专题练习)设函数f(x)=ln尤+gx-a(aeR),若存在be［l,e］(e为自然对数的底

数)，使得/'(70))=心，则实数。的取值范围是()

A.B.l--,ln2-l

2

C.-g,ln2-1

D.

2

变式18.（2023•全国•高三专题练习）设函数gO）=lnx+3x-a（aeR）,定义在R上的连续函数/（x）使

得y=/（x）-x是奇函数，当x<0时，/（x）<l,若存在/w{x"（无）+2W/（2-x）+2x},使得g[g（x（））]=%,

则实数。的取值范围为（）

A.[1,+oo）B.[2,+co）C.[e,+»）D.[3,+»）

变式19.（2023•河北衡水•河北衡水中学校考二模）设函数g（x）=eX+3x-a（aeR,e为自然对数的底数）,

定义在R上的连续函数〃x）满足：Z（-x）+/（x）=x2,且当x<0时，f\x）<x,若存在

x0e{x|/（x）+2>/（2-x）+2x）,使得g（g（x（）））=尤0,则实数。的取值范围为（）

A.[-<»,^+-\B.（^x）,e+2]C.I-oo,e+—

命题方向七：函数的旋转问题

例19.（2023•上海浦东新•高三上海师大附中校考阶段练习）函数/（无）=的图象绕着原

点旋转弧度6（。<。4万），若得到的图象仍是函数图象，则夕可取值的集合为.

例20.（2023•上海静安•高三上海市第六十中学校考阶段练习）函数/（X）=A/§X+L（X>0）的图象绕着坐标

X

原点旋转。（。<6<2万）弧度，若仍是函数图象，则e可取值的集合为

例21.（2023•全国•高三校联考阶段练习）将函数y=lnx的图象绕点（0,-1）逆时针旋转。*0名后

与>轴相切，则。=.

变式20.（2023•高一课时练习汜知函数于（x）=-（%>0）,若将函数图像绕原点逆时针旋转a角（0<夕<"）

X

后得到的函数y=g（x）存在反函数，则。的取值集合是

变式21.（2023•全国•高三专题练习）设函数丫=；为-1+；为-2+1.

（1）该函数的最小值为；

（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角e（owew1）得到曲线c.若对于每一个旋转角e,曲线c都

是一个函数的图象，则。的取值范围是.

变式22.（2023•全国•高三专题练习）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数.

⑴若了（尤）的图象绕原点逆时针旋转]后与原图象重合，则/⑴（填是或否）可能为1.

（2）若/（X）的图象绕原点逆时针旋转£后与原图象重合，则/（1）可能取值只能是.

6

①6②与③与④0

命题方向八：函数的伸缩变换问题

例22.（2023•天津北辰•高一天津市第四十七中学校考期中）定义域为R的函数“X）满足f（x+2）=2/（尤），

x2—X,XE[0,1）

当工£[0,2]时，/（%）=1…、八，若工£[4,6]时，2-4恒成立，则实数/的取值范围是

—（%—2）,x£[1,2]

sinTLX,0<x<2

例23.（2023•全国•高三专题练习）对于函数〃x）=<下列5个结论正确的是

①任取Q[0,+co），都有|〃%）-f（x2）\<2.

②函数>=AM在区间[4,5]上单调递增；

③/（x）=2Ex+2k）也6N*）对一切尤e[0,+8）恒成立；

④函数y=/（x）Tn（x-l）有3个零点；

⑤若关于x的方程f（x）=m（m<0）有且只有两个不同实根占,三，则%+3=3.

cos27tx,xe[0,1）

例24.（2023•全国•高三专题练习）对于函数/（尤）=1.、，下列5个结论正确的是

⑴任取和/e[0,4w）,都有|/（阳）-/（%）归2；

（2）函数y=〃x）在1,3上严格递减；

（3）〃x）=2*"x+A）（左©N*）,对一切xe[0,+oo）恒成立；

（4）函数y=/（x）+ln（x-l）有3个零点；

（5）若关于x的方程=m有且只有两个不同的实根毛，巧，则玉+々=1.

sinroc,xe[0,2]

变式23.(2023•北京•高三北京二中校考开学考试)对于函数/(尤)=1...、，下列4个结

5〃X-2)”(2,+8)

、乙

论正确的是.

①任取为,/e[0,+oo),都有|〃西)-〃龙2)归2；

②/(x)=2妙(x+2口(々eN*),对一切XW[0,~H»)恒成立;

③若关于尤的方程/(X)=m(m<0)有且只有两个不同的实根外,三,则%+9=3；

④函数>=/(x)-ln(x-l)有5个零点

sin7TX,0W尤W2

变式24.(2023•全国•高三专题练习)对于函数/(尤)=1”小、，下列五个结论中正确的是________.

一j(x—2),x>2

、2

3

(1)任取占,尤2e[l,+8),都有|/(占)-/(无2)区5;

⑵/出+U+/&+2力=2-，其中丘N；

(3)f(x)=2kf(x+2()(>eN*)对一切xe[0,+8)恒成立；

(4)函数y=/(x)-In(x-l)有3个零点；

(5)若关于x的方程/(x)=m(m<0),有且只有两个不同的实根毛、了2，则无i+%=3.

变式25.(2023•北京东城•高一统考期末)已知函数〃x)=2'

W(2)=.

(〃)若方程/(尤)=：%+。有且只有一个实根，则实数a的取值范围是.

变式26.(2023•北京东城•北京市第五中学校考模拟预测)设函数/(x)的定义域为R,满足/(尤+1)=

Q

2f(x),且当(0,1]时，/(x)=2N-2x.若对任意(-8,m],都有/(%)N-“则相的取值范

围是.

变式27.(2023•安徽黄山•高一屯溪一中校考期中)设函数/(力的定义域为R,满足/(x+l)=2/(x),

且当xe(O/]时，/(x)=x(l-x).若对任意xe(ro,间,都有了⑺二，则机的取值范围是.

O

变式28.（2023•高一单元测试）已知函数/（x）定义域为R,对于任意的x都有/（尤+4）=3/（x）,当无注-2,2]

-flt+11

——x£r—20]

时，/（尤）=⑴’，则f（4）=；若当—2,6]时，/⑺2〃一书恒成立，贝Ijt的取值范

|lgx|,xe（0,2]

围是.

命题方向九：V型函数和平底函数

例25.（上海市金山区2023届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题）若

/（x）=|x+l|+|x+2|++\x+2020|+|-X—l|+|x—2|++\x—20201,xeR,且/（。〜―3a+2）=f｛a—V）,

则满足条件的所有整数〃的和是.

例26.（上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列｛%｝满足：

\al\+\a214-----卜||=|4+11+14+11T-----卜|4+11=|%—11+1a2-1H----1|a”-11=2021,则正整数〃的最大值为

例27.（上海市上海中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）｛%｝为等差数列，则使等式

|%|+|%|+,+|。0|=1%+i|+|%+1|++1+1|

=|%+2|+&+2|+.+腐+2|=何+3|+&+3|++同+3|=2018能成立的数列｛4｝的项数〃的最大值为

变式29.（浙江省温州市苍南县树人中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）等差数列｛4｝满足：

|。1|+同+图+•+1a2O2o|=|%-1|+|4-1|+…+1a2020-1|=|4+R+|%+1|+|%+,++|%02（）+1|，则其公

差d的取值范围为.

变式30.（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））已知。eR,函数

4

f（x）=x+---a+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是

变式31.（上海市控江中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）｛4｝为等差数列，则使等式

|++|%J=+1]=+3]+3|+.+

\an+31=1^+51+1^+51++|«„+5|=2019能成立的数列｛%｝的项数〃的最大值是.

能力拓展02函数的综合应用

【命题方向目录】

命题方向一：函数与数列的综合

命题方向二：函数与不等式的综合

命题方向三：函数中的创新题

命题方向四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)

命题方向五：倍值函数

命题方向六：函数不动点问题

命题方向七：函数的旋转问题

命题方向八：函数的伸缩变换问题

命题方向九：v型函数和平底函数

【典例例题】

命题方向一：函数与数列的综合

例1.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛。“｝满足：ai=~>%+i=/(4)，«eN,,九。

是数列｛凡｝的前100项和，且满足则不可能是()

A./(x)=x2B./(x)=x+--2

X

C.f(x)=ex-x-lD.f(x)=lnx+x+l

【答案】D

O1

【解析】对于A,因为/(x)=Y,所以4包=(%)一，又q=5,所以数列｛4｝是递减数列，

因此有品>0<1004=50<100,故符合题意；

对于B,f(x)=x+~-2,可得a“+i=”“+^■—2,

xan

因为4=；，所以%=；+2-2=；,以此类推得a“=g,所以%。=50,故符合题意；

对于C,f(x)=ex-x-1,贝!J/(幻二?尢—1,Ovxvl时，/(x)=ex-l>0,

函数〃尤)在(0,1)单调递增，所以0=/(0)</(x)=e'-x-l<AD=e-2<l,

又q=g,—=/(%),〃eN*,所以所以有工皿<100,故符合题意；

对于D,因为/(x)=lnx+x+l,所以尸(无)=工+1,所以尤>0时，y,(x)=-+l>0,

XX

函数〃尤)在(0,+8)上的递增函数，又%=Tn2+；+le(0.8,0.9),

a3=lna2+a2+l>a2+2-->1.55,以此类推得几。>100,不符合题意，

故选：D

例2.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝满足：。"+1=%+ln(2—a“).

则下列说法正确的是()

C11,

A.0<a2019<—B.—<<22oi9<1

,33c

C.1<“2019<]D.5<°2019<2

【答案】B

【解析】设f(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),

11_V-

回尸(幻=1一。=。(0(尤<2)，

当用勾>。时,#0<%<1；则〃x)在(0,1)单调递增，

当((无)<0时，l<x<2,则函数在(1,2)上单调递减，

>/(x)</(l)=l,可得%<1,

^an+l-a„=ln(2-a„)>0,即数列｛。"｝为单调递增数列，

X/(O)=ln2=lnV4>lnVe=1,a2=/(^)>/(0)>1,

根据数列｛%｝单调性可得：0<q<：<的</<…<氏<<1，吟<。2019VL

故选:B.

fl1

例3.(2023•北京•高三校考强基计划)已知数列｛4｝满足％=1,G„+I=e"-(«eN*),其

中e=2.71828…，记[表示数列｛4｝的前”项乘积，贝U()

1,

A."io。<—B.4oo>1

【答案】C

11-1/、

【解析】因为％=巳40,1),g=62e(0,l),依次有

而an+i~an=e%~-%,设g(X)=e*T-x,xe(0,1),

则g，(x)=e1-1<0,故g(x)为(0,1)上的减函数,

故g（X）>g（l）=。即e、i>x,故见+i>%.

又因为e~”>1+1-%=2-g，故4+i=占<一一1,1

进而1--------<1+--,

e/一%1-an+l1_an

故"一一\<1，所以』<2+("l)xl="+l,所以a〈二.

1一%+11一%!-«„M+1

112991

XXX=

因此石-=«1<0100<1,0<7^9<23^'JOO100，

故选：C.

变式1.（2023•全国•高三专题练习）欧拉函数。（小（〃eN*）的函数值等于所有不超过正

整数”，且与几互素（也称互质）的正整数的个数，例如0（1）=1,。（4）=2,0（9）=6.则

（）

A.数列｛0⑺｝单调B.0（5）<。⑹

C.数歹小（2"）｝是等比数列D.必6）=°（2）+。⑶

【答案】C

【解析】以3）=2,以4）=2,9（"）不单调，A错;

0（5）=4,0（6）=2片0（2）+°（3）=3,B错误；D错误；

易知所有偶数与2"不互素,所有奇数与2■互素,O（2"）=2"T,火2向）=2",

所以=即数列加（2"）｝是等比数列,C正确.

故选：C.

变式2.（2023•北京•高三强基计划）已知实数/e2,1）.数列｛七｝满足对任意的〃eN*,

2X„_PVI

有%=］现知%=%⑼，则可能的％的个数为（）

2X,T>—.

A.2021个B.a?。'—1个C.22°21个D.以上答案都不对

【答案】B

二1

2x,x<—,

【解析】考虑函数/（尤）=21的迭代函数工（X）的图象与直线y=x的公共点，则所

2x—1,x之一

12

求％的个数即力⑼（X）的图象与直线y=x的公共点个数.

递推可得所求％的个数为2?必-1个.

故选：B.

命题方向二：函数与不等式的综合

例4.(多选题)(2023•山东潍坊•三模)已知函数/(x)=e'T-ei+—sin万龙，实数。满

71

足不等式/(2a)+/(a-1)>0,则〃的取值可以是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因为/(无)=17-小，+女sinitr,

71

・??、

所以/(2—x)=-e"T+—sin兀(2-x)=eKx-e^1——sinTLX=-/(x),

7171

所以〃尤)关于(1,0)对称，

-⑺=e^1+e1-x+2cos7tx>2ve^1-e1-x+2COSTLX=2+2COSTLX，

当且仅当e'T=ex-x,即x=1时等号成立，

又因-2W2cos7ctV2,所以广(x)20恒成立，则了⑺是增函数，

因为〃2a)+/(a-l)>0,所以/eaA-ySTn/G—a),

则2a>3-a=a>1.

故选：CD.

例5.(多选题)(2023峻国•模拟预测)已知2)e,，若正数苍y满足

则下列不等式可能成立的是()

A.xy<y<lB.l<y<xy

C.y<xy<\D.xy<l<y

【答案】ABC

【解析】/(r)=(r-2)e\.-.r(z)=(r-l)et,

当心(0,1)时,r⑺<0；当te(i,+8)时，r(?)>o；

.・・/⑺在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

对于A,若孙<y<l,由％>0,y>0可得：0<x<l<—,

y

H1131i

右x=2y二万，贝<o

y

即A可能成立，A正确;

对于B,若l<y<孙，由］>0,丁>。可得：°<一<1<%,

y

114fO5-9-

若7="xg则比卜『<0,“尤）=一声<0,

./W

15,.•./（x）</l-l,即B可能成立，B正确;

对于C,若y<w<l,则又〃。在（L+s）上单调递增,

即C可能成立，C正确;

对于D,若孙<l<y,则0<X<"<1,又广«）在（0,1）上单调递减,

.-./（x）>/Qy即D不可能成立，D错误.

故选：ABC.

例6.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知正数。，£满足

,则下列不等式正确的是（)

2a+sina2/?+sin/?

114

A.—+—<-----B.2»+i>2

apa+/3

1111

C.Ina+a<In乃+尸D.一+—一

a<Ur+§

【答案】BD

【解析】因为正数。，A满足—>右京一而而，

]

所以e“一构造函数/(%)=ex--———,%>0,

2a+sina2月+sin力2x+sinx

令g（%）=2x+sinx,g'（x）=2+cosx>0恒成立，所以g（x）在（0,+⑹上单调递增，

由复合函数的单调性可知g（%）=-「一在（。,+8）上单调递增,

所以〃x）=e=1.在（0,+s）上单调递增,由〃。）>〃?），可得£>#>0,

对于A,(工+1](々+£)=2+3+2>2+2、居花=4,所以，+故A错误;

(a0)'7{3a\/3aa/3a+13

对于B,由a>，>0,可得a-£+1>1,所以2ss乜>2，故B正确；

对于C,由a>，>0,可得lna>ln£,则lna+c>ln，+，，故c错误；

对于D,由e>”。，可得e“>e”。，”所以/</，所以/+%</+］故

D正确.

故选：BD.

变式3.（多选题）