2022-2024年高考数学试题分类汇编：三角函数（七大考点）（解析版）

三年真题2

4M07三角落数

目制鲁港。绢施留

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2022年新高考全国II卷数学真题

2024年新课标全国II卷数学真题

2022年新高考天津数学高考真题

考点1:三角函数的图像与

2022年新高考北京数学高考真题

性质：奇偶性、单调性、奇

2022年新高考全国I卷数学真题

偶性

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2024年上海夏季高考数学真题

2023年北京高考数学真题

2024年北京高考数学真题

考点2：值域与最值问题2024年高考全国甲卷数学（文）真题

2024年天津高考数学真题

2023年高考全国甲卷数学（理）真题

本节命题趋势仍是突出以三角

考点3：伸缩变换问题2022年新高考浙江数学高考真题

2024年新课标全国I卷数学真题函数的图像、周期性、单调性、

考点4：求

2023年新课标全国II卷数学真题奇偶性、对称性、最值等重点

j=Asin（&>x+（p）+k解析

2023年天津高考数学真题

式问题内容展开，并结合三角公式、

年新课标全国卷数学真题

2024II化简求值、平面向量、解三角

2022年新高考浙江数学高考真题

2023年新课标全国I卷数学真题形等内容综合考查，因此复习

年新课标全国卷数学真题

2023II时要注重三角知识的工具性，

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

考点5：三角恒等变换

2022年新高考全国II卷数学真题以及三角知识的应用意识.

2024年新课标全国I卷数学真题

2022年新高考北京数学高考真题

2023年北京高考数学真题

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

2023年新课标全国I卷数学真题

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

考点6：。与。的取值与范

2024年北京高考数学真题

围问题

2022年高考全国甲卷数学（文）真题

2022年高考全国甲卷数学（理）真题

考点7：弧长、面积公式2022年高考全国甲卷数学（理）真题

曾窟飨缀。阖滔运温

考点1:三角函数的图像与性质：奇偶性'单调性、奇偶性

(2九

1.(多选题)(2022年新高考全国n卷数学真题)已知函数/(%)=sin(2x+0)(O＜e＜7i)的图像关于点(三,0

中心对称，则()

5兀

A./(x)在区间［0,立J单调递减

711171

B./(%)在区间一有两个极值点

12'12

77T

C.直线X是曲线y=f(x)的对称轴

6

D,直线y=1-x是曲线y=/(无)的切线

2

【答案】AD

2兀=sin*+e47T

【解析】由题意得：f=0,所以——+(p=kn,k^Z,

33

4兀

即(p————Fkrc,%£Z,

9jr(2兀

又0＜。＜无，所以左=2时，^=—,故/(x)=sin12尤+

3

对A,当时，2x+52兀e2兀3兀5兀

，由正弦函数y=sin”图象知，=/(%)在0,上是单调递减;

33212

711171,_2兀715兀

对B,当一时，2x+G，由正弦函数y=sin〃图象知＞=只有1个极值点，由

12'122'2

2x+?=?，解得尤=得，即》=称为函数的唯一极值点;

7兀2,7177i7兀

对C,当x=：时，2X+?=3TT,〃?)=0,直线无=;不是对称轴;

6366

对D,由y，=2cos12x+:)=一1得：cos[2x+2兀

329

27r27r2兀4冗

^2x+—=—+2kn^2x+—=—+2kji,keZ,

3333

、兀

从而得：X=或＞¥=,+%兀,ZEZ,

，TT

所以函数)=/(%)在点Q处的切线斜率为％=y'Lo=2cosw=-l,

切线方程为：j-^-=-(x-O)即y=^--x.

故选：AD.

2.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)对于函数〃x)=sin2x和g(x)=sin(2尤-；)，下列说法中

4

正确的有()

A.与g(无)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值

C.7(x)与g(x)有相同的最小正周期D.与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【解析】A选项，令〃x)=sin2x=0,解得x=g，4eZ,即为零点，

令g(x)=sin(2x-?)=0,解得x=g+J,ZeZ,即为g(x)零点，

42o

显然〃%)，g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(©max=g(X)max=1，B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(x),g(x)的周期均为m=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质"X)的对称轴满足=E+="+

224

g(x)的对称轴满足2x--=kjt+-^x=—+—,k^Z,

4228

显然/(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

3.(2022年新高考天津数学高考真题)己知/(尤)=；sin2x,关于该函数有下列四个说法：

①/(X)的最小正周期为2兀；

②小)在日康上单调递增；

③当一时，了。)的取值范围为，坐；

163」|_44

④“X)的图象可由g(x)=1sin(2x+；)的图象向左平移弓个单位长度得到.

24o

以上四个说法中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】因为/G)=；sin2x,所以的最小正周期为r=§=兀，①不正确；

令t=2xe-y,-^,而;y=：sinf在-半。上递增，所以/⑴在上单调递增，②正确；因为

乙乙乙乙乙•'T'

f=2xe,sinfe一日」'所以〃x）e一，③不正确；

由于g（尤）=1sin（2x+a=gsin2］尤+,所以/3的图象可由g（x）=1sin（2x+：）的图象向右平移方个单

位长度得到，④不正确.

故选：A.

4.（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数/（x）=cos2x-sin2无，则（）

A.Ax）在（g4］上单调递减B.Ax）在1-%总上单调递增

C.在上单调递减D.Ax）在上单调递增

【答案】C

【角星析】因为/（x）=cos2x-sin2x=cos2x.

对于A选项，当-g〈尤〈一时，-万＜2》＜一,则/（无）在上单调递增，A错；

263126/

对于B选项，当〈尤时，-g＜2x＜g,则在上不单调，B错；

41226V4127

对于C选项，当。＜x＜（时，0＜2尤〈夸，则/（尤）在（0,。］上单调递减，C对；

对于D选项，当爸时，则“X）在与卷上不单调，D错.

故选：C.

5.（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数/（x）=sin尤+?1+优。＞0）的最小正周期为T.若整＜7＜"，

且K©的图象关于点已］中心对称，则/g|=（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

2427r27r

【解析】由函数的最小正周期T满足—〈Tv万，—解得2＜。＜3,

33G

又因为函数图象关于点（二,21对称，所以若。+£=左肛左eZ,且6=2,

12）24

125571

所以口=—+所以G=W/(幻=sin-x-\--+2,

o3224

所以噌卜哈T）2=L

故选：A

6.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数/（x）=sin（ox+e），3>0）在区间单调递增，

直线x=2和X=?为函数y=〃x）的图像的两条相邻对称轴，贝川卡]=（）

D,也

AB.C

--T2-I2

【答案】D

712兀

【解析】因为/（x）=sin（0x+9）在区间单调递增,

6'T

兀TC冗

所以％T=臼2—工=工7t，且口〉0,则丁=兀，口=2f=2,

2362T

当x=F时，取得最小值,则2£+°=2析一三，kwZ,

662

菖,

则〃x)=sm2

7.（2024年上海夏季高考数学真题）下列函数/（无）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

【答案】A

【解析】对A,sinx+cosx=7^sin[x+：1,周期7=2兀，故A正确；

1Qjr

对B,siiucosx=—sin2x,周期丁=二=兀，故B错误；

22

对于选项C,sin，+cos，=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

97r

对于选项D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期丁=万=兀，故D错误，

故选：A.

8.（2023年北京高考数学真题）设函数/（x）=sins;cos夕+cos°xsin“G>0,|?

⑴若〃0)=-冬求夕的值.

⑵已知73在区间[-丁jr727r]上单调递增，(2石ir\J=l，再从条件一①一、条件②、条件③一一这三个条件中选择一

个作为已知，使函数/(X)存在，求。,9的值.

条件①：了[3=0；

条件②：/卜3=-1;

ITJT

条件③："X)在区间-5，-§上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

71

【解析】(1)因为析x)=sinscoso+cosGxsin°m>0,|o|<.

、73

所以/(0)=sin(0•0)cos(p+cos(g以)sin夕=sin夕=一--,

因为⑷<],所以。=-三.

Ti

(2)因为/(x)=sin@xcos夕+cosGxsin9,69>0,|"|<»,

JT

所以/(无)=5近(a¥+0),0>。,|夕|<不，所以/'(X)的最大值为1,最小值为-1.

若选条件①：因为/(x)=sin3x+°)的最大值为1,最小值为-1,所以=0无解，故条件①不能使

函数/(x)存在；

若选条件②：因为F(X)在上单调递增，且m=i,H=T

所以「与兀，所以T=2兀,a>=7=l,

所以/(x)=sin(x+0),

又因为=所以sin[-e+e]=-l,

TTTT

所以---v(p---F2kii,左£Z,

32

TTTTTT

所以9=-7+2E,%CZ,因为|夕|<"，所以。=一二.

626

IT

所以（y=l,（p=---,

o

IT27rITjr

若选条件③：因为f（x）在-§,可上单调递增，在-5，-§上单调递减,

所以/（X）在尤=4处取得最小值-1,即-

以下与条件②相同.

考点2:值域与最值问题

9.（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系xQy中，角a与角夕均以以为始边，它们的终边关于原

TT7T

点对称.若ae，贝1Jcos〃的最大值为______.

o3

【答案】

【解析】由题意尸=。+兀+2防1,左wZ,从而cos/?=cos（a+兀+2E）=—cosa,

兀兀，cos"的取值范围是一#^，-g

因为ae,所以cosa的取值范围是

o3_

jr47rI

当且仅当&=^,即£=三+2析氏eZ时，cos6取得最大值，且最大值为-；

故答案为：

10.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数〃x）=sinx-6cosx在[0,可上的最大值是.

【答案】2

【解析】〃x）=sinx-石cosx=2sin（x-|J,当xe[0,;r]时，x-1-e一：1，

当xJJ时，即x*时，〃x）a=2.

故答案为：2

11.（2024年天津高考数学真题）已知函数〃x）=sin3[8+茕（0>O）的最小正周期为兀.则〃x）在

--的最小值是（）

【答案】A

［解析］/(x)=sin3|+—I=sin(3(vx+TC)=-sin3(DX,由7二2=兀得0=2,

I3J3G3

TIn

即/(x)=—sin2x,当xe—时，2xG

6,3

画出〃x)=-sin2x图象，如下图,

由图可知，/(x)=-sin2x在一自弓上递减,

考点3：伸缩变换问题

12.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)函数y=/(x)的图象由函数y=cos12x+向的图象向左平移;

个单位长度得到，则y=/(x)的图象与直线y=的交点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为y=cos[2x+£]向左平移器个单位所得函数为y=8$[23+巳)+聿=cos[2x+]]=-sin2x,

所以/(x)=-sin2x,

而y=—；显然过与。,0)两点，

=1处〃x)与，=；“一；的大小关系，

13兀13K+4

y=—x<-1：

2428

13K12<1

y=—X-------------

242

当Y…7兀-si4i,17K17兀一4

y=—X------------->1;

22428

所以由图可知，"X）与y=的交点个数为3.

故选：C.

13.（2022年新高考浙江数学高考真题）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin（3x+]J图

象上所有的点（）

A.向左平移;个单位长度B.向右平移g个单位长度

C.向左平移点个单位长度D.向右平移台个单位长度

【答案】D

【解析】因为＞=2sin3x=2sin3^-^+^，所以把函数y=2sin（3x+1）图象上的所有点向右平移]个

单位长度即可得到函数＞=2sin3尤的图象.

故选：D.

14.（2024年新课标全国I卷数学真题）当日[0,2加时，曲线y=sinx与y=2sin（3x-q的交点个数为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为函数〉=显1^的的最小正周期为T=2TT,

函数y=2sin[x-的最小正周期为T='，

所以在xe[0,2兀]上函数y=2si”3x有三个周期的图象,

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

考点4：求丁=汨皿（”+9）+上解析式问题

15.（2023年新课标全国II卷数学真题）已知函数〃x）=sin3x+°）,如图42是直线丫=：与曲线丫=/（力

2

【解析】设由a邳=£可得%71

6

171、571

由sinx=—可知，x=—■F2E或％=--1-2kji,左eZ,由图可知,

266

cox24"(p-(CDX^+")=-71——=3,艮13G(马—芯)=3f「.69=4.

.(8兀TT1CB,"8TT8

因为了sm|y+^91=0,所以彳+(p=k7i,BP(p=--ii+kn,左eZ.

I.3

，2兀+

所以"x)=sin4x-+E=sin4.”2E,

3JI3J

所以〃x)=sin卜x-］或〃x)=..2)

-sin4x——7i.

I3厂

又因为/(。)<0,所以/(x)=si“4x-g兀)，(7i)=sinf47t--27i=_B

3~~~2

故答案为一手

16.（2023年天津高考数学真题）已知函数y=〃力的图象关于直线％=2对称，且“力的一个周期为4,

则八%）的解析式可以是（）

7171

A.sinXB.cos-X

7171

C.sinXD.cos—X

【答案】B

【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性:

27r27r

T__=AT=_-=4

A选项中£,B选项中£

~i~2

T=4L=RT=~~

二8

C选项中一四一，D选项中一生一

44

排除选项CD,

对于A选项，当x=2时，函数值sin]]xzj

=0,故（2,0）是函数的一个对称中心，排除选项A,

对于B选项，当x=2时，函数值cos1x2、|=-1,故x=2是函数的一条对称轴，

故选：B.

考点5：三角恒等变换

17.（2024年新课标全国H卷数学真题）已知a为第一象限角，4为第三象限角，tana+tan^=4,

tanatan0=^2+1,贝!Jsin（a+0）=.

【答案】一半

/八\tancr+tanB

tan(a+J3)=------------------

【解析】法一:由题意得1-tancirtan/?

因为aw2kn,2kTi+—V/3G2根兀+兀,2mji+—j,k,meZ,

贝lja+6£（（2〃t+2左）兀+兀,（2〃1+2左）兀+2兀）,匕W£Z,

又因为tan（a+0=-2日<0,

则a+尸根+2左）兀+今>（2僧+2%）兀+2兀），k,msZ,则sin（a+0<O,

则：*：*=一20,联立sin2（«+^）+cos2（a+/7）=l,解得sin（a+£）=—子.

法二：因为a为第一象限角，夕为第三象限角，贝ijcosa>0,cos£<0,

cosa1^/3=C°S^-1

cosa=/=,=Ct

Vsin2er+cos2aA/1+tan2aJsii?/+cos2BJl+taY/

贝ijsin(a+/?)=sinacos0+cosasin/3=cosacos/?(tana+tan/7)

-4_______________4_______________-4_2A/2

=4cosacosp=]—]

V1+tan2+tan2)3^/(tana+tan/3)1+(tanatan(3—l)2_____+23

故答案为：-迪.

3

18.（2022年新高考浙江数学高考真题）若3sina-sin/=VI5,a+/?=',贝ljsincr=

cos2/3=.

【答案】巫3

105

【解析】［方法一］：利用辅助角公式处理

1,,«+/?=y,sin（3=cosa,即3$拓£-＜：05£,

即痴卜对，令5山。=^^,cos8=^^,

I1010J1010

贝！jVfUsiMa—=1-6=1+2%»,keZ,即a=6+1+2%万,

2=亚

•••sina=sin0+—+2k7i

I210

,。。4

则cos2/3=2cos2j3-l=2sin2a-l=—.

故答案为：题；

105

［方法二］:直接用同角三角函数关系式解方程

，：a+[3=%,sinP=cosa,即3sina-cosa=,

又sin?a+cos?a=1,将cosa=3sina-代入得10sin2a_6j!Usina+9=0,解得sina=~^~9

4

贝ljcos2/3=2cos2/?-1=2sin2a-l=—.

.,...__、

故答案/f!为j：士3x”/l0；4

105

19.(2023年新课标全国I卷数学真题)己知sin(a-£)=2,cosasin£=L则cos(2ar+2/7)=(

36

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

【答案】B

【解析】因为sin(a-£)=sinacos/?-cosasin〃=—,而cosasin/=,，因此sinacos，=L

362

2

则sin(cr+尸)=sinacos(3+cosasm)3=—,

21

所以cos(2cr+2/3)=cos2(a+尸)=1-2sin2(a+尸)=1-2x(―)2=—.

故选：B

20.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知a为锐角，cosc=»近，则sin==().

-1+753-75-I+A/5

-8~

【答案】D

【解析】因为cosa=l-2sin24=土叵，而a为锐角,

24

解得：sin£=3-75TA/5-I.

故选：D.

21.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知一——=百，则tan[+E]=（）

cosa-sma

A.25/3+lB.273-1D.1-73

【答案】B

cosa

【解析】因为

cosa—sina

所以-------=\/3,tana=1-，

tana+l_j-,

所以tano

1-tana

故选：B.

22.（2022年新高考全国11卷数学真题）若5皿戊+夕）+85（戊+夕）=2&0）53+?卜11夕，则

A.tan(a-)0)=lB.tan(a+尸)=1

C.=D.tan(cr+/?)=-l

【答案】C

【解析】［方法一］:直接法

由已知得：sinacosP+cosasin/?+cosacos/?一sinasin/?=2(cosa-sina)sin尸,

即：sinacos0—cosasin/?+cosacos/?+sinasin分=0,

即：sin(a_/)+cos(a_尸)=0

所以tan(a_0=—l

故选：c

［方法二］:特殊值排除法

JT

解法「设。=0则sina+cosa=0,^a=-—,排除A,B；

jr

再取a=0贝!Jsinp+cosp=2sin(3,取P=]，排除D；选C.

[方法三]:三角恒等变换

sin(a+夕)+cos(6Z+尸)=6sin(6/+Z?+—>=丘sin[(a+—>)+B]

44

=y/2sin(cr+—)cosB+&cos(a+工)sin£=2A/2COS(a+工)sin6

444

所以J^sin(a+2)cosB=V2cos(cr+—)sinB

44

]L'Ji

sinCcif+—)cos/?-cos((7+—)sin夕=0即sin(cif+--/7)=0

/.sin(a-jB+^)=sin(a-cos^-+cos(6Z-/?)sin?二^^sin(a—〃)+^^cos(a—〃)=0

.,.sin(a—/)=—cos(a—尸)即tan(a-尸)=-1,

故选：C.

23.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知cos（a+/7）=九tanatan/?=2,贝ljcos（。-2）=（

ifi117

A.—3mB.-----C.—D.3m

33

【答案】A

【解析】因为cos(a+/)=m，所以cosacos/7—sinasinp=机，

而tanatan/?=2,所以sinasin尸=2cosacos尸,

故cosacosp—2cosacos/7=加即cosacosP=—m,

从而sinasin分=一2根,故cos(a-/?)=—3根，

故选：A.

24.(2022年新高考北京数学高考真题)若函数/(x)=Asinx-gcosx的一个零点为?，则4=

【答案】1-后

【解析】•••吗)=孝4一#=0，必=1

/(x)=sinx-若cosx=2sin(x--)

〃二）=2sin（乌一巴）=-2sin壬=—夜

121234

故答案为：1,-V2

25.（2023年北京高考数学真题）已知命题":若夕,"为第一象限角，且贝Utana>tan4.能说明p

为假命题的一组6的值为。=，尸=.

【答案】筌

43

【解析】因为〃x）=tanx在（0胃）上单调递增，若。<%<用<弓，贝I］tan4<tan4，

取a=24兀+g,夕=2%兀+风湍，k2eZ,

则tana=tan（2勺兀+%）=tan%,tan/?=tan（2Z：2兀+4）=tan闻，即tana<tanp,

令£>k2，则［_4=（2/兀+4）_（2左2兀+4）=2（左1_左2）兀+（%一4），

因为2（匕一左2）兀之2K,――<cx,Q—/3Q<0,贝Ua-/3=2（左一左?）兀+（a。一万o）>>。，

gpkY>k2,则a>#.

不妨取匕=1，K=O,%=：,&=/,即£=空,夕=4满足题意.

>f.f.s,、？9兀兀

故r答案为：y；~.

26.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若ee（0,］）tane=；,则sin。—cos6=.

【答案】-延

5

【解析】因为0e则sin6>0,cosd>0,

又因为tan9==［,贝ljcos8=2sin夕，

cos£2

且cos20+sin23=4sin20+sin20=5sin26=1,解得sin0=—或sin6=（舍去），

55

所以sin。一cos。=sin-2sin0=-sin0=

5

故答案为：-且.

5

考点6:。与夕的取值与范围问题

27.（2023年新课标全国I卷数学真题）已知函数/（x）=cos0x-l（o>O）在区间［0,2兀］有且仅有3个零点,

则。的取值范围是.

【答案】23)

【解析】因为0WxW2?r,所以

令/(X)=cos0x-l=O,贝!|cos0x=l有3个根，

令t=a)x,则cosf=l有3个根，其中fe[0,25],

结合余弦函数》=cost的图像性质可得4714207r<6兀，故2W0<3,

故答案为：23).

28.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)记函数〃x)=cos(&x+°)(0>O,O<0<7i)的最小正周期为T,

若〃7)=孝，》=]为"为)的零点，则。的最小值为.

【答案】3

【解析】因为/(