2024年天津市中考数学二轮复习模拟题分类汇编：锐角三角函数实际问题 （解析版）

二轮复习2024年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题08

——锐角三角函数实际问题（天津专用）

1.（2023下•天津滨海新•九年级天津经济技术开发区第一中学校考开学考试）如图，某中学

数学兴趣小组在学习了“解直角三角形及其应用”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高

度，他们先在A处测得该建筑物顶端2的仰角为28。，然后从A处前进40m到达。处，在

。处测得该建筑物顶端8的仰角为60。，点A,D,C在同一水平的直线上，且求

建筑物8c的高度（结果精确到0.1）.

（参考数据：sin28°=0.47,cos28°=0.88,tan28°=0.53,V3=1.73）

B

——5^

【答案】建筑物BC的高度约为30.6m.

【分析】根据三角函数得出AC和DC,进而列出方程解答即可.

【详解】解：在BCD中，tanzBPC=^|,

团BC=DC-tanZ5DC,

团BC=DC-tan60°=WDC,

在Rt△力BC中，tan/B"=,=嬴

BCWDC

0tan28°=

40+DC40+。。'

0(40+DC)tan28°=s/3DC.

回0.53(40+DC)x1.73OC

53

团OCX-

3t'

SBC=V3DC=V3X—«1.73X—«30.6

33

答：建筑物BC的高度约为30.6m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练利用三角函数的知识求解是

解答本题的关键.

2.（2023下•天津和平•九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，为求出河对岸两棵树4

8间的距离，小坤在河岸上选取一点C,然后沿垂直于2C的直线前进了12m到达。点，测

得乙CDB=90°.取CD的中点E,测得乙4EC=56°,4BED=67°,求河对岸两树间的距离.

参考数据：sin56°«1,tan560®|,sin67°®ii,tan67°«

【答案】13米

【分析】根据E为CC中点,CQ=12,得到CE=DE=6.在Rt△4CE中，求得4C=CE-tan56°,

在RtABDE中，求得BD=DE•tan67。，然后利用勾股定理求得AB的长即可.

【详解】解：如图，过点4作4F1BD于点F,

•••E为CD中点，CD=12m,

CE=DE=6m.

在Rt中，

AC

•・•tan56°=—,

CE

3

••・AC=CE-tan56°«6x-=9m

2

在RtABDE中，tan67°=

DE

7

BD=DE-tan67°=6x-=14m.

3

vAF1BD,

AAC=DF=9m,AF=CD=12m,

.・.BF=BD-DF=14—9=5m.

在RtZkAFB中，AF=12m,BF=5m,

•••AB=yjAF2+BF2=V122+52=13m.

•••两树间距离为13米.

156米&7。cl

CED

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是正确的构造直角三角形，并选

择正确的边角关系.

3.（2023•天津河西•天津市新华中学校考三模）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度

AD已知测角仪的高度为1.6米，在水平线上点M处测得建筑物最高点A的仰角为22。，

沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为45。，求建筑物的高度AD（结果

精确到0.1米,参考数据：sin22°~0.37,cos22°~0.93,tan22°»0.40,V2»1.41）

A

【答案】17.6米

【分析】延长交于E,则四边形BMNC,四边形是矩形，于是得到

=24m,DE—CN—BM=1.6m,求得CE=AE,设AE=CE=尤，得到2E=24+x,解直角三

角形即可得到答案.

【详解】解：延长2C交AD于E,

则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形，

.*.BC=MN=24米，DE=CN=BM=1.6^i,

V90°,/ACE=45°,

...△ACE是等腰直角三角形，

CE=AE,

设AE=CE=尤米，

.,.BE=24+x,

VZABE=22°,

AEx

.,.tan22°=0.40,

BE24+x

解得：x=16,

・・・AD=AE+M=16+1.6=17.6（米）,

答:建筑物的高度约为17.6米.

MD

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角

三角形并解直角三角形.

4.（2023•天津河西•天津市新华中学校考一模）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为

30m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为35。测得底部C处的俯角为43。，求甲、

乙两建筑物的高度AB和DC（结果取整数）.

（参考数据:tan350=0.70,tan43°=0.93）

典:…一…

.....:霹…….

【答案】AB为28m,DC为7m.

【分析】作AEMD交CD的延长线于E.则四边形ABCE是矩形，根据矩形的性质可多AE=

BC=30,AB=CE,在RtEIACE中，由EC=AE・tan43。求得EC的长，即可得AB的长；在RtBAED

中，DE=AE・tan35。，由CD=EC-DE即可求得CD的长.

【详解】如图作AE0CD交CD的延长线于E.则四边形ABCE是矩形，

0AE=BC=3O,AB=CE,

在RtEIACE中，EC=AE»tan43°=27.9（m）,

回AB=CE=27.9（m）,

在RtEAED中，DE=AE・tan35°,

0CD=EC-DE=AE«tan43°-AE«tan35°=30x0,93-30x0.7=7（m）,

答：甲、乙建筑物的高度AB为28m,DC为7m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关

键.

5.（2023•天津河西•天津市新华中学校考二模）如图，斜立于地面的木杆AB,从点C处折

断后，上半部分倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面。处，测得乙4CD=60°,ZXDC=

37。，折断部分CD长5.73米，求木杆AB的长度（结果保留整数）.参考数据：sin37°〜0.6,

cos37°«0.8,tan37°«0.75,V3«1.73.

B\

I

［分析］过点A作AEUCD于点E,在RtAAED和RtAAEC中,利用三角函数解得DE=二三,

tan37°

CE*AE,AC=^--AE,由CD=CE+DE=5.73可计算出AE的长，然后计算木杆AB

的长度即可.

【详解】解：如图，过点A作人做CO于点E,

B.：

由题意可知乙4co=60°,/.ADC=37°,CD=5.73,

,,Ap

在RtAAED中，tanZTlDC=丝=tan37°,

DE

,.AFAF

团在RfAEC中,tanZ^=-=tan60%sinZ^CZ)=-=sin60%

因吐==需=AC=磊=爸=苧4E,

2

团OC=CEDE=5.73,

畔题+/=5.73,

团解得2Ex3,

刻B="+CD=¥aE+CD=2b+5.73-9m.

答：木杆的长度约是9米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意作辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

6.（2022•天津•天津市双菱中学校考模拟预测）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆

PQ，测得杆顶端点P的仰角是45。，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的

仰角分别是60。和30°.

（1）求EIBPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）.备用数据：V3~1.7,V2~1.4

【答案】（1）30°；（2）9m.

【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；

（2）设PE=x米，在直角IBAPE和直角EIBPE中，根据三角函数利用X表示出AE和BE,根据

AB=AE-BE即可列出方程求得X的值，再在直角回BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ

的长度即可求解.

【详解】解：延长PQ交直线AB于点E,

(1)回BPQ=90°-60°=30°；

(2)设PE=x米.

在直角EIAPE中，0A=45°,

则AE=PE=x米；

E0PBE=6O°

E0BPE=3O-

在直角团BPE中，BE=^PE=¥x米,

0AB=AE-BE=6米，

贝!Jx-x=6,

解得：X=9+3A/3.

则BE=(3V3+3)米.

在直角E1BEQ中，QE=yBE=y(3百+3)=(3+V3)米.

回PQ=PE-QE=9+3后(3+V3)=6+2叵9(米).

答：电线杆PQ的高度约9米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

7.(2019•天津和平•天津二十中校考二模)某校的教室A位于工地。的正西方向，且04=200〃?,

一台拖拉机从。点出发，以每秒5机的速度沿北偏西53。的方向行驶，设拖拉机的噪声污染

半径为130m,则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求

出教室A受噪声污染的时间有几秒.(参考数据：sin53%0.80,sin37°=0.60,tan37°=0.75)

【答案】①教室A在拖拉机的噪声污染范围内；(2)影响的时间为20s

【分析】(1)问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到。M的距离是否大

于污染半径130m,如果大于则不受影响，反正则受影响.如果过A作AB回0M于B,那么

AB就是所求的线段.直角三角形AOB中，回AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么

AB便可求出了.然后进行判断即可.

⑵如果设拖拉机从C到D教室受影响，那么要求教室受影响的时间，其实就是求CD的值,

直角三角形ABC中，AB的值已经求得.又有AC的值，那么BC的值就能求出了.CD也就

能求出了，然后根据时间=路程+速度即可得出时间是多少.

【详解】解：如图，过点A作ABEIOM于点B,

E0MON=53°,

H3AOM=90°-53°=37度.

在RtAABO中，0ABO=9O",

EsinzXOB=—,

4。

0AB=AO«sin0AOB=2OOxsin37°=12O(m).

回120m<130m.

回教室A在拖拉机的噪声污染范围内.

根据题意，在0M上取C,D两点，连接AC,AD,使AC=AD=130m,

0AB0OM,

IBB为CD的中点，即BC=DB,

SBC=y/AC2-AB2=V1302-1202=50(m),

ECD=2BC=100(m).

即影响的时间为詈=20(s).

北

【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角

形中，进行解决.

8.（2021上•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习）为提高城市幸福感，某市旅游局

开发了风景优美的景点C,已知景点C在景点A北偏东37。方向上，景点C在景点8北偏东

60。方向上，且景点B在景点A正北方向，A,2两个景点相距980米，求4C和BC的长（结

果取整数）.参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,栗取1.73.

【答案】4c的长约为2163米，BC的长约为1500米.

【分析】根据题意，从复杂的实际问题中整理已知条件构建方程，即可得解.

【详解】过点C作CE14B,交2B的延长线于点E,如图所示：

设BE=x米,则4E=(980+%)米,

国在RtAACE中，/.CAE=37°,

0CF=AE-tan370®0.75(%+980),

团在RtABCE中，Z.CBE=60°,

SCE—V3x,BC-2x,

E0.75(x+980)=V3x,

解得xx750,

团BC=2xx1500,

CE1.73x750

AC=2163

sin37°—-0^60-

答：AC的长约为2163米，8C的长约为1500米.

【点睛】此题属于中等难度题，主要考查利用方位角构建方程求解距离.失分原因有3个：（1）

不能正确地理解题意，从复杂的实际问题中整理已知条件；（2）没有掌握"母子型”模型的解

题方法；（3）计算时出错.

9.（2022上•天津河东•九年级天津市第四十五中学校考期末）数学兴趣小组到黄河风景名胜

区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，

在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的

仰角为60。，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1m.参考数据:sin34°~0.56,cos34°=0.83,

tan34°~0.67,V3«1.73）

【答案】51

【分析】由三角函数求出AC=—安，得出4B,在RtdBCD中，由三角函数得出

tan34

CD=V3BC,即可得出答案.

【详解】解：,.・N4CE=90",/-CAE=34°,CE=55m,

CR

・•・tan^CAE=—,

•・•AB=21m,

BC=AC-AB=61.1m,

在RtdBCD中，tan60°=—=V3,

BC

CD=V3BC®1.73X61,1«105.7m,

•••DE=CD-EC=105.7-55«51m,

答：炎帝塑像DE的高度约为51m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角

形，利用三角函数的知识求解，难度适中.

10.（2023下•天津河东•九年级天津市第五十四中学校考阶段练习）如图，小明在一块平地

上测山高，先在B处测得山顶4的仰角为30。，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶4

的仰角为37。，求山高4。是多少米？（结果保留整数，测角仪高忽略不计.参考数据：sin370=

0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75)

【分析】设4D=xm,在RtAACD中，根据正切的概念用久表示出CD,在RtAABD中，根

据正切的概念列出方程求出x的值即可.

【详解】解：由题意得，N4BD=30。，乙4CD=37。，BC=100m,

设4D=xm,在RtAACD中，tanzXCD=—=tan370=—=0.75,

团BO=BC+CD=100+—,

0.75

在Rt△ABD中，tan乙43。=—«—』

团Xx251,

答:山高约为251米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐

角三角函数的定义是解题的关键.

11.（2023下•天津河北•九年级天津二中校考阶段练习）某中学九年级数学兴趣小组想测量

建筑物A8的高度.他们在C处仰望建筑物顶端A,测得仰角为37。.再往建筑物的方向前

进9m到达。处，测得建筑物顶端A的仰角为63。，求建筑物A8的高度（测角器的高度忽

略不计，结果精确到1m）.参考数据：sin37。«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.8,sin63°«0.9,

cos63°~0.5,tan63°~2.0.

建

筑

物

【答案】12米

【分析】设A8=xm,R/0AQB中用AB表示出8。、中用AB表示出8C,再利用锐角

三角函数列方程，再解方程可得.

【详解】解：设AB=xmH3AQB=63°

团在中，。庆一

R/0AOBtanEABD

：.2=二，则8。=。，

BD2

•・•CD=9,

・•・BC=9+-x,

2

团在ROA5C中，^ACB=37°,

・•.tan37°=BC―,

：•-1-=0.8,

94--X

解得x=12m,经检验符合题意.

答，建筑物的高度为12m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想

找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件.

12.（2023,天津河东,天津市第七中学校考模拟预测）某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），

图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索4B与水平桥面的夹角是27。，拉索

8。与水平桥面的夹角是58。，两拉索底端距离4。=20米，求立柱BC的高.（结果保留一位

小数）[参考数据：tan58°=1.6,tan27°=0.5]

【答案】立柱BC的高约为14.5米

【分析】设立柱BC的高为x米，根据正切的定义用x分别表示出CD、4C,根据题意列出方程,

解方程即可得到答案.

【详解】解：设立柱的高为万米,

在RtABCD中，tanZBDC=—,

BCx

•••CD=“高=|x（米），

tanz.BDCtan5O°

在RtAABC中，tan/LBAC=

ACBC

AAC=-----------«2x（米）,

tanzBTlC

由题意得：2x—~x=20,

8

解得：xx14.5,

答：立柱BC的高约为14.5米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解

题的关键.

13.(2023下•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习)如图1所示，某登山运动爱好

者由山坡①的山顶点A处沿线段4C至山谷点C处，再从点C处沿线段至山坡②的山顶点

B处.如图2所示，将直线/视为水平面，山坡①的坡角N4CM=30。，其高度为0.6千

米，山坡②的坡度i=1：LBN工I于N,且CN=/千米.

⑴求41cB的度数；

(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

【答案】(1)105°

(2)3.2km

【分析】(1)根据山坡②的坡度i=1:1,可求NBCN=45°,/.ACB=180°-/.BCN-/.ACM

即可求解；

(2)由余弦值和正弦值分别求出8C、AC即可求解；

【详解】(1)解：回山坡②的坡度i=1:1,

EtanzBCN=—=-=1,

CN1

团乙BCN=45°,

团乙4cM=30°,

^ACB=180°-乙BCN-/.ACM=180°—45°-30°=105°,

(2)^BCN=45°,CN=V2km,

团COSNBCN,

BC2

团BC=2千米，

^ACM=30°,AM=0.6km,

团sin乙4cM=—=i,

AC2

固4c=1.2km,

回该登山运动爱好者走过的路程.AC+BC=1.2+2=3.2(km).

【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关

键.

14.（2023下•天津和平•九年级天津一中校考阶段练习）如图，甲乙两楼的水平距离为120m,

自乙楼楼顶C处，测得甲楼顶端4处的仰角为60。，测得甲楼底部B处的俯角为46。，求甲楼

的高度.（结果取整数）参考数据：tan46o=1.04,遍取L73.

【答案】甲楼的图度约为332m

【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公

共边构造关系式求解.

【详解】解：过点C作CE12B,垂足为E.

（甲）（乙）

在RMBCE中，ABCE=46°,BD=CE=120m,

由tan/BCE=些=1.04,

CE

・•・BE=1.04X120=124.8m,

在RMACE中，AACE=60°,

,AF

由tanNACE=一,

CE

得tan60°=—=V3,

・•・^E=120xV3«120x1.73=207.6m

・•.AB=AE+BE=124.8+207,6=332.4m,

•••AB=AE+BE«332m,

答：甲楼4B的高度约为3327n.

【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握

锐角三角函数的定义，属于基础题，中考常考题型.

15.(2020•天津•九年级天津市第四中学校考阶段练习)小婷在放学路上，看到隧道上方有一

块宣传"中国-南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42。,

测得隧道底端B处的俯角为30。(B,C,D在同一条直线上)，AB=10m,隧道高6.5m(即

BC=6.5m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin42°=0.67,cos42°=0.74,

tan42°=0.90,V3=1.73)

【答案】标语牌CD的长为6.3m.

【详解】分析：如图作AEI3BD于E.分别求出BE、DE,可得BD的长，再根据CD=BD-BC计

算即可；

详解：如图作AEE1BD于E.

在RtAAEB中，EHEAB=30°,AB=10m,

回BE=1AB=5(m),AE=5V3(m),

在RtAADE中，DE=AE・tan42°=7.79(m),

团BD=DE+BE=12.79(m),

0CD=BD-BC=12.79-6.5=6.3(m),

答：标语牌CD的长为6.3m.

点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面

构造直角三角形解决问题.

16.（2019・天津和平•天津二十中校考一模）如图，小明在大楼30米高（即尸8=30米）的

窗口尸处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15。，山脚B处的俯角为60。，己知该山坡的

坡度，（即加"0ABC）为1：百，点尸、H、B、C、A在同一个平面上.点”、B、C在同一

条直线上，且

上

IlHlBC

（1）山坡坡角（即0ABC）的度数等于一度；

（2）求A、8两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：V3=1,732）.

【答案】（1）30.（2）34.6X.

【分析】（1）根据特殊角度的三角函数值即可求解；

（2）在直角中，根据三角函数即可求得的长，然后在直角APBA中利用三角函数

即可求解.

【详0解A】（1）因山坡的坡度，（即SwHABC）为1：V3.

皿〃Be=圣

的45c=30°；

故答案为：30；

（2）设过点尸的水平线为尸。则由题意得：

tQPA=15LQPB=60°

•••乙PBH=（QPB=60。/APB=Z.QPB=45°

1V3

tan乙48C=—=--

V33

・•・乙ABC=30°

・•・AABP=90°

在Rt团尸3〃中，PB=金=420^

在RtHPBA中，AB=PB=20V3«34.6

答：A、8两点间的距离约34.6米.

17.（2019下•天津•九年级天津一中阶段练习）随着航母编队的成立，我国海军日益强大，

2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡

逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点尸的南偏东45。的方向上，且

与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测

点尸的北偏东30。方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点尸的距离为多少海里？（参考

数据：72=1.414,73=1.732,结果精确到工海里）.

【答案】约为566每里

【详解】分析：通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角ABPC求得线段P2的长度

即可.

详解：在AZPC中，AACP=90°,AAPC=45%贝!=PC.

SAP-400海里，

国由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2,即4002=2PC2,

故PC=200Vl海里.

又回在直角ABPC中，0PCB=9O°,回2尸。=60°,

0PB=-^―=2PC=400V2«566（海里）.

cos60°

答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里.

点睛：本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用.此题是一道方向角问题，结

合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的

思想.

18.（2019下•天津南开•九年级南开翔宇学校校考开学考试）海岛A的周围8海里内有暗礁，

渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东67。，航行12海里到达C点，

又测得海岛A在北偏东45。方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁

的危险？请说明理由.【参考数据：sin67°若;cos67°4；tan67°«y]

【答案】无触礁的危险，理由详见解析.

【详解】试题分析：作ADLBC,利用三角函数计算AD长度，与8比较大小.

试题解析：

作AD工BC,交BC延长线于D,

设AZ）=x,由三角函数知CD=AD-tan45°=x,BD=ADtan670=^,

所以后景

19.（2023•天津•统考中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.

如图，塔48前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,NDCE=30。，点、E,C,A在同一条

水平直线上.

B

ECA

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45。，在观景台。处测得塔顶部2的仰角为

27°.

（1）求DE的长；

⑵设塔4B的高度为/?（单位：m）.

①用含有耳的式子表示线段瓦4的长（结果保留根号）；

②求塔4B的高度（tan27。取0.5,遮取1.7,结果取整数）.

【答案】⑴3m

（2）0（/i+3V3）m；②11m

【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；

（2）①分另IJ在RtADCE和RtA8C力中，利用锐角三角函数定义求得EC=38，CA=h,

进而可求解；

②过点。作DF1AB,垂足为F.可证明四边形DEA尸是矩形，得到DF=EA=