2024-2025学年吉林省吉林市高三第二次模拟考试数学试题（文理）合卷（含解析）

2024-2025学年吉林省吉林市普通高中高三第二次模拟考试数学试题（文理）合卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数（2a+D（l+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）

11

A.—2B.2C.-------D.一

22

2.已知数列｛a,,｝的前“项和为S"，且（S"+1）（S.+2+1）=（S“M+1）2（"CN*）,。1=1,g=2,则"=（）

A.—-------LB.2C.2n-1D.2+1

2~~

3.设(1+，)+=1+初,其中a,8是实数，则|a+冽=()

22

5.过椭圆C:j+4=l（a〉6〉0）的左焦点尸的直线过C的上顶点3,且与椭圆C相交于另一点A,点A在V轴

a2b2

上的射影为4,若\F局O\=“3。是坐标原点，则椭圆。的离心率为（）

A.3B.且C.-D.—

2322

6.设函数/(x)=ln(l+|x|)—不二，则使得成立的x的取值范围是().

A.(1,+℃)B.(^o,-l)U(l,+co)

C.(-1,1)D.(-1,O)U(O,1)

7.(x+呸工)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

A.-40B.-20C.20D.40

8.8知函数/(九)=如“尤2+1_为+3-_3、，不等式/(a+4)+/(/+5),,0对％eR恒成立,则。的取值范

围为()

rc、z「5)(5

A.[-2,+00)B.(-00,-2]C.--,+coID.I-CQ,--

9.已知向量a与人的夹角为6>,定义ax6为a与b的“向量积”，且ax6是一个向量，它的长度卜义0=卜|卜卜也。，

若“=(2,0),“—v=—石卜贝“"x(〃+v)|=()

A.473B.V3

C.6D.273

10.执行如图所示的程序框图若输入〃=1，则输出的九的值为()

25

A.B.2C.D.3

22

11.已知集合〃={》|/=1}.N为自然数集，则下列表示不正确的是()

A.IGMB.M={-1,1}C.D.MyN

12.已知集合AnlxeZlfwo],则集合A真子集的个数为()

[x+3J

A.3B.4C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设集合A={1,3},B={X|X2-2X-3<0},则AB=.

14.已知抛物线C:/=4》的焦点为尸，过点/且斜率为1的直线与抛物线C交于点AB,以线段AB为直径的圆E

上存在点RQ,使得以PQ为直径的圆过点。(-2"),则实数/的取值范围为.

15.已知函数/(九)=；dnx—2。在点(1,/(I))处的切线经过原点，函数g(x)=&的最小值为加，贝|

X

m+2a=.

16.在三棱锥S—ABC中，S4,SB,SC两两垂直且&1=S5=SC=2,点/为S—ABC的外接球上任意一点,

则•M3的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在直角坐标平面中，已知AABC的顶点A(—2,0),8(2,0),C为平面内的动点，且sinAsin5+3cosC=0.

(1)求动点C的轨迹。的方程；

(2)设过点尸(1,0)且不垂直于x轴的直线/与。交于p,R两点,点P关于x轴的对称点为S,证明：直线RS过x

轴上的定点.

18.(12分)已知/(x)="

(1)若曲线y=lnx在点02,2)处的切线也与曲线y=/(x)相切，求实数机的值；

(2)试讨论函数/(尤)零点的个数.

19.(12分)如图，已知E,歹分别是正方形ABC。边BC,CD的中点，"与AC交于点。，PA,NC都垂直

于平面ABC。，且B4=AB=4，NC=2,〃是线段K4上一动点.

N

（1）当MOJ_平面ERV,求的值；

（2）当M是K4中点时，求四面体M—E7W的体积.

20.（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1

月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得

额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育

费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个

子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：

级数一级二级三级四级

超过3000元超过12000元超过25000元

每月应纳税所不超过3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得额（含税）元的部分

部分部分部分

税率（%）3102025

（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除.请问李某月应缴

纳的个税金额为多少？

（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，

有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需

要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入

均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X的分布列与期望.

21.（12分）已知集合4={L2,,n},nvN*，n>2,将4的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

其中加=2".记集合中元素的个数为处，keN*，k<m,规定空集中元素的个数为0.

（1）当〃=2时，求生+/++%〃的值；

（2）利用数学归纳法证明：不论〃（在2）为何值，总存在有序集合组（必,叫「，/”），满足任意QN*，三加一1，

都有k一4+1|=1.

22.(10分)在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名

男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参

加学校的挑战答题比赛.

(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；

(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得。值.

【详解】

解：（2a+i/l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在复平面内所对应的点在虚轴上，

...2a—1=0,即@=一.

2

故选D.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛"+1｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得

【详解】

由于（S.+l）（S〃+2+l）=（S〃+i+l）2（〃eN*）,所以数列｛s,,+l｝是等比数列，其首项为1+1=6+1=2,第二项为

4

$2+1=。1+。2+1=4,所以公比为5=2.所以S"+l=2",所以臬=2"—1.

故选：C

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

3.D

【解析】

根据复数相等，可得d。，然后根据复数模的计算，可得结果.

【详解】

由题可知：（1+，）4=1+人力，

即a+ai=l+沅,所以。=1/=1

贝皿+2叫=|1+2z|=Vl2+22=百

故选：D

本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.

4.D

【解析】

先判断函数的奇偶性可排除选项AC,当X.0+时，可分析函数值为正，即可判断选项.

【详解】

y=sinIx-•ln|A|=-cosxln|A|,

/.-cos（-x）ln|-%|=-cosxln\x\,

即函数为偶函数，

故排除选项A,C,

当正数x越来越小，趋近于。时，-cosx<0,ln|x|<0,

所以函数y=sin^x-^J-ln|x|>0,故排除选项B,

故选：D

本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.

5.D

【解析】

3UULUUUU

求得点3的坐标，由岛=丁，得出8/=3E4,利用向量的坐标运算得出点A的坐标，代入椭圆C的方程，可得

\AA\4

出关于。、b.c的齐次等式，进而可求得椭圆C的离心率.

【详解】

由题意可得8（03）、F（-c,0）.

3回33

一

得

由

-贝t-

4-4-un1-

IBA

而=所以融=（一右一所以点

4i\22

7在椭圆。:=+2=1上,

因为点A3C，

37ab

整理可得3.£.=§,所以e2=：=J_,所以e=Y2.

9a29er22

Ji

即椭圆。的离心率为注

2

故选：D.

本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出〃、b,c的齐次等式，充分利用点A在椭圆上这一条件，围绕

求点4的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.

6.B

【解析】

由奇偶性定义可判断出/(九)为偶函数，由单调性的性质可知/(%)在［0,+8)上单调递增，由此知“X)在(-8,0］上

单调递减，从而将所求不等式化为国>1,解绝对值不等式求得结果.

【详解】

由题意知：/(%)定义域为人，

=+卜止］+(、『=也(1+凶)_£^=/3,.•./(%)为偶函数，

当x»0时，/(x)=ln(l+x)----二，

y=In(1+%)在［0,+oo)上单调递增,y=在［0,+oo)上单调递减，

.-./(%)在［0,+8)上单调递增，则/(X)在(《,0］上单调递减，

由/(%)>/。)得：上|>1,解得：或无>1,

\X的取值范围为(7,—l)U(l,+8).

故选：B.

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的

作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

7.D

【解析】

令x=l得a=l.故原式=(x+-)(2x--)5.(x+-)(2x--)5的通项［刊=Cs'Qxy筌'JxTy=25Tx‘仁，，

XXXX

由5-2r=l得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=l得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40,选D

解析2.用组合提取法，把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出X,选3个提出-；

X

若第1个括号提出从余下的括号中选2个提出,，选3个提出x.

XX

故常数项=x•C；(2X)2)3+—-C；(-—)2•C；(2X)3=40+80=40

XXX

8.C

【解析】

-x2-5

确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为------=,利用双勾函数单调性求最值

Jf+4

得到答案.

【详解】

/(-%)=In心+1+尤)+3,-3-Y=-/(%),/(x)是奇函数，

/(%)=ln(Vx2+l—x)+3r—3工=ln(1—)+3f-3”

Nx2+1+x

易知y=ln(-^==­)，丁=3,y=-3、均为减函数，故〃尤)且在人上单调递减,

X+1+X

不等式/(aV%2+4)+/(%2+5)„0,即/(aV%2+4)„f(-x2-5),

._____-V2-S

结合函数的单调性可得小+4..V—5，即〃.下=

+4

/+1单调递减，故-5

设f=&+4,故y=一

t>2,5'

当/=2,即x=0时取最大值，所以〃…—9

2

故选：C.

本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.

9.D

【解析】

先根据向量坐标运算求出“+v=(3,石)和cos(〃,〃+v),进而求出sin《,M+v)，代入题中给的定义即可求解.

【详解】

与,得sin(a,a+v〉=g,由定义知

由题意v=〃一(〃一丫)=(1,右)，则〃+v=(3,百)，C0S(4,M+U)=

++v卜+V)=2乂26乂；=2石,

wx

故选:D.

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

10.C

【解析】

由程序语言依次计算，直到a时输出即可

【详解】

程序的运行过程为

£22

n12

222

531

a—21—

222

ini

bIn-0ln2In-

222

当〃=2时，1>In2；n=—时，一<In—,此时输出〃=—.

2222

故选：C

本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题

11.D

【解析】

集合M={x|Y=i}={_i,l}.N为自然数集，由此能求出结果.

【详解】

解:集合"={。4=1}={—1,1}.N为自然数集,

在A中，IwM,正确；

在B中，M={-1,1},正确；

在C中，0=M,正确；

在D中，M不是N的子集，故D错误.

故选：D.

本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.C

【解析】

解出集合A,再由含有九个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个可得答案.

【详解】

解：由4=1%€2|f<o|,得人={兀62|—3<xW0}={—2,—1,0}

所以集合A的真子集个数为23-1=7个.

故选：C

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有九个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.{1}

【解析】

先解不等式炉—2%-3<0,再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题，因为X2一2%—3<0,解得-l<x<3,即3={x[—1<%<3},

则AB={1},

故答案为:{1}

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

14.[-1,3]

【解析】

由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程，且点D恒在圆E外，即圆E上存在点P,Q,使得DP±DQ,则当DP,DQ

与圆E相切时，此时NP'DQ'N',由此列出不等式，即可求解。

【详解】

x=y+1,

由题意可得，直线A5的方程为工=丁+1,联立方程组12，可得y一4y—4=0,

=4x

设，则为+%=4,%%=_4，

设£（/,%），则为=-；%=2,xE=yE+1=3,

又|=石+々+2=%+1+%+1+2=8,

所以圆E是以（3,2）为圆心，4为半径的圆，所以点。恒在圆E外.

圆E上存在点尸,Q,使得以PQ为直径的圆过点。(―2j),即圆E上存在点P,Q,使得。设过。点的两

直线分别切圆E于P',Q'点，

要满足题意，则NPDQ'N,，所以历=J(3+2)2：(2T)2y'

整理得产―4/—3<0，解得2—J7</<2+J7，

故实数t的取值范围为[2-J7,2+"]

本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E的方程，

把圆E上存在点尸,Q,使得以PQ为直径的圆过点。(—2/),转化为圆E上存在点尸,。，使得DP，。。是解答的

关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

15.0

【解析】

求出广(幻,/'(1),/(1)，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出。的值，求g'(x),求出单调区间，进而求出极小

值最小值，即可求解.

【详解】

/'(x)=l+lnx,尸⑴=1,f(1)=-2a,

切线4的方程：y+2a=x-l,

又4过原点，所以2a=-1,/(x)=xlnx+l,

1111x—1

g(x)=lnx+—,gf(%)=------r=

XXXX

当无£(0,1)时，gr(x)<0；当X£(l,+oo)时，g'(x)>0.

故函数g(x)=以工的最小值g⑴=1,所以加=l,m+2a=0.

x

故答案为。

本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题.

16.273+2

【解析】

先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到♦以€：外心距离最

大的问题，即可求得结果.

【详解】

因为SA,SB,SC两两垂直且S4=S3=SC=2,

故三棱锥S-ABC的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.

且外接球的球心为正方体的体对角线的中点。，如下图所示：

容易知外接球半径为

设线段的中点为。一

故可得MAMB=(MOi+0]A)♦+

=(MO{+qA).(MQ-QA)

222

=|MO1|-|O1A|=|MO1|-2,

故当|取得最大值时，MA-MB取得最大值.

而当”,A,8在同一个大圆上，且

点M与线段A6在球心的异侧时，取得最大值，如图所示:

此时，=百,0。13=1—20(应+『—=/+

故答案为：20+2.

本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(1)—+^=1(y/O)；(2)证明见解析.

43

【解析】

yy

(1)设点。(x,y),分别用14a表示sinA、表示sin5和余弦定理表示cos。，将sinAsin5+3cosC=0表

IAC|IBC|

示为x、V的方程，再化简即可;

⑵设直线方程代入。的轨迹方程，得（3/+4）V+6叫y—9=0,设点。（玉，％）,r（々，%），S（/—y）,表示

出直线RS,取y=0,得x=4,即可证明直线RS过％轴上的定点.

【详解】

（1）设。（x,y）,由已知sin4sinB+3cosc=0,

./|AC|2+|BC|2-|AB|2_

••+3x—,

\AC\-\BC\2\AC\-\BC\

3x（x+2）2+/+-2）2+416=0

-2

22

化简得点。的轨迹。的方程为：—+^=1（y/0）；

43

（2）由（1）知，过点尸（1,0）的直线/的斜率为。时与Q无交点，不合题意

故可设直线/的方程为：x=my+l（mwO）,代入。的方程得:

（3rrr+4）y?+6冲—9=0.

设尸（七，%），r（乙，%），则

6m9

%+%=—%%=一

3m2+43m2+4

•••直线⑹y+

令y=o,得x=x（々—♦）।%=xz+%%=y（加，+1）+（切i+1）%

2年%%+（乂+%）=2mxy2+]=I3/^+4）

%+%%+%6m

3m2+4

直线RS过x轴上的定点（4,0）.

本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力,

属于中档题.

18.（1）m=l-e~2（2）答案不唯一具体见解析

【解析】

(1)利用导数的几何意义，设切点的坐标(为,蟾-加/)，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一

e"一m—e"

条，从而得到方程组｛,一，再构造函数研究其最大值，进而求得加=1-"2；

eA°-x^=1

(2)对函数进行求导后得/'(x)=靖-加，对机分三种情况进行一级讨论，即/n<0,m=Q,

m>0,结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.

【详解】

解：(1)曲线y=lnx在点02,2)处的切线方程为y—2=[(x—e?),即y=[x+l.

ee~

令切线与曲线于(x)=e，—mx相切于点(x0,*—见。)，则切线方程为y=(1-m)x-*(x0-l),

.e%-m=e~2

xx

e°-xoe°=1

(m+e-2)[l-ln(m+e-2)]=1,

令根+e」=/,则=

记g«)=,g'(f)=l-(l+lnf)=-lnf

于是，g«)在(01)上单调递增，在(1,+«0上单调递减，

；•g«)max=g(D=1,于是/=771+0-2=1'OT=1—e~~-

(2)f\x)-ex-m,

iX

①当田<0时，(。)>0恒成立，F(x)在R上单调递增，且/(0)=1>0,/(上)="—1<0

m

；・函数f(尤)在R上有且仅有一个零点；

②当〃z=0时，/(x)=e*在R上没有零点；

③当机>0时，令尸(x)>0,则x>lnw,即函数/(x)的增区间是(lnm,+oo),

同理，减区间是(-℃』11根)，

/(x)min=m(l-ln/M).

i)若0<m<e,则/(xLn=7〃(l-lnM)>0,f(x)在R上没有零点；

ii)若m=e,则/(x)=/-ex有且仅有一个零点;

iii)若〃Z>e,则/⑴而口=7〃(1—lnM<0.

/(21nm)=-2m\nm=m(m-21nm),

2

令h(m)=m-21nm,则〃'(加)=1,

m

.•.当时，M/“)单调递增，h(m)>h(e)>0.

/(21nzn)=m2-2/7?Inm=m(m-21nz?7)>m(e-2)>0

又：/(0)=l>0,

•••/(X)在R上恰有两个零点，

综上所述，当0W〃z<e时，函数/(%)没有零点；当加<0或加=e时，函数/(©恰有一个零点；当〃>e时，“X)恰

有两个零点.

本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究

函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个

端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.

19.(1)AM:MP=3.(2)—

3

【解析】

(1)利用线面垂直的性质得出MOLON,进而得出ZWLO△OCN,利用相似三角形的性质，得出AM，从而

得出的值；

(2)利用线面垂直的判定定理得出所，平面AOV,进而得出四面体E/W的体积计算出

EF,SMON，即可得出四面体〃—EFN的体积•

【详解】

(1)因为MO,平面ERV,ONu平面EFN,所以MOLQV

又因为R4，NC都垂直于平面ABCD,所以△M4OAOCN

又E,尸分别是正方形ABCD边BC,CD的中点，且A4=AB=4，NC=2

AMAOAM372。

所以----=——=>—=----AM=3

OCNC412

(2)因为E,歹分别是正方形ABC。边BC,CD的中点，所以即，AC

又因为R4,NC都垂直于平面A3CD,石产u平面ABCD,所以印LOV

因为ACcNC=C,AC,NCu平面ACN,所以EF，平面ACN

所以，四面体M—E7W的体积V=

EF-2A/2，S^MON=Wx4^2x2=4A/2

所以v=g.

3

本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.

20.（1）李某月应缴纳的个税金额为2910元，（2）分布列详见解析，期望为H50元

【解析】

（1）分段计算个人所得税额；

（2）随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可.

【详解】

解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600-5000T000-2000=21600元

不超过3000的部分税额为3000x3%=90元

超过3000元至12000元的部分税额为9000x10%=900元，

超过12000元至25000元的部分税额为9600x20%=1920元

所以李某月应缴纳的个税金额为90+900+1920=2910元，

（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-5000-1000-2000=12000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900=990元

有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-5000-1000=14000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+400=1390元；

没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-