2025年高考数学一轮复习：课时作业三十一 平面向量的应用

三十一平面向量的应用

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）四边形ABCD中，而=丽，（方+南）•（同-布尸0,则这个四边形是（）

A.菱形B.矩形

C正方形D.等腰梯形

【解析】选A.由题意，而=而，即且故四边形力5C7）为平行四

边开乡，又+而）•（左-布尸前•砺=0,故即四边开乡ABCD为菱开幺

2.（5分）如图所示，在ZU5C中加壮/民近卡丽,1前1=1,则前•而=（）

A

BDC

A.2V3C.gD,A/3

【解析】选D.ACAD^（AB+BCyAD^ABAD+BC-AD^BCAD=y/3BDAD^

y^\BD\\AD\-cosZBDA^y[3\AD\2=^.

3.（5分）一物体在大小为10N的力厂的作用下产生的位移s的大小为50m,且力

F所做的功秒250"N-m,则F与s的夹角Q为（）

A.1350B.90°C.60°D.450

【解析】选D.由题意可知:W/gcos3,

即250"=10X50COSa解彳导cos。=^,夕=45。.

4.（5分X多选题X2023•开封模拟）若平面上的三个力作用于一点,且处于

平衡状态.已知忸卜4N,|F2|=2Nd与F2的夹角为120。厕下列说法正确的

是（）

A.|0|=20N

B/i与万3的夹角为90。

C.B与丹的夹角为90。

D.(B+B>B=4

【解析】选AC.如图所示，设F},F2,F3分别为51,而相

C

b

将向量进行平移，砺平移至加，将51反向延长至点。，则/4徒=120。,/。4皮=

NQOB=180。-NA05=60。，

]

在△04"中,由余弦定理得,O52=4g2+Q42_248，.Q4cos60。=4+16-2*2*4乂广12,

所以O皮=24,即忸3卜2&N,故A正确；

显然，在404皮中,。6。+/3。=12+4=16=。42,即//皮。=90。,所以/。。£）=

N/O皮=30。,所以Fx与F3的夹角//0。=180。-/。0£>=150。,故B错误;

尸2与尸3的夹角/30。=/。。5+/。。。=60。+30。=90。,故C正确;

______---->---->---->---->»---->>---->---->211111、■—।

{F1+F3yF2^OA+OC)-OB^OA+B'O}-OB^B'A-0B=-0B=-4,故D错俣.

5.（5分）如图,在平面四边形/5C7）中J_CD,/540=120。〃5=40=1.

若点E为边CD上的动点，则荏•族的最小值为（）

A21c325

A-16B2C-160

【解析】选A.解法一:（坐标法）如图，以D点为坐标原点所在直线为x轴QC

所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

所以41,0）,与（53，］/3）,在平面四边形/58中知CD=0

所以设=（£［0,逆］）,所以Eg）.

3°

所以当片彳时,G4E，BE）min=R

解法二：（基向量法）连接"（图略），易知。。=也N010=60。,设Z）E=x（0<x<V3）,

则荏•族=（而+方初•（瓦"癌+族）

=lxixcos600+P+0+xxlxcos150。+0+%2=（%一1）2+H4

解法三:（基向量法）如图，取AB的中点R连接EF,

C

A

则荏・丽=瓦?・丽=（前+记）•（前-嬴尸加2-元/发铲］可知当且仅当前最小时，

荏•而取最小值.分别过点F,B作CD的垂线，垂足分别为〃,G,当点E与H重合

时，历取到最小值，易知HF为梯形DABG的中位线，

由已知得即

1s5

则|成片⑭G|+|"）|）q故|S的最小值为对

Z4,41

故福丽的最小值为磊

6.（5分X2023・南昌模拟）如图是圆O的一条直径，且AB=6,CQ是圆O上任意

两点,CQ=3,点P在线段CD上，则港•丽的取值范围是（）

D

C

O

A

A」"]B.

C9

-D.-9,0]

4?

【解题指南】连接OR根据数量积的运算律得到港•丽=|丽|-9,再根据点P在

线段CD上，求出|而|的取值范围即可得解.

【解析】选C.如图，连接OP,

则港・丽=（刀+51）•（而+砺）

------->2>>>>>>

=P。+POOB+POOA+OAOB

=PO2+PO-（OB+O1）-O^2=|PO|2-9.

因为点P在线段CD上且8=3,则圆心到直线CD的距离d=『一（I?",

所以Um而归3,更|正信义

所以而『-9或，

_、____,Q

即PAPB的取值范围是［二（）］.

7.（5分）已知两个力的夹角为《它们的合力大小为10N,合力与B的夹角为

。，那么鸟的大小为__________.

4,

【解析】因为两个力的夹角为3

所以/2=0,又因为它们的合力大小为10N,合力与F的夹角为"

x4,

二匚I”H（尸1+尸2>尸1|尸J出名/।[后

所以cos1凡心2眄「『T，解同F」=5"N.

答案：5也N

8.（5分）在ZU5C中乃为AC的中点Q是线段BE上的动点，若配=法即7而，则:+

:的最小值为.

【解析】如图，

因为而=%同+7E为边AC的中点，所以而=%前+2母,

因为B,E,D三点共线，所以x+2y=l（x>0,y>0）,

空

X

当且仅当T产|时取等号，故子的最小值为9.

答案：9

9.（5分）已知在直角梯形48C7）中40〃5。,/40。=90。40=2,与。=1/是腰DC

上的动点，则|2方+3丽曲最小值为.

【解析】以。为坐标原点，瓦I反分别为xj轴的正方向建立平面直角坐标系，如

图所示,

4

DAx

设C(O,a),尸(0,6)乃(l,a)H(2,0),0W丛a,

则2港+3丽=2(2,-b)+3(l,a1)=(7,3a-56),

|2直+3丽曰49+(3a.5b色7,当且仅当6弓时取得最小值7.

答案：7

10.(10分)已知向量a=(cosx,sin%),6=(3,--\/3)^£[0,7i].

⑴若。〃也求小的值;

【解析】⑴因为a=(cosx,sinx),

b=*,-病/〃b,

所以-避cosx=3sinx.

若cosx=0,贝Usinx=0,与sin2x+cos2x=l矛盾，

故cosHO,于是tan%=-£

__STT

又xe[OR,所以x=-^-.

(2)记於尸”也求於)的最大值和最小值以及对应的x的值.

【解析】(2g尸a-b=(cosx,sinx)-(3<A/3)

=3cosx-^/3sinx=2^/3cos(x+^).

因为工引0两,所以*可。生

从而-13cos(x+g)<^.

于是，当x+W即x=0时作)取得最大值3;

当X牛豆,即时4X)取得最小值-2/.

11.(10分)如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,5。分别在x,y轴正半

轴上/5=440=2,点E为AB上一点，

⑴若DEL4C,求4E的长；

【解析】⑴由题可得40,0)乃(4,0)1(0,2),。(4,2)厕前=(4,2).

设与%,0)(。。34),贝U族=(%,-2).

因为DEJ_4C,则屁•前=4x-4=0=x=l,

则夙1,0),故/E的长为1;

(2)若E为AB的中点力。与DE的交点为此求cos/CME.

【解析】(2)若E为AB的中点，则凤2,0),族=(2,-2),又就=(4,2),

所以cosNCyE^cosc蔗方

\AC\\DE\2JGx2避10

【能力提升练】

12.（5分）（2023•开封模拟）如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆

出前轮），圆Q（后轮）的半径均为信A4豳AgECMECT）均是边长为4的等边三

角形.设点P为后轮上的一点，则在该自行车的骑行过程中，前•丽的最大值为

A.18B.24C.36D.48

【解析】选C.骑行过程中间,民CQ乃相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.

如图，以4。所在直线为%轴£为坐标原点建立平面直角坐标系,

由题意得^(-4,0),5(-2,273),0(2,273),

圆D的方程为(+4)2+y=3,

设P(4+避cos%gsina),a£[0,2TI),

贝11元=(6,2平)，

BP=(6+^cosa,^/3sina-2^/3),

前,丽=6(6+淄cosa)+2^/3(^/3sina-2班)

=6^/3cosa+6sina+24

=12(|sina+^cosa)+24=12sin(a+§+24,

易知当sin(a+g)=l时，就•而取得最大值36.

13.(5分)如图,在扇形COQ及扇形中,动点。在^

CD

(含端点)上，则港•丽的最小值为.

【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则4(1,0),5(.

设。(3cos&3sin8),e£[0,g],

则PZ=(-3cos0+1,-3sin0),

PB=(-3cos仇；,-3sin。+事，

则巨，丽=(3cos6-1)(3cos0+1)+3sin0(3sin"片)=^-3sin(6+g),

其中白/

所以刀・丽力-3sin(6+g)>y-3=^,

当且仅当夕三时，取“=”.

农案.卫

口木.2

33

14.(10分)(2023・齐齐哈尔模拟)已知向量a=(cos/sin-x)，向量

b=(cos|x,-sin|x)[0,1].

(1)求ab及|a+b\,

[解析](1)由题意可得，"力=cos|xcos|x-sinjxsin|x=cos(|x+|x)=cos2x,

..I2^.231...I211~2

|a|=Jcos/+sin/=1,\b\=cos2‘产+(-sin/)=1,

所以|a+b|+b)2=^a2+2a-b+&2=^/1+2cos2x+l=^4cos2%,

又因为工£[0,3,则85%加,可得|(1+b|=2cosx,

所以ab^cos2x,\a+b|=2cosx

3

(2)若兀0=a-Z>2|a+b|的最小值为z求t的值.

【解析】(2)由⑴可得，

/(x)=cos2x-4/cosx=2cos2x-4/cosx-1,

因为x£[0勺,令m=cosxG[o,l],

原题意等价于g(m)=2m2-4/m-l在[0,1]上的最小值为工，

注意到函数g(M开口向上，对称轴为加气则有：

若仑1,则g(M在[0,1]上单调递减，

可得当加=1时，函数g（加）取到最小值

g(l)=l-4/=--,

解得上|,不合题意,舍去；

若0«<1,则g(⑼在［0月上单调递减，在&1］上单调递增,

__q

可得当m=t时，函数g(m)取到最小值g(0=-2?2-l=--,

解得上!或右［舍去)；

若合0,则g(加)在［0,1］上单调递增，

_2

可得当m=Q时，函数g(M取到最小值g(0)=-l声不合题意,舍去；

综上所述/的值为;.

【加练备选】

如图，向量。4