2024-2025学年广西某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

-1

A.x2+y=3B.3%+y—5=0C.x+-=3D.x2—8=0

2.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.如图，四边形A8C0内接于。。，若乙。=125。，贝此4的度数为（）

A.25°

B.30°

C.50°

D.55°

4.若二次函数）/=。=2的图象经过点「（一2,4）,则该图象必经过点（）

A.（2,4）B.（-2-4）C.（-4,2）D.（4-2）

5.若%1，%2是方程-7=0的两个根，贝女）

/,7

A.汽1+久2=6B.%1+%2=-6C.%i%2=qD.%i%2=7

6,将抛物线y=（%-+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（）

A.y=（x—I）2+4B.y=（x—4）2+4C,y=（%+2）2+6D.y=（x—4）2+6

7.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可

支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为久，依题

意可列方程为（）

A.3.2(1-」3=3.7B,3.2(1+%)2=3.7C.3.7(1-%)2=3.2D,3.7(1+%)2=3.2

8.如图，在△ABC中,△8=80。，Z.C=65°,将△ABC绕点/逆时针旋转得到△AB'C''当落在4C上

时，NB4C，的度数为（）

A.65°B.70°

C.80°D,85°

9.关于％的一元二次方程%2+4%-fc=0有两个相等的实数根，贝收的值为（）

A.-4B.4C.0D.16

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10.已知4（一1,%）,8（2）2），。（4,乃）是二次函数y=-/+2比+C的图象上的三个点，则yi，y2,油的大

小关系为（）

A.yi<y2<为B.y2<yi<乃C.%<乃<乃D.y3<yi<吸

11.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上

任取两点4B,连接力B,作力B的垂直平分线CD交2B于点0,交旋于点C,测出4B=40cm,

CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm

12.如图，抛物线根：y=a/+b（。vo力>o）与%轴于点/、8（点4在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物

线加绕点B旋转180。，得到新的抛物线九，它的顶点为Ci，与%轴的另一个交点为4.若四边形ACi&C为矩

形，则a,b应满足的关系式为（

A.ab=-2B.ab=—3C.ab=—4D.ab=—5

二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

13.抛物线y=Q-2尸+5的顶点坐标是

14.一元二次方程2/=9久+5化为一般形式之后，则一次项的系数为

15.抛物线y=ax2+bx+c（aH0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐

标为（-3,0）,对称轴为直线刀=-1,抛物线与x轴的另一个交点坐标为

16.一元二次方程4式*-2）=刀一2的解为.

17.点尸是正五边形48CDE边DE的中点，连接BF并延长

与CD延长线交于点G,贝亚BGC的度数为.

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18.《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(

短

直角边)长为6步，股(长直角边)长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于步.

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

19.解一元二次方程：x2-4x+3=0

四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(本小题6分)

计算：一F+(8一兀)°一(3-1+V=8.

21.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为2(1,4),8(4,2),C(3,5).

(1)画出△ABC关于原点。成中心对称的△AiBiCi，并写出点Ci的坐标;

(2)将△2BC绕原点。逆时针旋转90。得到△色&牝，画出2c2，并写出点人2的坐标.

22.(本小题10分)

如图，在△4BC中，AB=AC,以力B为直径的。。分别交力C、BC于点。、E.

(1)求证：BE=CE-,

(2)若=6,Z.BAC=54。，求筋的长.

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23.(本小题10分)

一次足球训练中，小明从球门正前方8爪的a处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为

6m时，球达到最高点，此时球离地面3nl.已知球门高。B为2.44m,现以。为原点建立如图所示直角坐标

系.

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素);

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多

少米射门，才能让足球经过点。正上方2.25爪处?

24.(本小题10分)

如图，△ABC内接于。。，4B是。。的直径，点E在。。上，点C是BE的中点，AE1CD,垂足为点

DC的延长线交的延长线于点F.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)若CD=®^ABC=60°,求线段力F的长.

25.(本小题10分)

课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=%2+2ax+a-3的最值问题展开探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

(1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式；

②求当支取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理

成如表：

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a一4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*为②的计算结果.

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取久=一口，就能得到y的最小值

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值”

(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理？

(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

26.(本小题10分)

如图1,在△ABC中，ZC=90°,ZXBC=30°,AC=1,。为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接

BD,将线段BD绕点。逆时针旋转60。，使点B到达点尸的位置；将线段力B绕点B顺时针旋转60。，使点4到达

点E的位置，连接4D,CD,AE,AF,BF,EF.

(1)求证：4BDA咨ABFE；

(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF；

(3)如图2,M,N,P分别是。尸，AF,4E的中点，连接MP,NP,在点。运动的过程中，请判断NMPN的大

小是否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.

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参考答案

1.D

2.B

3.0

4.A

5.4

6.B

7.5

8.B

9.4

10.D

11.C

12.B

13.(2,5)

14.-9

15.(1,0)

16.%i-2,%2=,

17.18°

18.4

19.解：(%—3)(%—1)=0,

x—3=。或x—1=0,

所以X1=3,%2=1.

20.解：―12+(避一兀)°一弓)-1+尸，

=-1+1-2-2,

=—4.

21.解：(1)如图：△Ai/Ci即为所求；点G的坐标(一3,-5).

(2)如图：2c2即为所求；点42的坐标

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(1)证明：如图，连接4E.

•••4B是圆。的直径,

/-AEB=90°,

即4E1BC.

又•••AB=AC,

•••AE是边BC上的中线,

BE=CE；

(2)解：AB=6,

OA-3.

又•：OA=OD,ABAC=54°,

^AOD=180°-2X54°=72°,

GJAA1/斗72x7Tx367r

•・・4D的长为：180

23.解:(1)8-6=2,

•••抛物线的顶点坐标为(2,3),

设抛物线为y=a(x-2)2+3,

把点力(8,0)代入得：36a+3=0,

解得a=一击,

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抛物线的函数表达式为y=—右0—2¥+3；

当x=0时，y=一点X4+3=£>2.44,

二球不能射进球门.

(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=-^(x-2-m)2+3,

把点(0,2.25)代入得:2.25=-圭(0-2-6)2+3,

解得m=一5(舍去)或m=1,

当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点。正上方2.25爪处.

24.(1)证明：连接。C,

•・,点C是翁的中点，一一、

••,BC=CE,qB(?

・

•.ABAC=Z.CAE9

VOC=0A,

D

•••Z-OCA=Z.OAC,

Z-OCA=Z.CADf

・•.OC//AD,

AE1CD,

・•・OC1DF,

••・oc是。。的半径，

・•.CD是。。的切线；

(2)解：・・・48是。。的直径，

・•・^ACB=90°,

•••乙ABC=60°,

・•.ABAC=30°,

・•・乙CAD=ABAC=30°,

・・・ZD=90°,CD=后

•••AD—避CD=3,

•・•乙F=180°-^D-^BAD=30°,

AF=2AD=6.

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25.解：(1)①a=—4,y=x2+2ax+a—3=x2—8x—7；

②当％=—*=4时，y取得最小值为：16—32—7=-23；

(2)合理，理由：

•-1>0,故函数有最小值,

当X=一卷=一a时，y取得最小值，

故甲同学的说法合理；

(3)正确，理由：

当x=-a时，y=x2+2ax+a—3=—a2+a—3,

•••-l<0,故y有最大值，

当。=纲，y的最大值为：一；+：3=一4.

Z4,Z4,

26.解：(1)证明：由旋转的性质可得。8=DF,^BDF=60°,AB=EB,^ABE=60°,

・•・△引加是等边三角形，BD=BF,

・•・乙DBF=AABE=60°,

•••Z-DBF—Z-ABF=乙ABE—4ABF,

・•.匕ABD=Z.EBF,

在△8D4与中，

BD=BF

[Z-ABD=乙EBF,

AB=EB

.-.ABDA^ABFE(SAS)；

(2)证明：由(1)可知△BDF是等边三角形，

•••Z-BFD=乙BDF=60°,

•・•当CD,F,E共线时，CD+DF+FE最小，

・•・Z.BFE=180°-zBFD=120°,

•••△BDA^ABFE,

•••Z.BDA=^BFE