江西省五市八校协作体2025届高二数学第一学期期末经典试题含解析

江西省五市八校协作体2025届高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，，则（）A.6 B.3C.2 D.12．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里3．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）A.3 B.2C. D.44．双曲线的焦点坐标是（）A. B.C. D.5．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（）A. B.C. D.6．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B.C. D.7．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）A.0 B.1C.无数个 D.0或无数个8．已知随机变量X，Y满足，，且，则的值为（）A.0.2 B.0.3C.0..5 D.0.69．如图所示，已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（）A B.C. D.10．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（）A. B.C. D.11．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（）A. B.C. D.12．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A.2 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.14．已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.15．函数在处切线的斜率为_____16．若函数在处有极值，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）数列满足，，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.19．（12分）某校为了了解在校学生的支出情况，组织学生调查了该校2014年至2020年学生的人均月支出y(单位：百元)的数据如下表：年份2014201520162017201820192020年份代号t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中连续的两年里，两年人均月支出都超过4百元的概率；（2）求y关于t的线性回归方程；（3）利用（2）中的回归方程，预测该校2022年的人均月支出.附：最小二乘估计公式：，20．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、.规划要求，线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.（1）若道路与桥垂直，求道路的长；（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.21．（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和22．（10分）已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等差数列下标性质进行求解即可.【详解】因为是等差数列，所以，故选：B2、B【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.3、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，∴，∴，又，∴，故△为等边三角形，∴直线l被圆C截得线段的长是2故选：B4、B【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.5、B【解析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】在中，由正弦定理得：.故选：B.6、D【解析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.【详解】令，得，即，所以，因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，所以，即，可得，则，故选：D.第II卷（非选择题7、D【解析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.【详解】设等比数列的公比为，当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，当时，，所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.故选：D.8、D【解析】利用正态分布的计算公式：，【详解】且又故选：D9、D【解析】由题设可得，直线的方程为，点线距离公式表示到直线的距离，又联立解得即可得出答案.【详解】且，则△是等边三角形，设，则①，∴直线方程为，即，∴到直线的距离为②，又③，联立①②③，解得，，故椭圆方程为.故选：D.10、B【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为N为BC中点，所以,因为M在线段OA上，且，所以，所以，故选：B11、D【解析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集为.故选：D.12、D【解析】根据抛物线的定义得出当点P在抛物线的顶点时，|PF|取最小值.【详解】根据题意，设抛物线y＝2x2上点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y，其准线方程为y＝－，∴当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：14、【解析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.【详解】连接，由题意，，则，由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，故短半轴长为1，故轨迹方程为：.故答案为：.15、1【解析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为1，故答案为：116、2或6【解析】由解析式得到导函数，结合是函数极值点，即可求的值.【详解】由，得，因为函数在处有极值，所以，即，解得2或6.经检验，2或6满足题意.故答案为：2或6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)【解析】（1）将的两边同除以，得到，由等差数列的定义，即可作出证明；（2）有（1）求出，利用错位相减法即可求解数列的前项和.试题解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.点睛：本题主要考查了等差数列的定义、等差数列的判定与证明和数列的求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本的解答中利用等差数列的定义得到数列为等差数列，求解的表达式，从而化简得到，利用乘公比错位相减法求和中，准确计算是解答的一个难点.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接四边形为正方形，，且为的中点又四边形为菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，则由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，设为平面的法向量，为平面的法向量，则故可取，同理故可取，所以设平面与平面所成的二面角为，则，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为19、（1）；（2）；（3）7.8百元.【解析】（1）应用列举法，结合古典概型计算公式进行进行求解即可；（2）根据题中所给的公式进行计算求解即可；（3）根据（2）的结论，利用代入法进行求解即可.【小问1详解】2014年至2020年中连续的两年有、、、、、共6种组合，其中只有不满足连续两年人均月支出都超过4百元，所以连续两年人均月支出都超过4百元的概率为；【小问2详解】由已知数据分别求出公式中的量.，，，，所求回归方程为；小问3详解】由（2）知，，将2022年的年份代号代入（2）中的回归方程，得，故预测该校2022年人均月支出为7.8百元.20、（1）15（百米）（2）点选在处不满足规划要求，理由见解析【解析】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.【小问1详解】如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.因为，，所以，故直线的方程为，则点，的纵坐标分别为3，从而，，直线的斜率为.因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.令，得，，所以.因此道路的长为15（百米）.【小问2详解】若点选在处，连结，可求出点，又，所以线段.由解得或，故不妨取，得到在线段上的点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.因此点选在处不满足规划要求.21、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的