南昌市第二十八中学2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

南昌市第二十八中学2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.2．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1443．设，，若，其中是自然对数底，则（）A. B.C. D.4．椭圆的焦点坐标为（）A.和 B.和C.和 D.和5．方程表示的曲线是（）A.一个椭圆和一条直线 B.一个椭圆和一条射线C.一条射线 D.一个椭圆6．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（）A.1 B.C. D.7．已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．8．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是A. B.C. D.9．设函数的导函数是，若，则（）A. B.C. D.10．如图，在空间四边形中，（）A. B.C. D.11．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12．两圆和的位置关系是（）A.内切 B.外离C.外切 D.相交二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______14．已知圆，过点作圆O的切线，则切线方程为___________.15．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________16．圆与圆的公共弦长为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程18．（12分）已知函数，在处有极值.（1）求、的值；（2）若，有个不同实根，求的范围.19．（12分）如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，点为的中点，点在直线上，且（1）证明：面；（2）求平面和平面夹角的余弦值20．（12分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；21．（12分）求适合条件的椭圆的标准方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，已知（1）求角B的大小；（2）求三角形ABC的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.【详解】解：根据题意，设，所以①，②，所以，①②得：，即，因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，所以，即，所以抛物线，准线方程为.故选：B2、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.3、A【解析】利用函数的单调性可得正确的选项.【详解】令，因为均为，故为上的增函数，由可得，故，故选：A.4、D【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.【详解】，可得焦点坐标为和.故选：D5、A【解析】根据题意得到或，即可求解.【详解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲线为一个椭圆或一条直线.故选：A.6、B【解析】先证明点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，由题得平面,所以平面,所以,同理,因为平面，所以平面，所以是平面一个法向量，所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，故所求的距离为.故选：B【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.7、D【解析】由题可知：，，，故选；D8、B【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.9、A【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.10、A【解析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.【详解】根据向量的加法、减法法则得.故选：A.11、B【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.【详解】根据题意，连接，作图如下：显然为直角三角形，又，又点在双曲线上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故双曲线的离心率为.故选：B.12、A【解析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，两圆圆心距为，则，因此，两圆和内切.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为，即，又所以所求切线的倾斜角为故答案为：14、或【解析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.【详解】由题设，，故在圆外，根据圆及，知：过作圆O的切线斜率一定存在，∴可设切线为，联立圆的方程，整理得，∴，解得或.∴切线方程为或.故答案为：或.15、m≥6【解析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，转为当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，求出最值即可确定m的取值范围【详解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因为，要使p是q的充分条件，则当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，令，则在上单调递增，故当时取到最大值6，所以m≥6故答案为：m≥6【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题16、【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆与圆两式相减得，公共弦所在直线方程为：圆，圆心为到公共弦的距离为：公共弦长故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程【小问1详解】设，则，即因为，，所以因为，所以，所以.同理可证.因为，，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以直线必过坐标原点【小问2详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立，整理得，则，，.因为，所以，因为，解得或.当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；所以直线的方程为，所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.故直线过定点.因为为的中点，为的中点，所以过定点.因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，该圆的半径，圆心坐标为，故动点的轨迹方程为18、（1），（2）【解析】（1）根据题设条件可得，由此可解得与的值（2）依题意可知直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围介于极小值与极大值之间.【小问1详解】因为函数，在处有极值，所以，即，解得，.【小问2详解】由（1）知，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，，若有3个不同实根，则，所以的取值范围为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果.【小问1详解】证明：正中，点为的中点，，因为平面，平面，则，，则平面，平面，则，又，且，平面.【小问2详解】解：因为，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，平面，平面，则，又因为，，故平面，所以，平面的一个法向量为，则.因此，平面和平面夹角的余弦值为.20、（1）（2）【解析】(1)利用等差数列的性质可得,联立方程可得,代入等差数列的通项公式可求;(2)代入等差数列的前和公式可求,进一步可得,然后结合等差数列的定义可得,从而可求.【详解】（1）为等差数列，，又是方程的两个根，（2）由（1）可知，为等差数列，舍去)当时，为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前项和公式的综合运用,属于中档题.21、（1）或（2）【解析】（1）待定系数法去求椭圆的标准方程即可；（2）待定系数法去求椭圆的标准方程即可.【小问1详解】当椭圆焦点在x轴上时，方程可设为，将点代入得，解之得，则所求椭圆方程为当椭圆焦点在y轴上时，方程可设为，将点代入得，解之得，则所求椭圆方程为【小问2详解】椭圆方程可设为，则，解之得，则椭圆方程为22、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函数