2024-2025学年湖南省株洲某中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M={（a,b）|ab=16,a,beN*},则M中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知直线4：ax+4y-2=0与直线2久一5y+b=0互相垂直，垂足为（1,c）,则a+b+c的值为

（）

A.-4B.20C.0D.24

3.已知△ABC内角4,B,C所对边的长分别为a,b,c,a=bcosC,则△ABC形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.设n是两条不同的直线，a,0,y是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（）

①若mua,n//a,则zn,几为异面直线②若a//y,0//y,则a//£

③若znlS，7nly,al/7,贝④若m1a,m//n,则a1£

⑤若21a,n//£,a//£,贝！1n

A.②③⑤B.①②⑤C.④⑤D.①③

上，则=()

5.已知点P（0,—1）关于直线x—y+1=。对称的点Q在圆C：%2+y2+mx_|_4=07n

A.4B4D-l

6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10

天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该

标志的城市是（）

A.甲：中位数为2,众数为3B.乙：总体均值为3,中位数为4

C.丙：总体均值为2,总体方差为3D.丁：总体均值为1,总体方差大于0

7.如图，在棱长为2的正方体力BCD中，P为线段BiC上的动点,则下列结论错误的是（）

A.直线&P与BD所成的角不可能是

B.当BiP=2PC时，点A到平面&BP的距离为争

C.当B]P=2PC时，AP=

D.若瓦万=则二面角B-4P-的平面角的正弦值为唱BC

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8.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义

1-cos。为角6的正矢，记作uersin。；定义1-s讥。为角。的余矢，记作covers。，则下列命题正确的是()

A.函数f(%)=versinx—coversx+1的对称中心为(/CTT—l)kGZ

B.若g(%)=versinx-coversx-1,则g(%)的最大值为+1

C.^h(x)=versin2x-coversx+1,h(a)=1且0VaV则圆心角为a,半径为3的扇形的面积为与

-,4-^versinx—lV_2icovers3x—l1

D.右--------=—,则mt---------=-

coversx—12coversx—13

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列四个命题中，是真命题的是()

1

A.VxGR且%W0,x+->2

x

B.3%G/?,使得汽2+1<2x

c-若x>o，y>。，用2黑

D.若久出，则与空的最小值为1

22x—4

10.设复数Z的共轨复数为3,i为虚数单位，则下列命题错误的是()

A.z2=\z\2

B.若z=cos2+isin2,贝！Jz在复平面内对应的点位于第二象限

C.z=会是纯虚数

l+2i

D.若|z—3+44=1,则|z|的最大值是6

11.设a为正实数，定义在R上的函数f(x)满足f(0)+f(a)=1,且对任意的x,yER,都有/(久+y)=

f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)则成立，则()

1

A./(a)=5或/(a)=1B./(x)关于直线x=a对称

C.fQ)为奇函数D./(%+4a)=/(%)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为左乙获

胜的概率为则乙获得冠军的概率为.

13.已知圆锥的母线长为2,其外接球表面积为琴，则圆锥的高为.

14.规定：Max{a,b}=，'设函数/'(x)=Max{sina)x,cosa>x](a)>0),若函数/(x)在(再)上单调递

增，则实数3的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知点苧)为圆C上的一点，圆心C坐标为(1,0),且过点力的直线/被圆C截得的弦长为

(1)求圆C的方程；

(2)求直线，的方程.

16.(本小题12分)

2024年8月12日，巴黎奥运会在法国巴黎成功举行闭幕式.组委会抽取100名观众进行了奥运会知识竞赛并

记录得分(满分：100,所有人的成绩都在[40,100]内)，根据得分将他们的成绩分成[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值；

(2)估计这100人竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)、众数及中位数.

17.(本小题12分)

如图，在直四棱柱ABCD中，底面四边形4BCD为梯形，AD//BC,AB=AD=2,BD=

2HBe=4.

⑴证明:

(2)若直线AB与平面Bi。/所成角的正弦值为半，点M为线段BD上一点，求点M到平面的距离.

18.(本小题12分)

已知函数/'(x)=sin2xcos<p—cos2xcos(^+?)(0<\(p\<今，对VxGR,有/(%)<|/(^)|

(1)求3的值及/(©的单调递增区间：

(2)在△ABC中，已知a=4,f(B)=1,其面积为54，求b；

(3)将函数y=f(x)图象上的所有点，向右平移刍个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐

标变为原来的2倍，得到函数y=g(X)的图象，若mxe[0,初,+s讥2%W2nI?-3m,求实数的取

值范围

19.(本小题12分)

已知集合4={1,2,3,eN,n>3),WU4且W中元素的个数为?n(m22),若存在a,vEW(uv

得n+u为2的正整数指数累，则称W为4的弱P(m)子集；若对任意的s,teW(s力t),s+t均为2的正整

数指则称皿为4的强P(m)子集.

(I)请判断集合名={1,2,3}和1%={2,3,4}是否为力的弱P(3)子集，并说明理由；

(II)是否存在力的强P(3)子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；

(III)若几=11,且4的任意一个元素个数为TH的子集都是4的弱P(zn)子集，求小的最小值.

参考答案

l.c

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

1.D

8.D

9.BCD

10.AB

11.AD

以1232—

13.73

14噂1]U百,4]

15.解：(1)设圆C的半径为r,

则|4C|=r=J0—1尸+(苧-0)2=1,

则圆C的方程为(％-I/+必=1;

(2)因为圆C的半径为1,

所以当直线/与圆相交所得的弦长为其时，圆心C到直线I的距离为=p

当直线1的斜率不存在时，直线/：此时圆心C到直线I的距离为a满足题意.

当直线I的斜率存在时，设直线Z：y-苧=依久—手，即2kx—2y+C—k=0,

jjiy|2/c+0+V5-_1

、J(2k)2+(-2)22

解得k=—苧，

代入①得：x+V~3y-2=0,

综上，直线/的方程为久=3或尤+Cy—2=0.

16.解：(1)由题意知(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)X10=1,

即0.085+a=0.1,得a=0.015.

(2)由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为45x0.05+55x0.15+65x0.20+75x0.30+

85x0.25+95x0.05=72分，

众数约为誓=75分，

前3组的频率为0.05+0.15+0.2=0.4,

前4组的频率为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,

所以中位数为70+琮/X10=70+y=竽分.

17.(1)证明：因为AB=4D=2,BD=272，

所以AB2+4。2=8=B£)2,所以4D,

因为48CD为直四棱柱，所以4414B,

因为ZiAC力。=4,ArA,ADu平面

所以48_L平面ADDiA，

因为所以AB11平面4DD1&,

因为力£>iu平面力所以1皿；

(2)解：由(1)及题意知，AB,AD,两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4B=2。=2,BD=272,BC=4,设=h(h>0),

所以2(0,0,0),5(2,0,0),当(2,0,初,C(2,4,0),5(0,2,九),£>(0,2,0),

所以荏=(2,0,0),鬲=(0,-4,=(-2,-2,h),BC=(0,4,0),RD=(-2,2,0)，

设平面BiCD]的一个法向量为元=(x,y,z),

_----->―----->^(n-CB[=—4v+hz=0

则由元ICBi，n1CD有<一_1，

P1n-CD]=­2x—2y+hz=0

令z=4,则x=y=h,可得记=(h,h,4),

设直线与平面/CDi所成的角为仇

质宿_|2川76

则sin。=cos<AB,n>

而二百十缶7"，

解得九=2,所以元=(2,2,4),

所以点B到平面/CD］的距离d=嚅=洗=竽，

因为前•n=-2x2+2x2+4x0=0,所以前1n，

因为BDC平面BiCDi，所以BD〃平面

因为M在线段2。上，

所以点M到平面B/D]的距离等价于点B到平面BiCDi的距离，

故点M到平面Bi。5的距离为竽.

18.解：(l)/(x)=sin2xcos(p—cos2xcos(^+<p)—sin2xcos<p+cos2xsin(p=sin(2x+<p),

对有f(%)<|/©)|，故fG)=sin(与+R)=±1,

所以年+w=g+ku,kEZ,解得0=-g+kir,kEZf

因为0<|0]<9故只有当k=o时，满足要求，故9=—?

Zo

/(%)=sin(2x—,令-5+2/CTT<2%—^<^+2kn,kEZ,

解得一+kji4％工(+ku,kEZf

所以/(%)的单调递增区间为[*+而(+㈣水GZ；

(2)/(B)=sin(2B-^)=l,

因为8£(0,TT),所以28—*E(―，，”今，即28—3=*解得B=T，

6、666Z3

a=4,S^ABC-|acsinB—5V-3,即2c•苧=5，^，解得c—5,

由余弦定理得力2=a2+c2-2accosB=16+25—2x4x5x-=21,

解得b=/21；

(3)y=/(%)图象上的所有点，向右平移去个单位后，得到y=sin(2%-合工)=sin(2x

再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(%)=sin(%-匀，

3%E[0,n],v^sinfx—7)+sin2x<2m2—3m,

4

BP3%G[0,71],sinx—cosx+2sinxcosx<2m2—3m,

令sinx—cosx=t,贝！Jt=V_2sin(x—7)6[—1,y/~2],

贝吃sinxcosK=1—(sinx—cosx)2=1—t2,

故mtG[-1,―/+t+142?n^—377ir

其中—/+「+1=—-11)2+",当t=-1时，—/+「+1取得最小值，最小值为-1,

-1

所以一1<2m2-3m,解得m>1或m

所以实数小的取值范围是(一83U[1,+00).

19.1?：(1)名是4的弱。(3)子集，队不是4的弱P(3)子集.

理由如下：1+3=22,电中存在两个元素的和是2的正整数指数塞，所以明是4的弱P(3)子集.

2+3=5,3=4=7,2+4=6