天津市某中学2023-2024学年高一年级下册期末学情调查数学试卷（含答案解析）

天津市南开中学2023-2024学年高一下学期期末学情调查数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i.在复平面内，复数对应的点位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37,30,42,32,41,46,45,

48,35,53,则这组数据的第60百分位数为（）

A.45B.42C.43.5D.45.5

3.某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之

间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A.直方图中x的值为0.035

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为30人

C.估计全校学生的平均成绩为84分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

4.设有直线〃?、〃和平面二、夕.下列四个命题中，正确的是

A.若加〃a,〃〃a，贝I」

B.若7〃ua,〃ua,小〃则a〃夕

试卷第1页，共4页

C.若。_1，，冽ua,贝［］冽_|_，

D.若夕，m上。,加2。，贝！J加〃a

5.高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成

功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团

的概率分别为加，“，y,该同学只进入两个社团的概率为三，且三个社团都进不了的概率

为3，则加+"=()

12

7八1c8

A.—B.—C.--D.—

15121512

6.四棱锥P-/5CD的底面为正方形，为工底面/BCD,48=4,若该四棱锥的所有顶点

都在体积为326兀的同一球面上，则融的长为()

A.3B.4C.2A/2D.2退

7.在V/BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c.已知”=3,6=4,bcosA+acosB=2,

点。是V/8C的外心，^'Bd=xBA+yBC,贝ijx+y=()

61r23c23c29

A.—B.—C.—D.—

45364536

2冗__

8.已知VN8C中，,=彳，点。在边8C上且/\ABD,△/£>(7的面积分别是R,

S2,若40=加为定值，当NC+48取得最小值时，要的值为()

A.2mB.-42mC.2D.-^2

二、填空题

9.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36

人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生

900人，则该高中的学生总数为人.

10.高二年级某班欲从4名候选人中选出2名担任高一新生辅导员，其中甲被选中的概率

为.

11.已知向量工=(-1,5),S=(-3,4),则向量刃在［工方向上的投影向量的坐标为.

12.在四面体042c中，M是棱。/上靠近A的三等分点，N,尸分别是的中点，

^OA=a,OB=b,OC=c,^OP=xOA+yOB+zOC,贝”+y+z=.

试卷第2页，共4页

13.四棱锥尸-/BCD中，底面为平行四边形，£为刃的中点，AEBC所在平面截四

棱锥得到两个几何体，其中较小的几何体与较大的几何体的体积比为.

14.如图，在四边形A8CD中，^5=60°,AB=2,BC=6,且4D-2C，石.方=一2贝I

|UULU|_____

实数彳的值为,若M,N是线段8C上的动点，且阿=1,则亚•丽的最小

三、解答题

15.如图，四棱锥尸-/BCD中，四边形/BCD是矩形，F4_L平面/BCD,AELPB于E,

4F工PD于F,设平面/£尸交尸C于G,求证：AG1PC.

16.如图，在四棱柱/8。£>-4片弓〃中，侧棱4/_L平面/BCD,AB!/CD,ABLAD,

AD=CD=1,AA}=AB=2,E为棱的中点，M为棱CE的中点.

试卷第3页，共4页

(1)证明：BC1CXE-

(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；

⑶求点G到平面BMBX的距离.

17.已知a,b,c分别是V/3C的内角/,B,C的对边，且。cos..

b2-cosB

⑴求q.

c

(2)若cosC=；,V48c的面积为正，求V/8C的周长.

⑶在(2)的条件下，求cos(23+.)的值.

18.如图①所示，矩形N3CA中，AD=\,48=2,点M是边CD的中点，将△/£而沿

翻折到△口",连接心，PC,得到图②的四棱锥尸-/2CA/,N为PB中点、.

⑴求证：NC//平面尸/M；

(2)若平面PAM1平面ABCD,求直线BC与平面PMB所成角的大小；

7T

(3)设尸的大小为仇若。€(。，万］,求平面和平面尸3c夹角余弦值的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678

答案DCCDDBAD

1.D

【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.

……3-5i(3-5i)(l+i)8-2i

【详解】:。二母高一一=4-i,

2

,对应的点为(4,-1),在第四象限,

故选：D.

2.C

【分析】把10名老师的年龄从小到大排列，再利用第60百分位数的定义求解即得.

【详解】10名老师的年龄从小到大排列为：30,32,35,37,41,42,45,46,48,53,

42+45

由10x60%=6,所以这组数据的第60百分位数为——=43.5.

2

故选：C

3.C

【分析】由频率分布直方图求得x值判断A；由频率求得学生数判断B；由频率频率分布直

方图估计平均数判断C；由频率分布直方图求出百分位数判断D.

【详解】对于A,由频率分布直方图得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=l,解得x=0.03,

A错误；

对于B,成绩在区间［70,80)的学生数为10x0.015x400=60(人)，B错误；

对于C,平均成绩为55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84(分)，C正确;

对于D,全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为90+兰*10=95(分)，D错误.

0.4

故选：C

4.D

【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确,

B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，

C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，

D选项中由aJ_p,m±p,mUa,可得m〃a,故是正确命题，

故选D

答案第1页，共11页

5.D

【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于冽，〃的方程组，求解即可.

【详解】由该同学可以进入两个社团的概率为三，得,""•（1-3+!制1-〃）+%（1-加）=工，

3666636

由三个社团都进不了的概率为（，得（1-冽）（1-〃）（1-5=\,

^5

m+n+3mn=—

整理得:，解得加+〃=工.

112

m+n—mn=—

I2

故选：D

6.B

【分析】根据给定条件，把四棱锥尸-/BCD补形成长方体，利用四棱锥与长方体有相同的

外接球求解即得.

【详解】四棱锥P-4BC。的底面为正方形，〃，底面488,

则以AP,AB,AD为共点的三条棱的长方体与四棱锥P-ABCD有相同的外接球，

该外接球的直径2R=J尸++=&T+32,

由球体积为32省兀，得9*=326兀，解得R=2百,

因此Jp42+32=4G，所以尸4=4.

故选：B

7.A

【分析】利用余弦定理求出边。，利用数量积运算律，结合圆的性质列出方程组求解即得.

【详解】在V48c中，由余弦定理及6cosN+acosB=2,得力"^———+a-a+<?———=2,

2bc2ac

则c=2,由诙一就=而，得（茄一前了=凌2,^c2+a2-2BA-BC^b2>

于是B4BC=——,取NB中点。，则。。_LA8,BO-BA=-\BA^=2,同理

2

----1--,9

BO-BC=-\BC|2=-,

---2—►—►3

BOBA^xBA+yBA-BC=4r----y=x=

2

l^^d=xBA+yBC,贝小—_2，解得＜

BOBC^xBA-BC+yBC=---x+=—y=

答案第2页，共11页

所以f噜

故选：A

8.D

【分析】由凡"0=5"80+5/8可得2+1="，利用基本不等式“1”的妙用，求出取最小

bcm

值的条件即可.

OjrTT

【详解】令V/8C内角48,C所对边为。，4c,/=—,AD，AB交BC于D,则NC4)=g

3o

11TV12兀

由S.MC=S"BD+S/S及三角形面积公式得：-cm+-bmsm-=-bcsin—,

22623

整理得2+Lg于是Hc=(6+c)吟(>3=*(3+1+2)

bcmyj3bcyJ3be

2是.(2容万+3)=区l*2,当且仅当争"，即g岳时，6+c能取到最小值，此

<3\bcV3bc

1

-cmc

时c邑二一=多=收

S?—bmsin—

26

故选：D

【点睛】关键点点睛：由几何图形的特征，结合三角形面积公式建立仇。的关系等式是解题

的关键.

9.3600

【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.

【详解】由题意可知：高三年级抽取了36-15-12=9人,

由于高三共有900人，所以抽样比为击，

所以高中学生总数为36x100=3600,

故答案为：3600

10.-/0.5

2

答案第3页，共11页

【分析】利用列举法，结合古典概型求解即得.

【详解】除甲外的另3名候选人记为48,C,从4名候选人中选出2名的不同结果为:

/甲，8甲，C甲，AB,AC,BC,共6个，甲被选中的结果有3个，

31

所以甲被选中的概率为二=不

62

故答案为：—

2

【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得.

【详解】由2=(-1,5),否=(一3,4),得"—3=(2,1),

贝—加=石，=(Z—B)=—3x2+4xl=—2,

所以向量B在一一6方向上的投影向h量-fa产-h尊']伍--6-)=-2：(2,1)=(4-2。.

\a-b\555

42

故答案为：(-y,--)

12.9

6

【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得.

【详解】方二:(而+而)=?[评+?俾+无)二"+^5+^^,

41115

故x+y+z=-+—+—=—.

3446

故答案为：--.

6

3

13.-/0.6

【分析】作出平面防。截四棱锥尸-45C。所得截面，连接瓦)，借助比例法求出下部几何

体的体积即可得解.

【详解】由四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，得8C//40,而4。u平面PAD,

答案第4页，共11页

3C<Z平面尸4D,则8c〃平面尸/D,令平面班Cc平面24。=/,则〃/2C//4D,

又£为刃的中点，贝I"与尸D交点于尸，且尸是PD的中点，连接ED,

设四棱锥P-/8C。的体积为忆，则下面部分几何体的体积为唳TBCO+L-OM，

=

显然^ETBCD=三厂，^C-DEFT^C-PDE=~7^C-PAD~~7^P-ADC=g"，

2Z44o

553

贝1J腺TBCO+ZWM=三%，于是上面部分几何体的体积为忆3〉，

OOO

所以较小的几何体与较大的几何体的体积比为3:

故答案为：!3

【分析】求出48/。=120。，由瓦•君=一2利用数量积公式求解X的值即可；建立坐标系,

设M（九0）,则N（加+1,0）,利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.

.、，，■一，LAL1UInum一一,UUlflUULU

【详解】因为4D=/L8C，所以4D//3C，

因为/3=60。，所以/&10=120。，

所以石.存=［石'N^cos120°

=一；213cH/,=_g4x6x2=-2=>2=；；

建立如图所示的坐标系苫。了，

因为NB=60°,AB=2,BC=6,

可得Z（0,由）。（2,6）

,UULUI

设M（私0）,因为pw|=l,则N（m+l,0）,

所以而=9忙行），而=（m-1,一百），

AM-DN=m（m-l）+^V3j=m1—m+3={m—^\+^->,

答案第5页，共11页

当吧;时等号成立，

所以而•而的最小值为:■,

【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式,一是利用数量积的定义式，二是利

用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化

繁为简的妙用.

15.证明见解析

【分析】根据线面垂直的性质和判定定理得到PC,AFLPC,然后再利用线面垂直

的判定定理和性质证明即可.

【详解】因为P/工平面48C。，BCu平面/BCD,所以8cLp/,

因为PA^AB=A,平面尸所以3CL平面P43,

因为/Eu平面P48,所以4E_LBC,

因为PBcBC=B,P3,BCu平面PBC,所以平面PBC,

因为尸Cu平面尸5C,所以/E_LPC,

同理可得/尸_LPC,

因为NEc4F=/,/E,/户u平面4EF,所以尸C_L平面4EF,

因为NGu平面NE尸，所以/G_LPC.

16.(1)证明见解析;

⑵*

⑶平.

【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证

明推理即得.

答案第6页，共11页

(2)求出异面直线与40的方向向量，由向量的夹角公式即可得解.

(3)求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得.

【详解】(1)由N4，底面4BCZ),4D,48u平面48CD,得工4D,工

而即直线4D,叫,48两两垂直，

以点A为坐标原点，直线40,/4,48分别为x，%z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),5(0,0,2),D(l,0,0),C(1,0,1),G(1,2,1),B,(0,2,2),£(0,1,

鬲=(1,1,1),SC=(l,0,-l),

显然就•西=1x1-1x1=0,即反;_Lk，所以5C_LC]E.

BMADVn

\BM\\AD

所以异面直线BM与AD所成角的余弦值为YE.

——>113—>——►

(3)W==(0,2,0),=(—1,0,1),

心函=2y=0

设平面5MBi的法向量〃=(x,y,z),贝卜一——►113，令z=l,得〃=(3,0,1),

n•BM=—xHy——z=0

222

所以点£到平面BMBi的距离d==二=理

17.⑴万

(2)10

答案第7页，共11页

—7A/3—VL5

「16

【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦展开式可求；

（2）由三角形面积公式和同角三角函数关系求出sinC=Y6和劭=8,再由余弦定理解方

4

程组可得三角形边长，进而求出周长；

（3）由余弦展开式和二倍角公式求出结果即可.

【详解】（1）由£=c°s,得至I」2a-acos2=2cos/,由正弦定理和两角和的正弦展开式

b2-cosn

可得2sin/=sin4cos8+sinBcos力=sin(4+8)=sinC,

所以q=sin力_1

csinC2

(2)-S^ABC=-^sinC=V15,且cosC='，

24

由5m2。+852。=1,。>0,解得sinC=走,所以仍=8,

4

CosC_]_“2+/_/

又由余弦地理和上问c=2a可得<0°s42ab=>^2-3«2=4,

c=2a

将入目代入上式可得(3a2+⑹(a?_4)=0n“=2,

所以，b=c=4,所以V45C的周长为10.

vcos^25+^-j

=cos25cos--sin25sin—

⑶厂66①，

<31.

——cos2B----sino2DB

22

=V3cos2B-sin5cosB

2

由上问可知，等腰VZ5C,b=c=4,Q=2,

所以cos5=cosC=1,sin5=,

44

代入①可得—76一巫,

16

所以cos(2B+^]=-75VB

16

18.（1）证明见解析:

答案第8页，共11页

⑵不

⑶*

【分析】(1)取尸月中点。，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定

推理即得.

(2)借助面面垂直的性质，以河为原点建立空间直角坐标系，求出平面尸儿必的法向量，

利用线面角的向量求法求出大小.

(3)连接。G,过点。作。z,平面/BCD,以。为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空

间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.

【详解】(1)取PN中点。，连接NQ,M0,由N为网中点，得NQUAB,NQ=：AB,

依题意，MC/!AB,MC=^AB,%NQIIMC,NQ=MC,

于是四边形CM0N是平行四边形，CN//MQ,而MQ1平面尸NCa平面尸4W,

所以NC〃平面

(2)取4W中点G,连接尸G,由尸加=24=1,得尸G”AM,而平面P4W_L平面/8CZ),

平面P/Mc平面/8CD=4W,尸Gu平面,则尸G_L平面48CD,

过/作Mz//PG,贝UAfeJ_平面48C。，又u平面/BCD,于是Afe_LM4,Afc_LMS,

在矩形48CZ）中，MA=MB=C，+MB2=A=AB\则也_L奶，

以点”为原点，直线M4,Affi,分别为xj,z轴建立空间直角坐标系,

则M（0,0,0）,2（0,通,0）,C4[⑼,尸整，吟>

答案第9页，共11页

砺=（0„=（?0,当友二（一争一*）,

m-MB=42b=0

设平面尸的法向量为菊=（应仇c）,贝卜—•V241，令。=1，得机=（1,O,T），

m.MP=—a+—c=Q

.22

_____V2

设直线™2所成的角为“…丘意式

所以直线3C与平面5所成角的大小为

6

（3）连接。G,由。4得。G_L4W,ffi]PG'AM,则NPG。为尸一一。的平

面角，BPZPGD=0,

过点。作Dz,平面/BCD,以。为坐标原点，直线。4OC,Oz分别为xj,z轴建立空间直

则4（1,0,0）,M（0,1,0）,C（0,2,0）,

显然平面尸GO,nMu平面/BCD,则平面PGDL平面48cD,

在平面PGD内过尸作尸〃，OG于点H,则PH1平面ABCM,

设尸（Xo，%,zo）,jTuPG=—,则P〃="sine，GH=—cos0,£>//=—（1-cos

222