第二章-一元二次函数、方程和不等式单元测试(基础卷)(解析版)

试卷第=page1616页，总=sectionpages1616页试卷第=page11页，总=sectionpages1616页第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】先举例说明ABD不成立，再根据不等式性质说明C成立.【详解】当时，满足，但不成立，所以A错；当时，满足，但不成立，所以B错；当时，满足，但不成立，所以D错；因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对；故选：C【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.2．下列不等式的解集是空集的是A．x2-x+1>0 B．-2x2+x+1>0 C．2x-x2>5 D．x2+x>2【答案】C【解析】试题分析：A开口向上，，所以解集是空集；B解集为；C变形为开口向上，，所以解集是空集；D，解得考点：解一元二次不等式3．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.4．已知，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】比较、、的大小，进而可得出、、的大小关系.【详解】，，又，即，又、、均为正数，所以，.故选：D.【点睛】本题考查数的大小比较，考查推理能力，属于基础题.5．《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当与重合时，，所以，故选D.6．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依题意得到不等关系，即可得解.【详解】解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入克糖，此时糖水的浓度为，根据糖水更甜，可得故选：【点睛】本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题.7．若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是()A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤【答案】A【解析】【分析】由于x＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x，再求出左侧最大值即可求解.【详解】由题：对于任意的x＞0，不等式恒成立，即对于任意的x＞0，不等式恒成立，根据基本不等式：，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为，所以.故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.8．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】因为关于的不等式在区间上有解，所以在上有解，易知在上是减函数，所以时，，所以．故选：A【点睛】本题考查不等式有解问题，解题方法是用分离参数法转化为求函数的最值．二、多选题9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】BD【解析】【分析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.【详解】A选项：，，但是，A不正确；B选项：因为成立，则，那么，B正确；C选项：，但是，C不正确；D选项：因为，则，又，所以，D正确.故选：BD【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.10．下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，可得选项A,D正确，B,C错误.【详解】对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，重点考查了运算能力，属中档题.11．若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（）A．-8 B．-5 C．1 D．4【答案】ACD【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据题意知，从而求得k的取值范围.【详解】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD【点睛】本题考查一元二次不等式，根据集合的包含关系求参数，属于基础题.12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（）A．当时，不等式的解集为B．当，时，不等式的解集为C．当时，不等式的解集可以为的形式D．不等式的解集恰好为，那么E.不等式的解集恰好为，那么【答案】ABE【解析】【分析】根据解二次不等式，二次函数的知识依次判断每个选项：A正确；计算得到B正确；解集形式不正确得到C错误；计算不满足D错误；计算得到E正确，得到答案.【详解】由得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确.当时，不等式就是，解集为，当时，不等式就是，解集为，故B正确.在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，如图所示.由图知，当时，不等式的解集为的形式，故C错误.由的解集为，知，即，因此当，时函数值都是.由当时函数值是，得，解得或.当时，由，解得或，不满足，不符合题意，故D错误.当时，由，解得或，满足，所以，此时，故E正确.故选：【点睛】本题考查了解不等式，二次函数知识，意在考查学生对于二次函数、不等式知识的综合应用.三、填空题13．若，，则的取值范围是．【答案】(-2,4)【解析】【分析】根据条件，得到的范围，然后与的范围相加，得到的取值范围.【详解】因为，所以而所以故答案为.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.14．不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】移项后通分，再转化为一元二次不等式来求解，注意分母不为零.【详解】原不等式可化为即，所以，故，所以原不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查分式不等式的解集，此类不等式常利用符号法则转化为一元二次不等式来求解，转化时注意分母不为零，本题属于基础题.15．在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).【答案】20【解析】试题分析：设矩形高为，由三角形相似得且，所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为.考点：基本不等式的应用.16．已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.四、解答题17．已知二次函数的图象如图所示：（1）写出该函数的解析式；（2）求当时，函数的值域．【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设函数解析式为，将代入，求出的值，即可得到函数的解析式；（2）利用配方法，结合函数的定义域，可得函数的值域【详解】解：（1）设二次函数为，将代入，可得，得，所以二次函数解析式为，（2），因为，函数图像的对称轴为直线，所以当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为5，所以函数的值域为【点睛】此题考查求二次函数的解析式和值域，属于基础题18．已知集合，.（1）若集合，求此时实数的值；（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，方程的两根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数的值；（2）求出集合，分、、三种情况讨论，结合题中条件得出，可列出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1），所以，方程的两根分别为和，由韦达定理得，解得；（2），由于是的充分条件，则.当时，，此时不成立；当时，，，则有，解得；当时，，，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，同时也考查了利用充分条件关系求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19．已知，，求的取值范围．【答案】.【解析】【分析】先将表示成，再根据不等式的性质求解即可.【详解】解：令．解得．，．又，．故的取值范围为．【点睛】本题考查不等式的性质，是基础题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可.（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.【详解】（Ⅰ）当时，；当时，，.（Ⅱ）若，，当时，万元.若，，当且仅当时，即时，万元.2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【点睛】解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式.21．已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解．（2）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围．【详解】（1）∵，∴，即；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．（2）∵对任意的，恒成立，∴恒成立，即恒成立．当时，不等式为恒成立；当时，，∵∴∴，当且仅当时，即，时取“=”．∴．当时，．∵，∴．令，则，∵函数在上单调递增，∴当，即时，函数取到最大值，∴．综上所述，的取值范围是．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不