数学单元测试：坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测试一、选择题（每小题5分,共60分）1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是……（)A.椭圆B。比原来大的圆C。比原来小的圆D。双曲线答案：D2。在极坐标系中，点M（—2，）的位置,可按如下规则确定()A。作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M，使|OM｜=2B。作射线OP,使∠xOP=，再在射线OP上取点M，使｜OM｜=2C。作射线OP，使∠xOP=，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM｜=2D。作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=2答案：B3。极坐标方程sinθ=（ρ∈R）表示的曲线是…(）A.两条相交直线B.两条有公共点的射线C.一条直线D。一条射线答案:C4.直角坐标为（-3,4)的点的极坐标可能是…（)A.(5,arctan(）)B。（5,arcsin)C。(—5,-arccos)D.(-5,arccos())答案：C5。将极坐标（2,）化为直角坐标为(）A。(0，2）B。(0,-2）C。（2,0）D。(—2，0)答案：B6。极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A。直线B.圆C.双曲线D。抛物线答案：B7.坐标平面内,集合P=｛(ρ,θ）｜sinθ=-,ρ∈R}与集合S={（ρ,θ）|cosθ=,ρ∈R｝之间的关系是()A.PSPSC。P=SD.上述都不对答案：D8。已知点P的极坐标为(1，π),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A。ρ=1B.ρ=cosθC。ρ=D.ρ=解析：画图观察,C正确。答案:C9.在极坐标系中,过点A(6,π）作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为（）A.2B.6C。答案:C10。一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1（—5，109°）,P2(4，49°)，则这个三角形P1OP2的面积为(）A。B.C。D.10答案：A11。以极坐标系中的点（1,1）为圆心,1为半径的圆的方程是()A.ρ=2cos(θ-）B.ρ=2sin(θ-）C.ρ=2sin（θ—1）D。ρ=2cos（θ—1）答案：D12。已知曲线C与曲线ρ=53cosθ-5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程是(）A.ρ=-10cos(θ-)B。ρ=10cos(θ-)C。ρ=—10cos（θ+)D。ρ=10cos(θ+）答案：B二、填空题（每小题4分，共16分）13.将直角坐标P（-1,)化为极坐标(ρ〉0，0≤θ〈2π)为_________。答案:（2,)14。极坐标方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲线是________。答案：一条直线或一个圆15。在同一平面直角坐标系中，由椭圆=1变成圆x′2+y′2=1的伸缩变换公式为________.答案:16.曲线θ=0,θ=(ρ≥0）和ρ=4所围成的面积是________.答案:三、解答题（共74分）17.（12分）设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为30(万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°,试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.解:如图，建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处,极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列情形:(1)当θ=30°时，ρ=30(万千米）;（2）当θ=150°时,ρ=30（万千米)；（3）当θ=210°时,ρ=30(万千米）；(4）当θ=330°时，ρ=30（万千米).∴彗星此时的极坐标有四种情形:(30,30°),(30,150°)，(30,210°）,（30,330°）.18。（12分)(1）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:①（x2+y2）2=2a2xy；②x—3y=0.(2）将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程:①ρ2=cos2θ；②ρ=.解:（1）①由（x2+y2)2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsinθ。∴ρ2=2a2cosθsinθ，即ρ2=a2sin2θ。②由x-3y=0,得ρcosθ—3ρsinθ=0,tanθ=.∴θ=arctan。(2）①ρ2=cos2θ两边同时乘以ρ2,得ρ4=ρ2cos2θ=(ρcosθ）2.∴(x2+y2）2=x2,即有x2+y2=x或x2+y2=—x,它表示两个圆.②方程可化为2ρ—ρcosθ=4，即2ρ=4+x，两边平方得4ρ2=（x+4）2.4x2+4y2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2=16。19.（12分）已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P,使｜PA｜2+｜PB｜2+|PC｜2最小,并求出此最小值.解：如右图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,a),B(,0）,C(,0).设P（x，y）,则｜PA|2+｜PB|2+|PC｜2=x2+（y—a)2+（x+)2+y2+（x—)2+y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3（y—a)2+a2≥a2,当且仅当x=0,y=a时，等号成立，∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0，a)，是正△ABC的中心.20.（12分）已知定点A(a,0），动点P对极点O和点A的张角∠OPA=，在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=｜PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程。解:由题意可知｜PA｜=。又｜OQ|=|OP|+｜PA｜,∴ρ=2acos(-θ）.21。（12分)半径为a的两个等圆,它们的圆心分别在两条互相垂直相交于点O的定直线上,且两圆都过点O，过点O任意作直线l分别交两圆于A、B,试求出线段AB中点P的轨迹的极坐标方程。解:如图,建立极坐标系,设B(ρ1,θ）,其轨迹为ρ1=2acosθ。设A(ρ2,θ）,其轨迹为ρ2=2asinθ,设P(ρ,θ)，则ρ=(ρ1+ρ2)=（2acosθ+2asinθ）=a（cosθ+sinθ）=asin（θ+）。∴点P的轨迹的极坐标方程为ρ=asin（θ+)。22.（14分)如图，根据指令（r,θ）（r≥0，-180°≤θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ,θ为负时,按顺时针方向旋转｜θ｜),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.（1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4)。(2）机器人在完成该指令后,发现在点（17,0）处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令.（结果精确到小数点后两位）解：（1）求得r=，θ=