数学单元测试：第一章推理与证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章测评(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列｛an}中前四项分别为2，eq\f（2,7)，eq\f(2,13），eq\f(2,19),则an与an＋1之间的关系为（）A．an＋1＝an＋6B。eq\f(1，an＋1）＝eq\f(1,an)＋3C．an＋1＝eq\f(an,1＋3an）D．an＋1＝eq\f（1，an）2如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展"而来的（n＝1，2,3，…），则在第n个图形中共有______个顶点(）A．(n＋1）(n＋2）B．(n＋2）（n＋3）C．n2D．n3用数学归纳法证明不等式eq\f（1,n＋1）＋eq\f(1，n＋2）＋…＋eq\f（1,2n)〉eq\f（13,24）(n≥2)的过程中,由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边（）A．增加了一项eq\f（1，2k＋1)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1）和eq\f(1，2k＋2）C．增加了选项B中的两项但减少了一项eq\f(1,k＋1）D．以上均不正确4已知a,b∈R，且a≠b，a＋b＝2,则（）A．1＜ab＜eq\f（a2＋b2，2)B．ab＜1＜eq\f（a2＋b2，2）C．ab＜eq\f（a2＋b2，2)＜1D。eq\f（a2＋b2，2)＜ab＜15如图甲,在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2），那么在图乙所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ACeq\o\al（2,1)＋BDeq\o\al（2，1）＋CAeq\o\al（2,1)＋DBeq\o\al(2，1）等于()A．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1））B．3（AB2＋AD2＋AAeq\o\al（2，1））C．2（AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1））D．4（AB2＋AD2)6已知f(x)＝eq\f（a2x＋1－2,2x＋1）是奇函数，那么实数a的值等于（）A．1B．－1C．0D．±17(2008全国高考卷Ⅰ，理9)设奇函数f(x）在（0,＋∞)上为增函数，且f(1）＝0，则不等式eq\f(fx－f－x，x)＜0的解集为(）A．（－1，0）∪（1,＋∞)B．（－∞,－1）∪（0，1）C．(－∞，－1）∪（1，＋∞)D．（－1,0)∪(0,1）8已知a,b∈R＋，且a≠b，下列说法正确的是…（)A．a5＋b5≥a3b2＋a2b3B．a5＋b5＞a3b2＋a2b3C．a5＋b5≤a3b2＋a2b3D．a5＋b5＜a3b2＋a2b39已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·…·b9＝29。若{an｝为等差数列,a5＝2，则｛an}的类似结论为（）A．a1·a2·a3·…·a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×910某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f（2)种走法……则他从平地上到第n级(n≥3）台阶时的走法f（n)等于（）A．f（n－1)＋1B．f(n－2）＋2C．f（n－2）＋1D．f(n－1）＋f(n－2）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分．把答案填在题中的横线上)11（2010安徽屯溪期末考试）若数列{an}中，a1＝1,a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11,a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝__________。12根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于底乘高的eq\f（1,2)三棱锥的体积等于底面积乘高的eq\f（1,3)三角形的面积等于内切圆的半径与三角形周长的积的eq\f（1，2）13（2009浙江高考，文16)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有:设等比数列{bn｝的前n项积为Tn，则T4,______,______，eq\f（T16，T12)成等比数列．14如图，质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0，1），而后接着按图所示的箭头方向在与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是____________．15设f（n)＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1,3）＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f（1,2n－1)－eq\f（1，2n），则f(k＋1)＝f(k)＋__________.三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16（9分)如图（1），在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题,如图(2)，三棱锥ABCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论？命题是否是真命题．17（10分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1,ac＋bd＞1，求证a，b，c,d中至少有一个是负数．18(10分)设f（x)＝eq\f(ax＋a－x,2),g（x)＝eq\f(ax－a－x，2)(其中a＞0，且a≠1）．（1)请你推测g（5）能否用f(2），f（3），g(2），g(3）来表示；(2)如果（1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．19（11分）若不等式eq\f（1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1，3n＋1)＞eq\f（a,24)对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值，并证明结论．参考答案1解析：观察前四项分子相同，分母相差6，∴｛eq\f(1，an)}为等差数列．答案：B2解析：第1个图形是3＋3×3＝3×4个顶点,第2个图形是4＋4×4＝4×5个顶点，第3个图形是5＋5×5＝5×6个顶点，第4个图形是6＋6×6＝6×7个顶点…由此猜想第n个图形是（n＋2）(n＋3)个顶点．答案：B3解析:在n＝k＋1时，用k＋1替换n,再与n＝k时比较．答案:C4解析：∵a，b∈R，且a≠b，则ab＜(eq\f(a＋b,2))2＜eq\f（a2＋b2,2），而a＋b＝2，∴ab＜1＜eq\f（a2＋b2，2).答案：B5解析：已知平面上平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，利用类比推理可知，空间中,平行六面体的体对角线的平方和等于12条棱的平方和．答案：A6解析：方法一：函数的定义域为R,函数为奇函数，则x＝0时f（0）＝0，即eq\f（2a－2，2）＝0，∴a＝1.方法二：根据奇函数的定义,f(－x)＝－f（x）恒成立,即eq\f(a2－x＋1－2，2－x＋1）＝－eq\f（a2x＋1－2，2x＋1）恒成立,即eq\f(a1＋2x－21＋x，2x＋1)＝－eq\f（a2x＋1－2,2x＋1）恒成立,即2a＋a·2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1。答案：A7解析：由f(x）是奇函数，可知eq\f（fx－f－x，x）＝eq\f(2fx，x)＜0，而f(1)＝0，则f（－1)＝－f(1）＝0。当x＞0时，f(x)＜0＝f（1)；当x＜0时，f(x)＞0＝f(－1）．又f(x)在（0，＋∞)上为增函数，则奇函数f(x）在(－∞，0）上为增函数，所以解集为0＜x＜1，或－1＜x＜0.答案:D8解析：要比较两数的大小，只需两数作差与零比较．a5＋b5－a3b2－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝（a3－b3)(a2－b2)＝(a－b)2（a＋b）(a2＋ab＋b2)＝（a－b）2(a＋b)[(a＋eq\f（b,2）)2＋eq\f（3，4）b2]．∵a，b∈R＋,a≠b，∴（a－b)2＞0,(a＋eq\f（b,2）)2＋eq\f(3，4）b2＞0，a＋b＞0。∴a5＋b5－a3b2－a2b3＞0，即有a5＋b5＞a3b2＋a2b3.答案：B9解析：等比数列的特点是b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6＝beq\o\al(2，5），而等差数列的特点是a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.答案：D10解析:要到达第n级台阶有两种走法：(1）在第n－2级的基础上到达；(2)在第n－1级的基础上到达．答案：D11解析：前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a10由第46个到第55个奇数的和组成，即a10＝（2×46－1)＋（2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f（1091＋109,2）＝1000。答案:100012解析：设△ABC的内切圆的半径为r,圆心为O，三边长分别为a、b、c,连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形OAB、OAC、OBC，其面积和为S△ABC＝eq\f（1，2）（a＋b＋c)r.类似地，设三棱锥SABC的内切球半径为R,球心为O,连接OS、OA、OB、OC，将三棱锥分割为四个小三棱锥OSAB，OSAC，OSBC，OABC,其体积和为三棱锥SABC的体积,则V＝eq\f（1,3）S1R＋eq\f（1,3)S2R＋eq\f(1，3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f（1,3）（S1＋S2＋S3＋S4)R＝eq\f（1,3）S表R.答案：三棱锥的体积等于表面积与内切球半径的积的eq\f（1,3)13解析：∵b1b2b3b4＝T4，eq\f（T8,T4)＝b5b6b7b8＝b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4·q4＝T4·q16，eq\f（T12,T8）＝T4·q32,eq\f（T16，T12）＝T4·q48,故T4，eq\f(T8，T4），eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12）成等比数列．答案：eq\f(T8，T4)eq\f（T12,T8)14解析：观察可知,质点到达点（n,n)(n∈N）时，它走过的长度单位应为2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1）．因为2000＝44×45＋20，故此质点在到达(44，44）后继续前进了20个单位，再观察其规律,应是向左前进了20个单位，即知其位置为点(24,44）．答案：（24，44)15解析：∵f(k）＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1,3）＋eq\f（1,4）＋…＋eq\f（1,2k－1）－eq\f（1，2k),f(k＋1)＝1＋eq\f（1，2)＋eq\f（1,3）＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f（1，2k－1）＋eq\f(1，2k)＋eq\f（1，2k＋1)－eq\f（1,2k＋2）,∴f（k＋1）＝f（k)＋eq\f(1，2k）＋eq\f(1，2k＋1)－eq\f(1，2k＋2）＋eq\f(1,2k）＝f(k)＋eq\f（1,k）＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1，2k＋2)。答案：eq\f(1，k)＋eq\f（1，2k＋1)－eq\f（1，2k＋2）16解：命题是:三棱锥ABCD中，AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有Seq\o\al(2,△ABC）＝S△BCM·S△BCD.是一个真命题．证明如下:如下图，连接DM并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED。于是Seq\o\al(2,△ABC)＝（eq\f(1，2）BC·AE)2＝（eq\f(1,2)BC·EM）·（eq\f（1,2）BC·ED)＝S△BCM·S△BCD。17证明：假设a，b，c，d都是非负实数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以a,b,c，d∈［0，1］，所以ac≤eq\r(ac)≤eq\f（a＋c，2)，bd≤eq\r（bd）≤eq\f（b＋d,2).所以ac＋bd≤eq\f（a＋c,2）＋eq\f(b＋d,2)＝1，这与已知ac＋bd＞1相矛盾,所以原假设不成立，即证得a，b，c，d中至少有一个是负数．18分析：可以先写出f(2）,f(3），g(2)，g(3），g（5),看如何用前4个式子组合表示g（5），并进行归纳猜想．解:（1)由f(3)g（2)＋g（3）f（2）＝eq\f(a3＋a－3,2）·eq\f（a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3，2)·eq\f(a2＋a－2，2)＝eq\f(a5－a－5,2）.又g(5)＝eq\f（a5－a－5，2)，因此g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f（2）．（2)由g(5）＝f（3)g(2）＋g（3)f（2），即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3）f（2),于是推测g（x＋y)＝f（x）g（y）＋g（x)f(y)．证明：因为f（x)＝eq\f（ax＋a－x，2），g(x)＝eq\f(ax－a－x，2)，所以g（x＋y)＝eq\f（ax＋y－a－x＋y，2）,g(y)＝eq\f(ay－a－y,2），f(y）＝eq\f(ay＋a－y,2)，所以f(x)g(y）＋g（x）f(y）＝eq\f（ax＋a－x,2）·eq\f（ay－a－y,2)＋eq\f(ax－a－x,2）·eq\f(ay＋a－y，2）＝eq\f（ax＋y－a－x＋y，2）＝g（x＋y)．19分析：可以先由n＝1时，猜想得a的值,再由数学归纳法证明．解：当n＝1时，eq\f(1,1＋1）＋eq\f（1，1＋2)＋eq\f(1，3＋1)＞