数学单元测试：第二章随机变量及其分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章过关检测(时间90分钟,满分100分）知识点分布表知识点题号随机变量的概念1随机变量的分布列2,14,17，18两点分布5条件概率11二项分布6,7，12,13，16,17数学期望4,6，7,8,10，12,14，16,17,18方差6，12，16正态分布3,9，15一、选择题(每小题4分，共40分）1。将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（)A.第一次出现的点数B。第二次出现的点数C.两次出现点数之和D。两次出现相同点的种数2.抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P（ξ≤4)等于()A。B.C.D。3.某校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100，102），则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为（已知P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0。9544）（)A。10%B。22.8％C.2。28％D。4。56％4.ξ、η为随机变量，且η＝aξ＋b，若E(ξ)＝1.6，E（η）＝3.4，则a、b可能的值为（）A.2,0。2B.1，4C。0.5，1.45.在篮球比赛中，罚球命中得1分，不中得0分,若某球员罚球一次得分ξ的均值为0.6，则他的命中率为（)A.0。5B。0。6C.0。76.若随机变量ξ～B(10，0.1），则E(ξ），D（ξ)分别为（)A.10,0.1B。1,0。9C.10.1,9.97.一名射手击中靶心的概率为0.8,如果同样条件射击3次,则他击中靶心次数的均值为()A。3B。2.5C。2。48。分布列如下表:ξ0123aξ＋112xYP0.20.20.3z则E（aξ＋1）等于(）A.4.4B.4.5C.xyz9。把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是（）A.曲线C2仍是正态曲线B。曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比曲线C1为概率密度曲线的总体期望大210.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件,若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于(）A。B.C.D.1二、填空题（每小题4分，共16分）11。在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果从中任取2道题,已知其中一题为理科题，则另一题为文科题的概率为_______.12.一次数学测验由25道选择题构成,每道选择题有4个选项,有且只有一个选项正确,每选一个正确答案得4分，不选或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率是0。8,则此学生在这一次测试中所得成绩的E（η)＝_____,D（η）＝_____.13。设随机变量ξ～B(2,p),η~B（4，p),若P(ξ≥1)＝，则P（η>1）＝______.14.设l为平面上过点（0，1）的直线,l的斜率等可能地取,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的数学期望E(ξ）＝______。三、解答题(共44分）15.（10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100）,已知成绩在90分以上（含90分)的学生有12名.试问此次参赛学生的总数约为多少人?16。（10分）一位出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率;（2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。17.(12分)甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为p，若他们独立地各射击两次,设乙命中10环的次数为ξ，则E(ξ)＝，η为甲与乙命中10环的次数的差的绝对值,求p的值、η的分布列及数学期望。18.（12分）现有甲、乙两个项目,甲项目每投资10万元，一年后利润是1。2万元,1。18万元，1。17万元的概率分别为；乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是p（0<p〈1）。设乙项目的产品价格在一年内最多进行两次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目每投资10万元，ξ取0，1,2时,一年后相应利润是1.3万元，1.25万元，0。2万元。随机变量ξ1,ξ2分别表示对甲，乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1）求ξ1,ξ2的分布列和数学期望E(ξ1),E(ξ2）；(2)当E（ξ1）〈E(ξ2)时,求p的取值范围.参考答案1解析:因为两次出现相同点的种数是定值6,故不是随机变量.答案:D2解析:P（ξ≤4）＝P（ξ＝2)＋P(ξ＝3）＋P(ξ＝4）。答案:A3解析:P(ξ≥120）＝［1－P（80<ξ〈120）］＝[1－P(100－20<ξ〈100＋20）］＝(1－0。9544）＝2。28％。答案：C4解析:由E（η)＝E（aξ＋b）＝aE（ξ)＋b＝1.6a＋b＝3.4，把选项代入验证，A满足.答案:A5解析：ξ服从两点分布，∴E（ξ）＝p＝0。6.答案:B6解析：E（ξ)＝10×0.1＝1,D（ξ）＝10×0。1×0。9＝0。9.答案：B7解析:击中靶心的次数ξ~B（3，0。8），∴E（ξ）＝3×0。8＝2.4.答案：C8解析：由0。2＋0.2＋0。3＋z＝1得z＝0。3，∴E(ξ）＝0×0.2＋1×0。2＋2×0.3＋3×0.3＝1.7.由.∴E(aξ＋1）＝2E（ξ）＋1＝2×1.7＋1＝4.4.答案：A9解析:因为正态曲线的对称轴x＝μ，其中μ是总体的期望.故C表述不正确.答案:C10解析：P(ξ＝0）＝,P(ξ＝1)＝,P（ξ＝2)＝，E（ξ)＝.答案:A11解析：事件A表示:“2题中至少有一个为理科题”,事件B表示:“两题恰好一文一理”，则P(A)＝,P(AB)＝,所以P（B|A）＝。答案：12解析:设ξ表示这次测试选正确题目的个数。则ξ~B（25，0。8）,则E(ξ）＝25×0。8＝20,D(ξ）＝25×0。8×0。2＝4.由题意知，本次测试的得分η＝4分.故E（η）＝E(4ξ)＝4E（ξ)＝80,D(η）＝D(4ξ)＝16D（ξ）＝64。答案:806413解析:P（ξ≥1)＝P（ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝C12p(1－p)＋C22p2＝,得,从而η～B(4,).∴P（η〉1）＝P（η＝2）＋P(η＝3）＋P（η＝4）。答案：14解析：共7条直线:，y＝1.原点到它们的距离分别为，,,1.∴ξ＝∴∴E(ξ）＝.答案:15解：设随机变量ξ表示参赛学生的成绩。则由ξ～N（70,100)知E（ξ）＝70,D（ξ)＝100,P(ξ≥90)＝［1－P(50〈ξ〈90)］＝[1－P(70－20〈ξ〈70＋20）]＝（1－0.9544）＝0。0228。故参赛学生的总数约为(人）。16解：（1）设事件A表示:“遇到红灯前，已经通过了两个交通岗”,则。（2)由已知得ξ~B(6,)，则E（ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝。17解:∵ξ~B(2,p），由E(ξ）＝2p＝,得.设甲命中的次数为X，则X与ξ的分布列分别为:X012Pξ012P由η＝｜X－ξ｜知η可能取值为0，1,2。P（η＝0)＝P（X＝0）P(ξ＝0)＋P(X＝1)P(ξ＝1）＋P(X＝2）P(ξ＝2),P（η＝1）＝P(X＝0）P(ξ＝1)＋P(X＝1）P(ξ＝2）＋P(X＝1)P（ξ＝0)＋P(X＝2)P（ξ＝1)，P（η＝2）＝P(X＝0)P(ξ＝2）＋P（X＝2）P（ξ＝0).∴η的分布列为:η012P18解：（1）方法一：ξ1的概率分布为ξ11.21.181.17PE(ξ1)＝。由题设得ξ~B(2,p),即ξ的概率分布为ξ012P（1－p)22p（1－p)p2故ξ2的概率分布为ξ21.31.250.2P(1－p)22p（1－p)p2所以ξ2的数学期望为E(ξ2）＝1。3×(1－p)2＋1.25×2p（1－p）＋0。2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×（p－p2）＋0。2×p2＝－p2－0.1p＋1。3.方法二：ξ1的概率分布为ξ11.21.180。17PE(ξ1）＝。设Ai表示事件“第i次调整,价格下降”(i＝1，2）,则P(ξ＝0)＝P(）P（）＝(1－p）2。P（ξ＝1）＝P(A1）P（)＋P(）P（A2）＝2p(1－p)。P(ξ＝2）＝P(A1）P(A2）＝p2。故ξ2的概率分布为ξ21。31.250。2P(1－p)22p（1－p)p2所以ξ2的数学期