2024-2025学年苏科版七年级数学上册专项复习：有理数与数轴 重难点题型专训（原卷版）

有理数和数轴重难点题型专训

（12大题型+15道拓展培优）

©题型目录

题型一有理数的概念

题型二有理数的分类

题型三0的意义

题型四带“非”字的有理数

题型五数轴的三要素及其画法

题型六用数轴上的点表示有理数

题型七利用数轴比较有理数的大小

题型八数轴上两点之间的距离

题型九数轴上点的覆盖问题

题型十数轴上的动点问题

题型十一根据点在数轴的位置判断式子的正负

题型十二用数轴解决实际问题

&知识梳理

知识点1:有理数的相关概念

1）整数：正整数、0、负整数统称为整数。

2）分数：正分数、负分数统称为分数。

正分数：像工，0.24,50%等这样的数叫作正分数；

3

负分数：像__1,一3.56等这样的数叫作负分数；

2

有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。

3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为2⑺、q均为整数，且p不为0）。

P

正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；

负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；

整数和分数统称为有理数。

4）有理数的两种分类：

■.正1数｝自然数'正整数

正有理数<

整数,正分数

（1）有理数,.负整数（2）有理数H零图既不是正数,也不是负数）

「有限小数'负整数

分数,负有理数，

,无限循环小数.负分数

知识点2：数轴

1）数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素.

原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。

2）数轴的画法

①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；

③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。

3）有理数与数轴的关系

①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。

②数轴上的点并不全是有理数，如兀也可以在数轴上表示，但兀并不是有理数。

③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。

④与原点的距离是。（«>0）,在数轴上可以是（存在多解的情况）。

注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。

画经典例题

【经典例题一有理数的概念】

【例1】（23-24七年级上•广西贺州•期末）下列关于有理数的说法正确的是（)

A.有理数可分为正有理数和负有理数两大类

B.正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合

C.0既不属于整数也不属于分数

D.整数和分数统称为有理数

X变式训练

1.（23-24七年级上•广东河源•期末）下列结论正确的是（）

A.有理数包括正数和负数

B.有理数包括整数和分数

C.0是最小的整数

D.两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等

2.（23-24七年级上•四川甘孜・期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非

qr

负数就是正数；④-万不仅是有理数，而且是分数；⑤了是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小

数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.其中错误的说法的个数为个.

3.（23-24七年级上•山西太原・期末）阅读与探究：

我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是仍e尸，而

“山口板”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“WmR”这个词的词根

源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数

之比的形式的数.比如：整数5可以写成:，分数?就是整数12和整数5的比.

（1）【探究】对于0,；是不是有理数呢？我们不妨设O,，=x，由0.；=0.5555…，于是可得：x=0.5555…；等

式两边同乘以10,可得：10x=5.5555…;即：10x-x=5.5555…-0.5555…;

化简，得：9x=5；解方程，得：片三；所以0.5=~由此得：得°；有理数（填“是”或“不

99"'J--------------

是"）；

（2）【类比】请你把无限循环小数0.3写成两个整数之比的形式即分数的形式，即0,3=；

（3）【迁移】你能化无限循环小数0.*为分数吗？请完成你的探究过程.

（4）【拓展】请按照这个方法把无限循环小数15化为分数，即15=

⑸【应用】在一1,彳,0,-9。/,16.21中，属于非负有理数的是.

J【经典例题二有理数的分类】

221

【例2】（23-24七年级上•四川南充・期中）在下列各数-亍，0,1.5,-3,5-,50%,+8中，是整数的

有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

区变式训练

271

1.（23-24七年级上•福建泉州•阶段练习）下列各数：-2,-25%,+2,+3.5,0,-0.7,11,

其中负分数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（23-24七年级上•四川成都•期中）把下列各数分别填入相应的集合：0,-3,2.6,-0.010010001,

122

—8—,—,15,300%.

47

整数集合｛________________

分数集合｛________________

非负整数集合｛

负数集合｛________________

3.（23-24六年级上•山东淄博•阶段练习）将下列各数填入相应的集合中.

0.2,2—,0,5,20%,1-2,—3,512,—（—6）.

正整数集合：｛整数集合：｛

分数集合：｛负有理数集合：｛

1经典例题三o的意义】

【例3】（24-25七年级上•全国•随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（）

①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如01；④0是正数；（5）0

是自然数.

A.2B.3C.4D.5

X变式训练

1.（23-24七年级上•福建莆田•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.0是最小的自然数

B.0既不是正数，也不是负数

C.海拔高度是0米表示没有高度

D.（TC是零上温度和零下温度的分界线

2.（2023七年级上•全国•专题练习）正数：比—大的数；负数：在正数前面加上____的数，既不是

正数，也不是负数.

3.（23-24七年级上•全国•课后作业）如果把收入50元记作50元，那么下列各数分别表示什么意义？

（1）25元

（2）7.3元

（3）-12元

（4）0元

【经典例题四带“非”字的有理数】

1312

【例4】（23-24七年级上•山东聊城•期中）在有理数：-12,71,-2.8,—,0,34%,0.67,—中，非

647

负数有（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

区变式训练

1.（23-24七年级上•浙江台州•期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非

负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（）

A.①B.@C.③D.④

2.（23-24七年级上•四川・期中）有六个数：5,0,31，-0.3,,一万，其中分数有。个，非负整数有6

24

个，有理数有。个，贝ija+b-c=.

3.（23-24七年级上•陕西西安•阶段练习）把下列各数填在相应的集合里.

J2

300,—0.001,3.14,—8.8,5%,0,1,-0.6,—27,4—,—.

37

（1）正整数集合：｛……｝.

（2）负整数集合：｛……）.

（3）整数集合：｛……｝.

（4）正数集合：｛……｝.

（5）负分数集合：｛……｝.

（6）非负有理数集合：｛……｝.

1经典例题五数轴的三要素及其画法】

【例5】（23-24七年级上•陕西西安•阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（）

1illII

A._'3-2-1~~0~~1~~B.-2-10123

c-0123D-123

X变式训练

I.（23-24七年级上•天津蓟州•期中）如图图中数轴画法不正确的有（）

(1)―1~1——(2)—'-1——(3)---------1-------►

k7-101-1010

(4)——1——1——1——1——1——1——(5)----1—'—1—'—*-►

-1-2-30123-2-1012

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.(23-24七年级上•全国•课后作业)如图，是数轴的有一个.

©-3-2-16123②

®;l-4-3-2-112345

3.（23-24七年级•全国•假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由

3.—4.—

-2-1i20

6..

-10i2-1012

/.18.

10-1-2-10i2

【经典例题六用数轴上的点表示有理数】

【例6】（23-24七年级上•江苏扬州・期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字

母4B,C,D,先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动

（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（）重合.

A.字母AB.字母8C.字母CD.字母D

x变式训练

1.（23-24七年级上•江苏无锡•阶段练习）如图1,圆的周长为4个单位.在该圆的4等分点处分别标上字

母加、〃、p、q.如图2,先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则

数轴上表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是（）

A.mB.nC.pD.q

2.（23-24七年级上•湖北十堰•期中）在数轴上表示-2.1和3.3两点之间的整数有个.

3.（23-24六年级上•上海杨浦•阶段练习）如图，

ABC

11tjII）1tllI,

01234

⑴数轴上的点A表示的数是（填假分数）；

（2）点B表示的数是（填带分数）；

（3）点C表示的数是（填带分数）；

（4）在数轴上用。表示出:这个分数所对应的点.

4【经典例题七利用数轴比较有理数的大小】

【例7】（23-24七年级上•四川达州•期中）°、6在数轴上的位置如图所示，则。、b、_。、的大小关系是

（）

♦」------L•।---------->

67-10b1

A.a>b>-a>-bB.a<b<a<-b

C.-a<b<-b<aD.-a>b>-b>a

区变式训练

1.（23-24七年级上•安徽芜湖•期中）在数轴上表示有理数。，6的点如图所示，则下列结论正确的是（）

---111----------->

a--0--b

A.。+6>0B.-a>bC.a-b>0D.a-b>0

2.（23-24七年级上•广东江门•期末）大于-1g而小于2；的整数有是；

3.（23-24七年级上•河北廊坊•阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数-2,

4,—1.5,0,2.5,—3.5.

IIIIIIIII

（2）用“〉”将（1）中的每个数连接起来.

31经典例题八数轴上两点之间的距离】

【例8】（23-24七年级上•河北廊坊•阶段练习）如图，长方形CMBC的边CM在数轴上，。为原点，长方形CM8C

的面积为24,OC边长为4,将长方形O/2C沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O'/'QC’,移动后的长

方形。W3'C'与原长方形。N8C重叠部分的面积为8,则点/表示的数为（）.

CB

O1A

A.4B.-10C.2或10D.4或8

区变式训练

1.（23-24七年级上•四川眉山・期中）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、8表示的数分别为-3、1,

若点B到点C的距离为6,则点A到点C的距离等于（）

A.3B.6C.3或9D.2或10

2.（23-24七年级上•安徽宿州•期中）点。，A,B,C在数轴上的位置如图所示，。为原点，AC=1,

OA=OB.若点C所表示的数为。，则点3所表示的数为.

—A•-----C--•-----------------O-•---------------------------B•~>

a0

3.（23-24七年级上•河南安阳•阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），

-2-1012

操作一：

（1）折叠纸面，使表示的1点与T表示的点重合，则表示-3的点与表示的点重合；

操作二：

（2）折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答以下问题：

①表示5的点与表示的点重合；

②若数轴上/、2两点之间距离为12,（/在2的左侧），且/、3两点经折叠后重合，求/、2两点表示的

数是多少.

」【经典例题九数轴上点的覆盖问题】

【例9】（23-24七年级上•浙江宁波•期中）把长为2022个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上,

则线段48能盖住的整点有（）

A.2021个B.2022个C.2021或2022个D.2022或2023个

区变式训练

1.（23-24七年级上•江苏常州•阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1c%,若在

数轴上画出一条长2020c”？的线段则线段盖住的整点个数是（）

A.2020B.2021C.2020或2021D.2019或2020

2.（23-24七年级上•山东荷泽•期末）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，

判断墨水盖住部分的整数个数有个.

-^-31—iC

3.（24-25七年级上•全国•随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点.在数轴上随意画出一条长为2020

cm的线段4B.

（1）某数轴的单位长度是1cm,求盖住的整点的个数；

（2）若将数轴的单位长度改为2cm,求盖住的整点的个数.

4【经典例题十数轴上的动点问题】

【例10】（23-24七年级上•重庆江津•阶段练习）如图，已知A,8（5在A的左侧）是数轴上的两点，点A对

应的数为12,且/8=18,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点尸的运动

过程中，M,N始终为AP,8尸的中点，设运动时间为9>0）秒，则下列结论中正确的有（）

①3对应的数是-6；

②点尸到达点8时，1=9；

③3尸=2时，/=6；

④在点P的运动过程中，线段"N的长度会发生变化.

BN—PMA

_____________I___________I1II________

A.1个B.2个C.3个D.4个

X变式训练

1.（23-24七年级上•陕西咸阳•阶段练习）在数轴上，点A,8在原点。的两侧，分别表示数。,2,将点A

向右平移2个单位长度，得到点C.若点C到A、8两个点的距离相等，贝心的值为（）

A.0B.-1C.-2D.1

2.（24-25七年级上•江苏•假期作业）阅读与思考

如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终

点表示的数是-2.参照图中所给的信息，完成填空：

已知2都是数轴上的点.

-3-2-101234

（1）若点/表示数-3.将点/向右移动5个单位长度至点4.则点4表示的数是；

（2）若点/表示数2,将点/先向左移动7个单位长度，再向右移动1个单位长度至点4,则点4表示的

数是:

（3）若将点8先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0,则点8所表

示的数是.

3.（23-24七年级上•广东珠海•期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6,8是数轴上在A左侧的一点，

且A,B两点间的距离为9,动点尸从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动

时间为，。>0）秒.

<—QBO<-PA

''0'6—

（1）数轴上点3表示的数是，点尸表示的数是（用含f的代数式表示）；

（2）动点。从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点尸、。同时出发.求：

①当点P运动多少秒时，点P与点。相遇？

②当点P运动多少秒时，点尸与点。间的距离为8个单位长度？

41经典例题十一根据点在数轴的位置判断式子的正负】

【例11】（2024•北京石景山•二模）实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是

ab

ii.i।।t■1A

-3-2-10123

A.a>-\B.b>-aC.a+b<0D.ab>0

区变式训练

1.（23-24七年级上•全国・单元测试）己知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（）

a।bc

-4-3-2-1012

A.a+b<0B.b-a>0C.b+c<0D.a+c<0

2.（23-24七年级上•广东汕头•期中）如下图所示，a,b,。在数轴上的位置，用“”，<”"二"填空:

ill1»

cb0a

（1）a-c0；

（2）ab0.

3.（23-24七年级上•宁夏吴忠•阶段练习）有理数a,6在数轴上的位置如图所示.

।illA

b01a

⑴说出a,6的正负性；

（2）在数轴上分别用M,N表示两点-。，-分；

⑶若b与-6表示的数相距20个单位长度，则b与-6表示的数分别是什么？

（4）在（3）的条件下，若数a表示的点与数6表示的点相距15个单位长度，则。与表示的分别是什么？

【经典例题十二用数轴解决实际问题】

【例12】(23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期中)邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达/村，继续

向西骑行2km到达2村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与2村关于邮局对称.

(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出4

B.C三个村庄的位置，并求出C村离/村有多远？

(2)邮递员一共骑行了多少千米？

X变式训练

1、(23-24七年级上•辽宁沈阳•阶段练习)一辆货车从超市出发，向东走了2km,到达小刚家，继续向东走

了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市.请以超市为原点，以向东方向为正方

向，用1个单位长度表示1km.

(1)小英家在超市方向.小英家距超市千米；

(2)小英家距小刚家有km.

(3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km,走完此次行程，货车共用了多少升油？

2、(23-24七年级上•广东深圳•期中)甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m,后向乙队方

向移动了0.8m,相持一会后又向乙队方向移动0.5m,随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志

物再向甲队方向移动L2m.若规定只要标志物向某队方向移动2m,则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了

吗？用计算说明理由.

3、(23-24七年级上•重庆渝中•阶段练习)一辆货车从货场力出发，向西走了3千米到达批发部B,继续向西

走了1.5千米到达商场C,又向东走了7.5千米到达超市D,最后回到货场.

（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，货场4为原点，画出数轴并在数轴上标明4B,C,D的位置;

（2）超市。距货场4多远？

（3）货车一共行驶了多少千米？

提优训练

1TT_

1.（23-24七年级上•重庆万州•阶段练习）在实数一4,7,-10.131131113…中，有理数的个数是

o3

（）

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24七年级上•江苏泰州•阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数

是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；

（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理

数是指正有理数和0.正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24七年级上•安徽滁州•期中）如图，4、B、C是一条公路上的三个村庄，/、8间的路程为60km,

/、C间的路程为40km,现要在/、8之间建一个车站P,若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车

站应建在何处？（）

ACB^路

A.点C处B.线段3c之间C.线段N8之间D.线段N3之间

4.（23-24七年级上•福建泉州•期中）有理数。，b,c在数轴上的位置如图所示，下面4个结论:

@a+b<0,（2）b-c>0,（3）abc>0,④一<0中，正确的有（）

-c

____।ill»

ab0c

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（23-24七年级上•河南开封•阶段练习）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm）,刻度尺上

0cm和3cm

分别对应数轴上的3和0,那么刻度尺上6.3cm对应数轴上的数为（）

8/9§7

'IL'

—

-4-3-2-101234,

A.6.3B.-3.3C.-3.6D.-6.3

3

6.（23-24七年级上•重庆巴南•阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：-5,-12,0,012,一

22

3.14,+1.99,+6,—.

7

（1）正数集合：｛...｝；

（2）负数集合：｛...｝；

（3）分数集合：｛…｝；

（4）非负整数集合：｛

7.（23-24七年级上•全国•课后作业）在-8,2020,3-,0,-5,+13,-6.3中，正整数有m个，负

分数有n个，则m+n的值为.

8.（23-24七年级上•河北唐山•期中）一条数轴上有点/、B、C,其中点/、3表示的数分别是-16、9,现

以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点H落在点B的右边,并且A'B=3,则C点表示的数是.

J

__J1__d

9.（23-24七年级上•江西上饶•期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点

是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系已知，如图点A,8表示的数分别为-2,6,点C为数轴

上一动点.若A,8,C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为

AB

-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10.（23-24七年级上•北京西城•期中）数轴上，点〃和尸的距离记为MP,点/和P的距离记为/P.给出

如下定义：若4尸不小于必且4尸不大于2MP,则称点/是点尸关于点M的捕获点.已知：如图，点。

为原点，点N表示的数是2,点8表示的数是4,点。表示的数是5.例如：若点力表示3,则0N=2,

AO=3,4。不小于ON,不大于2ON.故点Z是点。关于点N的捕获点.

ONBC

___|____II_________III_____I>

-1012345

（1）若点/是点。关于点N的捕获点，则点/所表示数的最大值为：.

（2）若点/表示的数为0,点/既是点。关于点N的捕获点，还是点C关于点2的捕获点，写出。的取

值范围：.

22

11.（23-24七年级上•河北沧州•阶段练习）请把下列各数填入相应的集合中：-15,6,―,-3.25,0

0,兀，0.01,-3—.

正数集合：（）

整数集合：（）

负分数集合：（）