【课件】新教材高中数学第四章指数函数与对数函数43不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册

4．4对数函数第四章指数函数与对数函数4．4.3不同函数增长的差异

[研读]三种函数中，当a>1时，函数y＝ax函数值的增长速度是最快的．

判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量是定值，则y是x的一次函数． (

)(2)函数y＝log3x的增长速度越来越慢．(

)(3)存在一个实数m，使得x>m时，1.01x>x10.(

)(4)不存在实数m，使得x>m时，kx>lnx(k>0).(

)√√√×

以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：其中关于x呈二次函数变化的变量是______；呈指数增长的变量是________；呈对数增长的变量是________．【解析】从表格中可以看出，y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x.所以关于x呈二次函数变化的变量是y2；呈指数增长的变量是y1；呈对数增长的变量是y3.y2y1y3[规律方法]常见的函数模型及增长特点：(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直

线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常

数，a>0，b>1)表达的函数模型的增长特点是随着自变量x的

增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为

常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型的增长特点是开始阶

段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越

慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数模型：能用函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，

α≠1)表达的函数模型的增长情况由a和α的取值确定．已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时(

)A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．log2x>2x>x2 D．log2x>x2>2x【解析】由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小．即在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时，2x>x2>log2x，故选A.A

函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点).当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两个函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，f(x)>g(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).[规律方法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法：根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．

某化工厂开发研制了一种新产品，前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(单位：t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，a≠0，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，p≠0，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135.与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？[规律方法]建立函数模型应遵循的三个原则：(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、

主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，

又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型

的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．1．下列函数中，当x不断增大时，增长速度最快的是(

)A．y＝2021x B．y＝x2021C．y＝log2021x D．y＝2021x【解析】比较幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，指数函数增长速度最快，故选A.A2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长

到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(

)【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.D3．某化工厂2020年12月的产量是2020年1月份产量的n倍，则该

化工厂这一年的月平均增长率是(

)D4．有一组实验数据如下表所示：下列所给函数模型较适合的是(

)A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)【解