简易逻辑-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题1-2简易逻辑

目录

讲高考...........................................................................1

题型全归纳......................................................................3

【题型一】全称与特称..................................................3

【题型二】全称与特称命题真假判断......................................5

【题型三】全称特称命题求参数..........................................7

【题型四】充分与必要条件判断..........................................8

【题型五】充分不必要条件求参数.......................................10

【题型六】必要不充分条件求参数.......................................12

【题型七】充要条件应用：文字辨析.....................................14

【题型八】充要条件应用：电路图.......................................15

专题训练.......................................................................17

讲高考

I.（2021•全国•高考真题（理））等比数列加"｝的公比为q,前〃项和为,，设甲：

乙：母｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当4>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当概“｝是递增数列时，必有%>0

成立即可说明4>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,…时，满足

但是｛S,｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛，｝是递增数列，则必有4>0成立，若4>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛

盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要

给予其证明过程.

2.（2019•浙江・高考真题）若。>0,6>0,则“a+6V4”是“944”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］A

析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特

取。,6的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻

辑推理能力的考查.__

【详解】当。>0,6>0时，a+b>2\［ab,贝!J当a+bV4时，有2V^4a+b44,解得abV4,

1

充分性成立；当。=1,6=4时，满足必44,但此时。+6=5>4,必要性不成立，综上所述，

“a+6V4”是，ab<4”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用

“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

3.（全国•高考真题（理））设命题甲：”8C的一个内角为60。.命题乙：的三内角

的度数成等差数列.那么（）

A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条

件

［答案］c

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】的一个内角为60。，则另两内角的和为120。，因此AA8c的三内角的度数成

等差数列，

反之，”8C的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，08c必有一个内角为

60°,

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

4.（2022•浙江•高考真题）设xeR,则“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin。x+cos?尤=1可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

5.（2022•北京•高考真题）设也,｝是公差不为0的无穷等差数列，贝！|“向｝为递增数列”是“存

在正整数N。，当"〉乂时，。“>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,则1/0,利用等差数列的通项公式结合充分条件、

必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则dwo,记印为不超过X的最大整数.

若｛4｝为单调递增数列，则d>0,

若420,则当“22时，>«1>0：若％<0,则%=%+（〃-l）d,

由a“=%+（〃-l）d>0可得〃>1一，，取乂=1一2+1，则当〃〉乂时，见>0,

所以，“｛4｝是递增数列”n“存在正整数乂，当〃〉N。时，

若存在正整数乂，当〃〉N。时，«„>0,取后《N*且无>阳，。*>0,

假设〃<0,令=4+（〃一4）d<0可得〃>左一々，且左一々>左，

aa

当">"今+1时，％<0,与题设矛盾，假设不成立，贝">0,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛4｝是递增数列”u“存在正整数M，当〃>乂时，%>0”.

2

所以，“{g}是递增数列”是“存在正整数乂，当〃＞乂时，%＞（）”的充分必要条件.

故选：C.

jr

6.（•湖南•高考真题（文））命题“若a=7,则tana=l”的逆否命题是

4

JIJI

A.右期一，则tanarlB.若。=—,贝！Jtanarl

44

JI

C.若tanaWl,贝!Ja?—D.若tano#l,则a=一

44

【答案】C

7T

【分析】因为“若乙则。的逆否命题为“若F,贝E',所以“若.，则t2”的逆

TT

否命题是“若tana打,则叫”.

nhc

7.（江西・高考真题）在“3C中，设命题p:』=-J=—1，命题q：“3C是等边三

sin8sinesmZ

角形，那么命题0是命题g的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件

【答案】A

【分析】先当〃成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得N=8=C

判断出△43C是等边三角形.推断出P是乡的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得

~^—=2R,3=2R,'=2R,三者相等，进而可推断出P是夕的必要条件,

sinBsmCsinA

,、注eabc2RsinA2RsinB,,._•2八

【详解】解：a即n.c=.「,sin/sinC=snr3①;

sin5sinesinZsin8sinC

2RsinB_2RsinC

,sin/sin3=sin2c②,

sinCsin4

①一②，得(sinC-sin5)(sinZ+sin5+sinC)=0,则sinC=sinA,

.".C=A.同理得C=B,，A=B=C,则△/BC是等边三角形.

a2Rsin^4b2Asin5c27?sinC__

当/=5=C时,------==2K,==2R,=----------=2K

sin8sin5-------------sinCsinC-------------sin4sin4

=—j=成立，,：P命题是9命题的充分必要条件.

sinBsmCsinA

故选：A.

题型全归纳

【题型一】全称与特称

【讲题型】

例题L命题“玉0€以°,其任。”的否定是（）

3

A.3x0g^Q,x^eQB.Vxel^g,%eg

C.Vx任以。户睦0D.V/e以。,x；任。

［答案］B

【分析】存在性命题的否定是将改为“V”,并对结论进行否定即可得出结果.

【详解】•••根据题意，存在性命题的否定是将改为“V”,并对结论进行否定，

,已知命题的否定为:V尤eQ。,/eQ.

3

故选:B.

例题2.命题“k，b>0,和6+工22者B不成立”的否定为()

ba

A.VQ,b>0,〃+工<2和Z)+,<2至少有——个成立

ba

B.，b>0,ci-\—>2H—22者B不成立

ba

C.3tz,b>0,ciH—>2b-\—〉2者8不_^^11

ba

D.\/a,b>0,a+?22和6+工22至少有一个成立

ba

【答案】D

【分析】由特称命题的否定形式，分析即得解.

【详解】由特称命题的否定形式，“弘，b>0,和者B不成立”的否定为:

ba

\/a,b>0,2和6至少有一个成立.

ba

故选：D

【讲技巧】

断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤

(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在

量词命题.

(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量

词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.

(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.

【练题型】

1.设加wR,命题“存在加>0,使方程/+%一加=o有实根”的否定是()

A.对任意加〉0,方程/+%_加=0无实根；

B.对任意加《0,方程/+工一加=o无实根；

C.对任意加〉0,方程/+工一冽=o有实根；

D.对任意冽00,方程/十%一加=o有实根.

【答案】A

【分析】根据存在量词命题否定的概念判断即可.

【详解】命题“存在加>0,使方程/+%一加=o有实根”的否定是“对任意加〉0,方程

x2+x-m=0无实根

故选：A.

2.已知命题?：Hxw(1,+oo),使3x+l〉5,贝!!()

A.命题0的否定为“土£(1,+功,使3x+l«5”

B.命题〃的否定为“土£(-00,1］,使3%+1<5”

C.命题夕的否定为“DX£(L+8),使3X+1V5”

D.命题。的否定为(-Q0J,使3x+l«5”

［答案］c

【彳析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.

【详解】由题意知命题)：玉£(l,+oo),使3x+l>5为存在量词命题，

其否定为全称量词命题，即“VX£(l,+8),使3X+"5”,

故选：C.

3.关于命题p：*wR,/+3x+2<0的叙述正确的是().

4

A.P的否定：VxeR,X2+3X+2<0B.P的否定：BxeR,尤2+3工+22。

C.。是真命题，。的否定是假命题D.。是假命题，P的否定是真命题

【答案】C

【分析】写出命题。的否定可判断AB,当时，X2+3X+2=-4<0,然后可判断CD.

24

2

【详解】因为命题eR,*+3尤+2<0,所以P的否定：VxeR,x+3x+2>0,故AB

错误，

31

当》=一：时，X2+3尤+2=-)<0,故户是真命题，P的否定是假命题，故C正确D错误，

24

故选：C

【题型二】全称与特称命题真假判断

【讲题型】

例题1.已知命题0：在“BC中，若贝llsin/>^^,命题g：Vx>-l,xNln(x+l).下

列复合命题正确的是()

A.P7B.(R)人(一iq)C.(^)AqD.p八D

【答案】C

【分析】命题P可举出反例，得到命题?为假命题，构造函数证明出4：Vx>T,x21n(x+l)

成立，从而判断出四个选项中的真命题.

【详解】在。8c中，若/=学，此时满足/>£,但sinN='<Yl,故命题〃错误；

6422

令/(%)=x-ln(x+l),x>-l,

则八x)=l」=—

当x>0时，/,(x)>0,当-l<x<0时，

所以/(X)在X>0上单调递增,在-1<x<0上单调递减，

所以/(x)在x=0处取得极小值，也是最小值，

/(O)=O-ln(O+l)=O,

所以4：Vx>-l,x»ln(x+l)成立，为真命题；

故"A<7为假命题，(［p)A(_,«)为假命题，(-1?)Aq为真命题，2人(f)为假命题.

故选：C

例题2.已知命题?：3xeR,x2—x+1>0;命题q：若/〈/，则a<6.下列命题为真命题

的是()

A.PMB.p—qc.「P"D.f八7

［答案］B

【骞析】先判断出命题。国的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.

【详解】解：命题“*=0,使》2-》+1»0成立，故命题P为真命题；

当。=1,6=-2时，a1<b。成立■,但a<b不成立，故命题9为假命题；

故命题p^g,r7人可人f均为假命题，命题。人-^为真命题.

【讲技巧】

全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合河中的每个元素

X验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合初中

的一个x=xo,使得以xo)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

5

(2)判断存在量词命题“能6跖P(乃”的真假性的关键是探究集合初中

X的点在性.若找到一个元素xoWM,使P(xo)成立，则该命题是真命题；若不

存在使p(xo)成立，则该命题是假命题.

【练题型】

1.命题P：“WxeR,f+l<0”，则下列表述正确的是()

A.命题P是真命题

B.命题““：3x6R,f+iwo，，是真命题

C.命题““：玉eR,f+1<0，，是假命题

D.命题“F7：VxeR,f+lNO”是真命题

【答案】B

【分析】判断命题。的真假可判断A；命题的真假判断和含有一个量词的命题否定可判断B,

C,D.

【详解】因为-+121,所以命题。是假命题，故A不正确；

命题：BxeR,x?+120”是真命题，故B正确，C、D不正确.

故选：B.

2.命题“Vxe[2,5],/20”为真命题的一个必要不充分条件是().

A.a<4B.a<3C.a<5D.Q>4

【答案】c

【分析】求出命题"Vxe[2,5],/-“20”为真命题的充要条件即可选出答案.

【详解】由V-aNO可得aW/,

2

因为了=%?在[2,5]上单调递增，所以ymin=2=4,

所以命题“Vxe[2,5],x2-«>0”为真命题的充要条件为a<4.

2

所以命题“Vxe[2,5],x-a>0”为真命题的一个必要不充分条件是选项C,

故选：C.

3.下列命题中是真命题的个数是()

(1)VXGR,X2-2X-3>0.

(2)3xGR,x2-2x+4>0.

(3)若VXE[—1,3],J—2X+Q20为真命题，贝ijq2l

4

(4)3XG(-OO,0),X+——a20为真命题，贝

x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】对(1)(2),由二次函数图象即可判断；

对(3),》=/(%)=——2%+。对称轴为1=1,图象开口向上，命题为真等价于〃1)之0,求

解即可；

对(4),xG(—00,0),xH-----a>O<^a<-\-x|,由均值不等式得一(一工]《一4,故命

xvxJvxJ

题为真等价于-4.

【详解】对(1),由A=4+12=16〉0得2x-3与％轴有两个交点，故命题(1)为假

命题；

对(2),图象开口向上，故命题(2)为真命题；

对(3),>=/(x)=%2—2x+a对称轴为％=1,图象开口向上，故VX£[—1,3],%2一2%+。20

为真命题等价于=2+。20=。21,故命题(3)为真命题；

6

命题(4)为真命题;

故选：C

【题型三】全称特称命题求参数

【讲题型】

例题L若命题“*e(0,3),x-q-240”为真命题，则实数。可取的最小整数值是()

x

A.-1B.0C.1D.3

【答案】A

2

【分析】由题意可得只需。2(x-2x)min,xe(0,3)即可，再由二次函数的性质求出

/(x)=f一2x,xe(0,3)的最小值即可得。的取值范围，从而得答案.

【详解】解：因为*e(0,3),x-@-2V0为真命题，

X

所以王£(0,3),a>x2-2x为真命题，

只需。2(%2一2x)min,X£(0,3)即可，

由二次函数的性质的可知f(x)=X2-2X,XG(0,3)的最小值为/⑴=-1,

所以〃2—1,

所以。可取的最小整数值是-1.

故选：A.

JT

例题2..若“Vxe0,—,tanxW加”是真命题，则实数机的最小值为

_4_--------------------

【答案】1

TTTT

【详解】若“Vxe0,—,tanx<w”是真命题，则加大于或等于函数V=tanx在0,—的最

4JL4_

大值

JTTT

因为函在0,—上为增函数，所以，函数y=tanx在0,—上的最大值为1,

4J[4

所以，m>\,即实数加的最小值为1.

所以答案应填:1.

【讲技巧】

应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型

(1)全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有

某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据

函数等数学知识来解决.

(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存

在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存

在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合

理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.

【练题型】

1.命题P：“文目2,3],若命题〃是假命题，贝匹的最小值为()

A.2B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】依题意可得命题P：“Vxe[2,3],3x-aV0”为真命题，参变分离可得无对

Vxe[2,3卜恒成立，则/(3x)1mx,求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为命题72,3],3x-a>0”为假命题，

7

则命题r7：“Vxe[2,3],3尤-aWO”为真命题,

所以a23x对Vxe[2,3卜恒成立,

所以。2(3尤)1mx=9,即ae[9,+co),所以。的最小值为9.

故选：D

2.已知命题p：VxeR,ax2-3x-6V0为真命题，则实数。的取值范围是()

ca-Da|0<a<-!

A.B.-p-|r-

【答案】B

【分析】由题可知以2-3》-640恒成立,根据二次函数的性质即得.

【详解】由题可知分2_3x-6V0恒成立,

当a=0时，-3x-6W0不合题意，

a<03

当awO时，贝小,解得故选：B.

A=(-3)2+4x6a<08

3.已知命题“女€R，使+”2卜2+(aT)x+lW0”是假命题，则实数a的取值范围是()

A.(-co,-3)U[1,+℃)B.(-3,1)

C.(-3,+co)D.(-oo,-3)u(l,+oo)

【答案】A

【分析】依题意可得命题“VxeR,使(〃+。-2)/+(。一1卜+1>0”是真命题，再分

/+a-2=0和/+”2片0两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】解：因为命题“*eR,使(/+a-2)x?+(。-l)x+140”是假命题，

所以命题“VxeR,使卜厂+a—2)x~+(a—l)x+l>0”是真命题，

当/+“一2=0,解得a=l或。=-2,若a=l时原不等式即1>0,满足条件；

若.=-2时原不等式即-3x+l>0,即x<g,不符合题意；

/+。—2>0

当/+4一2。0,则1\2.7八八，解得。>1或。<一3,

(tz-1)-4^2+tz-2j<0

综上可得ae(Yo,-3)U[l,+a))；故选：A

【题型四】充分与必要条件判断

【讲题型】

例题1.若p：aeR且-l<a<l,q：二次函数>=/+(0+1N+a-2有两个零点，且一个零

点大于零，另一个零点小于零；则”是「4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[答案]B

【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必

要性的定义进行求解即可.

【详解】设f+(a+l)x+a-2=0的一个根为大于零，另一根4小于零，则士了2=。-2<0,

解得a<2,

因为命题：若“，则「夕的逆否命题为：若0,则"，

由是„<2｝的真子集，

因此0是P的必要不充分条件.

故选：B.

8

JT

例题2.已知中，/B=—,AC=2,则//=5的充要条件是（）

66

A.小是等腰三角形B.AB=243

C.BC=4D.SAABC=6，BC<BA

【答案】D

【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.

ITIT57r27r

【详解】由于=g故当是等腰三角形时，或乙4=兰或44=今；

66123

当//=£时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是N/=2的必要不充分条件,

66

所以选项A不正确；

2V326

AB_AC----=了耍=方,所以/0=或/0=/,则4=3

当AB=273时,寂力'即sinC.兀

sin—

6

或当4=9时，/。==，根据正弦定理可得=2g,所以/8=26是4=?的

6636

必要不充分条件，所以选项B不正确；

42

AT____________Jr仃

当3C=4时，3三=嗫，即sin^一.兀，解得siM=l,//=g所以3C=4不是//=£

sinAsinBsin-26

6

的充分条件，所以选项C不正确；

当£时，S/BC=6当S/Bc=g时，即!=根据

62

余弦定理8c2+B/2-25C・A4-cosB=4，解得Be?+BN?=16,BC<A4,BC=2,比1=2石，

则4=，所以S”c=8C<切是4=£的充要条件，

66

故选：D.

【讲技巧】

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断夕=[和是否成立，最

后得出结论.

(2)命题判断法

①如果命题：”若p,则q"为真命题，那么?是q的充分条件，同时q

是夕的必要条件；

'②如果命题;“若p,则q”为假命题，那么?不是q的充分条件，同时

q也不是p的必要条件.

(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个

集合具有包含关系，则小范围今大范围，大范围推不出小范围.

(4)传递法：由推式的传递性：P1一夕2=7?3=…-P"，则?"是的必要条

件.

【练题型】

L使卜+1]>2成立的一个必要不充分条件是()

A.x<—3B.x>0

C.%<-3或%>1D.%<—3或%>0

3【答案】D

9

【分析】解绝对值不等式可得X>1或》<-3,根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关

系即可.

【详解】由卜+1|>2,可得x>l或》<-3,

所以》<-3是卜+1］>2的充分不必要条件，

x>0是卜+1|>2的既不充分也不必要条件，

x<-3或x>l是k+1］>2的充要条件，

x<-3或x>0是卜+1］>2的必要不充分条件.

故选：D

2.若A、B是全集/的真子集，则下列五个命题：①；②/1?=/；③Nc伍）=0；

④4cB=/；⑤xeB是xeZ的必要不充分条件•其中与命题/a8等价的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：由/=5得韦恩图：

对于①，月=/等价于/=故①正确；

对于②，=/等价于3=/,故②不正确；

对于③，/c⑻=0等价于/=故③正确；

对于④，AcB=I与4、3是全集/的真子集相矛盾，故④不正确；

对于⑤，xeB是xe/的必要不充分条件等价于2冬/,故⑤不正确，

所以与命题/=8等价的有①③，共2个，

故选：B.

3.若集合/={x|f一（冽+1）X+加=0},5={-1,0,1},则“加=-1”是=的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

［答案］A

【彳析】根据充分不必要条件的定义再结合子集关系即可得到答案.

【详解】当初=-1时，4=—1=0}={1,—1}7丛满足充分性.

x2-（m+l）x+m=0,A=（m+1）2-4m>0,所以力W0.

当A〉0时，/={x|f_（次+1）工+次=0}={冽』，

因为/=所以加=0或冽=-1.

当A=0时，m=l,此时/={1},满足ZgB.

所以/=加=0或优=-1或加=1,不满足必要性.

所以“加=-1”是“/①5”的充分不必要条件.

故选：A

【题型五】充分不必要条件求参数

【讲题型】

例题L.若“/+3苫一4<0''是"（》一人）］》一（左+3）］>0"的充分不必要条件，则实数上的取值

范围是（）

10

A.(—8,-7)D[1,+8)B.(—8,-7]U(1,+8)

C.(-oo,-7)U(l,+oo)D.(-。,-7卜[1,+动

【答案】D

【分析】求出一元二次不等式的解集，再利用充分不必要条件的意义列式，求解作答.

【详解】解不等式一+3x—4<0得：-4<x<l,即不等式/+3x—4<0的解集为(一4,1),

由(x-左)[x-(左+3)]>0得X〈后或x>左+3,即此不等式的解集为(一8㈤U化+3,+8),

依题意，(-4,1)$[(—oo,左)。(左+3,+8)],则有上+34—4或左21,解得上4—7或后之1,

所以实数上的取值范围是(-8,-7+8).

故选：D

例题2.设a：x>。，/?:—>0,若a是尸的充分条件，则实数。的取值范围是()

X

A.(0,+oo)B.(一8』C.[l,+oo)D.(一8,0]

【答案】C

【分析】解分式不等式上」>0得月，由a是6的充分条件等价于尸包含a,根据包含关系

X

列不等式求解即可

【详解】=>00(x-l)x>0,解得x>l或x<0,由"是"的充分条件，贝U有心1.

故选：C

【讲技巧】

充分不必要条件：

(1)小推大：一般情况下，“小”是“大”的充分不必要条件

(2)真子集：一般情况下，“真子集”是“集合”的充分不必要条件

【练题型】

2—x

1.已知P：%>左应:一-<0,如果2是9的充分不必要条件，则左的取值范围是()

x+1

A.[2,oo)B.(2,+00)C.[l,+oo)D.(-oo,-l]

【答案】B

【分析】求出不等式二<0的解集，由2是0的充分不必要条件确定左的取值范围.

X+1

【详解】由二<0得(2-x)(x+l)<0,解得X<-1或x>2,因为p是9的充分不必要条件,

所以由x2A能推出工<一1或x〉2,得左〉2；当左〉2时由9得不到P.

综上：k>2o故选：B.

2..己知2：|、-6|+|%-2]〉12,q：x2-2x+\-a2>0(«>0),若p是q的充分不必要条件，则实

数。的取值范围为()

A.(-3,3)B.(0,3]C.[-3,0)D.(0,4]

【答案】B

【彳析】解绝对值不等式及一元二次不等式，根据子集关系即可得到结果.

【详解】由于I%-6|+|x-2|表示数轴上的1对应点到6、2对应点的距离之和，

而-2和10对应点到6、2对应点的距离之和正好等于12,

故等式|x—6|+|x—2|>12的解集是/=(-OO,-2)D(10,+8),由炉―2、+1_/>05〉0),得

11

[x-(1-a)][x-(1+a)]>0,

即x>l+a或x<l-a,(a>0),即B=(-8,l-a)u(l+a,+8),若〃是q的充分不必要条件，

则N是3的真子集，

•,J；?一“，解得。交，又。>0‘.♦.实数a的取值范围为(0,3〉故选：B

3.若“X2+3X-4<0”是“/-(2左+3)x+公+3人>0”的充分不必要条件，则实数人的取值范围

是()

A.k<-1,或左21B.k<-l,或左>1

C.k<-l,或左>1D.k<-1,或左21

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集，根据充分不必要关系知(T,l)是(-巩万)0伏+3,+。)的

真子集，列不等式组求人的范围.

【详解】由炉+3工一4=。+4)。一1)<0,贝！]-4<x<l,

由x?-(2左+3)尤+公+3左=(x-k)(x-k-3)>0,贝!]x<A•或x>k+3,

因为“f+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+/+3人>0”的充分不必要条件，

所以(-4,1)是(-“㈤口6+3,+。)的真子集,则左21或左+3MT,即无21或。4-7.

故选：D

【题型六】必要不充分条件求参数

【讲题型】

例题1.设命题P：0<ln(x-2)Wln3,命题q:加-3)W0,若9是P的必要不充分条

件，则实数加的取值范围是()

A.[2,3)B.(2,3]C.[2,3]D.(2,3)

【答案】C

【分析】解对数不等式和一元二次不等式可确定命题P，4对应的区间，根据必要不充分条件

的定义可得包含关系，由此可构造不等式组求得结果.

【详解】由0<ln(x-2)Wln3得：l<x-2<3,解得：3<x<5,即p:xe(3,5]；

由(x-加)(x-m-3)W0得：m<x<m+3,即加+3]；

是P的必要不充分条件，(3,5]S[m,m+3],

fm<3「ri

m+3>5,解得：2<m<3,即实数加的取值范围为[2,3].故选：C.

2

例题2.设P：|4x-3|<l;q：x-(2a+l)x+a(a+l)<0,若夕是P的必要不充分条件，贝!|。

的取值范围是()

A.0,1

C.(-co,0]u

【答案】A-

【分析】分别解出两个不等式，根据必要不充分条件可得不等式之间的包含关系.

【详解】因为四一3归1,所以-1V4X-3V1,即;V;cVl,不等式/一(2a+l)x+a(a+l)V0

化为(x-a)[x-(a+1)]«0,

12

1

d<一

解得：a<x<a+l,若0是〃的必要不充分条件，则有-2且等号不同时成立，解得

+1>1

OWaW；.故选：A

【讲技巧】

利用必要条件求参数的思路

根据必要条件求参数的取值范围时，先将小q等价转化，再根据必要条

件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系(或者大

小关系)，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

【练题型】

1.命题“任意xe[l,2],/一2x-a20”为真命题的一个必要不充分条件是()

A.a<-\B.a<2C.a<-\D.a>4

【答案】B

【分析】参变分离可得。，/。苫匕，xe[l,2],令/卜)=^-2》，xe[l,2],利用二次函

数的单调性即可得出函数/(x)取得最小值，再根据集合的包含关系判断出结论.

【详解】解：命题"Vxe[l,2],x2-2x“N0”为真命题，Aa<(x2-2%)^,xe[l,2],

4/(X)=X2-2X=(X-1)2-1,xe[l,2],则函数〃x)在xe[1,2]上单调递增，

••.x=l时，函数〃X)取得最小值，/(x)1nM=〃1)=一1.；.04一1.因为(一8,-1后(一8,2],

因此命题“任意相[，2],20”为真命题的一个必要不充分条件是aV2.故选：B

['X2—x—6<0

2..设〃：实数x满足/一4ax+3/<0,其中。片0,q：实数x满足2、二八，若P是q

[X2+2X-8>0

的必要不充分条件，则实数”的取值可以是()

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】B

【分析】分别求出命题〃、9成立的。的取值范围，根据。是夕的必要不充分条件求出。的

取值范围.

【详解】当。>0时，由/-4ax+3/<0,得xe(a,3a),当a<0时，由x?-46+3/<0,

y2_X_6<0

2；,得x«2,3],因为P是9的必要不充分条件，所以当。>0

时，贝I]3Q>3且〃f42,解得1<Q«2,

当a〈0时，则3〃《2且〃〉3,无解，综上可得：1<Q<2.故选：B.

3.已知集合/={x|(；尸”6<1},3={x|log”(x+a)<1},若“xe/”是“xe3”的必要不充分条

件，则实数。的取值