北京市石景山区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷

石景山区2023—2024学年第二学期高二期末试卷数学本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1已知集合，，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交集定义即可求解.【详解】因为，，所以，故选：D.2.已知命题p：“”，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p：“”，的否定为：．故选：C．3.已知等差数列，则等于（）A. B.0 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得：，.故选：B.4.已知事件A，B相互独立，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以，故选：B.5.在数列中，，（），则的值为（

）A.-2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】数列中，由，，计算，，，...，可得，利用周期性计算得出.【详解】数列中，由，，得，同理可得，，...，所以，则.故选：D.6.函数在点处的切线与直线垂直，则（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件得到在点处的切线斜率为，进而通过及的值得到答案.【详解】由知，故.由于的斜率为，故在点处的切线斜率为.所以，故，得.故选：A.7.已知函数，则下列选项正确的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】，当x∈R时，，所以是单调递增函数，因为，所以.故选：D8.已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】在已知条件下，，都与等价，由此即可得解.【详解】，而，所以，充分性成立；反过来若，若，则一定有，所以，，故，必要性成立；也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件.故选：C.9.若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】即函数图象与直线有且仅有两个交点，通过导数画出函数图象，即可得答案.【详解】，则函数有且仅有两个零点等价于函数图象与直线有且仅有两个交点.又，则当时，，得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.又时，，据此可得大致图象如下：则.故选：C10.数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论：①存在正整数，使得；②存在正整数，使得；③记，则数列有最大项和最小项.其中正确结论的个数是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，可判定②正确；由当时，最小项，当最大，可判定③正确.【详解】由题意，数列an的通项公式为，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整数，使得，所以①正确；由，存在正整数，使得，所以②正确；由数列an的通项公式为，可得，且当时，，所以，所以当时，数列有最小项，当时，数列有最大项，所以③正确.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】【分析】根据定义域求解方法即可.【详解】要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.12.已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式.【详解】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，因为，，当时，，即不等式的解集为；故答案为：13.已知数列是等比数列，且，，则_____________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果.【详解】由等比数列，知.所以.故答案为：.14.已知函数的导函数为，则__________，过点且与曲线相切的直线方程为_______________.【答案】①.4②.【解析】【分析】求出函数的导数，即可求解，设切点，求斜率，写切线方程，即可求解直线方程.【详解】的导数为，，解得，故，即；设过点且与曲线相切，切点为，且，故切线斜率为，即切线方程为，切线方程过点，代入方程可得，解得或，当时，直线方程为；当时，直线方程为.故答案为：4，.15.已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：①可能是负数；②；③为定值；④若存在，使得，则.其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③④【解析】【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算.【详解】对于①，，因为函数有两个极值点，所以有两个相异实根，这意味着，否则时，f′x≥0，即若，则当时，f′x>0，当时，，当时，f′x>0即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有两个极值点，故①错误；对于②，是方程的两根，从而，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，若存在，使得，即关于的不等式有解，而没有最大值，故原命题等价于关于的不等式有解，令,而函数的最小值为1，所以当且仅当，即满足题意，即若存在，使得，则，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解.三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求函数的极值；（2）若对都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）极大值；极小值（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解；（2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解.【小问1详解】由，得.令得或.当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示：＋0－0＋↗极大↘极小↗所以当时取极大值；当时取极小值.【小问2详解】由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为.对都有恒成立，所以.17.已知等差数列的前n项和为，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：数列的前n项和．条件①，条件②，条件③.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）选①②或②③时，利用等差数列的通项公式与求和公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；选①③时，利用等差数列的通项公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；（2），利用裂项相消法即可证明.【小问1详解】（1）由于是等差数列，设公差为，当选①②时：，解得，所以的通项公式，．选①③时，解得，所以的通项公式，．选②③时，解得，所以的通项公式，．【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，因为，所以.18.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值；（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为X，求X的分布列及数学期望；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的概率.【答案】（1）；（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）依题频率和为1可得答案；（2）求出的取值及相应的概率可得答案；（3）根据独立重复概率公式可得答案.【小问1详解】依题意可得，解得；【小问2详解】由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2，所以，，，所以的分布列为：012所以；【小问3详解】从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在为事件，则.19.已知函数.（1）求证：当时，；（2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）构造，求导可得，分析的符号可得的单调性，从而可证明；（2）当时，由（1）知，满足题意.令，求导，分与讨论即可求解.【小问1详解】令，.由得，于是，故函数是上的增函数.所以当时，，即；小问2详解】当时，由（1）知，满足题意.令，则.当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数a的取值范围.20.若数列对任意的，均满足，则称为“速增数列”.（1）已知数列是首项为1公比为3的等比数列，判断数列是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值.【答案】（1）数列an是“速增数