2025年高考数学一轮复习：函数与方程（十一大题型）讲义（解析版）

第07讲函数与方程

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1:函数的零点与方程的解................................................................4

知识点2:二分法...............................................................................5

解题方法总结...................................................................................6

题型一：求函数的零点或零点所在区间............................................................6

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围......................................................9

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题...................................................12

题型四：嵌套函数的零点问题...................................................................17

题型五：函数的对称问题.......................................................................21

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型.......................................................24

题型七：唯一零点求值问£.....................................................................26

题型八：分段函数的零点问题...................................................................29

题型九：零点嵌套问题.........................................................................34

题型十：等高线问题...........................................................................38

题型十一：二分法..............................................................................43

04真题练习•命题洞见...........................................................45

05课本典例•高考素材...........................................................47

06易错分析•答题模板...........................................................50

易错点：不理解函数图象与方程根的联系.........................................................50

答题模板：数形结合法解决零点问题.............................................................52

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，高考对函数与方程

2023年天津卷第15题，5分也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点

(1)零点存在性定理2022年天津卷第15题，5分的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择

(2)二分法2021年天津卷第9题，5分题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同

2021年北京卷第15题，5分位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生

关注.

复习目标:

(1)理解函数的零点与方程的解的联系.

(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用.

(3)了解用二分法求方程的近似解.

，-T函数零点的概念一)(对于函数片/(.v),我们把使/(.\)=0的实数.V叫做函数尸/(.v)的库点.)

函数的零点与方程的解):方程的根与函数零点的关系)~~(方程/(.v)=0仃实数根Q函数i'=/(.v)的图像与a•轴有公共点o函数尸/代)有零点.

如果函数J=/(X)在区间［见加上的图像是连续不断的条曲线,

T〔零点存在性定理并且在/"(办/如。,那么函数j，=/(x)在区间(处。)内布r零点，

即存在cG(a,b),使得/(c)=O,c也就是方程/(2=0的根.

函数与方程

对于区间上连续不断且/(。>/(6)<0的函数/(x),

通过不断地把函数/住)的零点所在的区间一分为二，

使仅间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做.分法.

确定区间口⑶，验证/⑷给定精度£.)

二分法

T［求区间(a,B)的中点Xr)

/计算/g).若/(M)=0,则M就是函数/(<)的零点;一

O［一.分法求函数/(X)零点近似值的步骤

—：若/(。)・/口1)<0,则令b=s(此时零戊匕€(%»)).

若/SA/(xJ<。，则令"W(此时零点W/))

判断是否达到精确度“即若|叱。|<£，则函数零点的近似值为。(或b);

否则用复第(2)~(4)步.

老占空曲•题理探去

f知识固本JJ

知识点1：函数的零点与方程的解

1、函数零点的概念

对于函数〉=f(x),我们把使〃尤)=0的实数x叫做函数>=的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程〃尤)=0有实数根。函数y=〃x)的图像与x轴有公共点O函数y=有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=〃x)在区间[凡可上的图像是连续不断的一条曲线，并且有“a)"伍)<0,那么函数

4=/(彳)在区间(。,8)内有零点,即存在ce(a,b),使得〃c)=0,c也就是方程〃x)=0的根.

【诊断自测】已知函数“无)是定义在R上的偶函数且满足/(2-x)=〃x),当xe[0,2]时，

/(x)=-x2+2x-l,则函数g(©=f(%)Tog1(国T)的零点个数为.

3

【答案】4

【解析】因为函数/(X)是定义在R上的偶函数且满足/(2-X)=/(%),

所以/(2—x)=/(x)=/(-x),所以f(x+2)=/(x),

所以函数的周期为2.

由g(x)=/(x)-logj(国-1)=°可得f(x)=logj(禺-1),所以函数g(尤)的零点个数转化为函数/(X)的图像与

33

g)=log](|x|T)的图像交点个数，

3

对于〃(无)=logI(|x|T)的定义域为(9,_1)。(1,+8),

3

因为h(-x)=logj(|-x|-l)=logi(|x|-l)=h(x),

33

所以h(x)=log,(|x|-1)为偶函数,

所以画出/a)和川龙)在y轴右侧的图像如图所示，有2个交点,

又/（X）和/i（x）都是偶函数，所以y轴左边也有2个交点，

综上所述，的图像与“（X）=l°gdN—l）的图像交点个数为4,

3

即g（x）=/（x）-logi（|x|-l）的零点个数为4.

3

故答案为：4.

知识点2：二分法

1、二分法的概念

对于区间［a,b］上连续不断且了⑷"㈤＜0的函数/（%）,通过不断地把函数/（x）的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求

方程=0的近似解就是求函数f（x）零点的近似值.

2、用二分法求函数“X）零点近似值的步骤

（1）确定区间6］,验证/（°）"（6）＜0,给定精度£.

（2）求区间（。,6）的中点玉.

（3）计算〃为）.若/（为）=0,则占就是函数的零点；若〃°）"（占）＜0,贝U令人"（此时零点

毛）.若/⑻"（占）＜0,则令°=占（此时零点,«占,6））

（4）判断是否达到精确度£,即若,-耳＜£,则函数零点的近似值为。（或6）；否则重复第（2）~

（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【诊断自测】用二分法研究函数〃幻=炉+8x3-1的零点时，第一次经过计算得/⑼＜0,/（0.5）＞0,则

其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）

A.（0,0.5）,/（0.125）B.（0,0.5）,/（0.375）

C.（0.5,1）,/（0.75）D.（0,0.5）,/（0.25）

【答案】D

【解析】因为/（0）/（。5）＜0,

由零点存在性知：零点Me（0,0.5）,

根据二分法，第二次应计算了1吟3,即/（025）,

故选：D.

解题方法总结

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数/（X）在定义域上是单调函数，则“X）至多有一个零点.

②连续不断的函数/（X）,其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数/（元）通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/（X）在闭区间团，田上有零点，不一定能推出ym）/s）<o.

题型一：求函数的零点或零点所在区间

/、\x（x+3],x<0,/、

【典例1-1】已知函数〃x）=、八则函数“X）的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】当xvO时，由x（x+3）=。，得x=—3或0（舍去）；

当工之0时，由—3）=。解得％=0或x=3.

故共有3个零点.

故选：C.

【典例1-2】函数〃x）=ln（2尤）-工的一个零点所在的区间是（）

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因为/（x）的定义域为（0,+“），且y=ln（2x）,y=-工在（0,+8）内单调递增,

X

可知“X）在（0,+8）内单调递增，

5./（l）=ln2-l<0,/（2）=ln4-1>0,

所以函数/(X)的唯一一个零点所在的区间是(1,2).

故选：B.

【方法技巧】

求函数/(X)零点的方法：

(1)代数法，即求方程/'(6=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；(2)几何法，即利用函数

y=f(x)的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

【变式1-1]定义在+e)上的单调函数“X)满足：Vxe(0,+«),/[/(x)-log2x]=3,贝ij方程

无)—-=2的解所在区间是()

A.(0,；]B.gJC.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】由题设r=/(x)-log2X>0为定值，且/⑺=3,

所以〃尤)=r+log2X,贝(j/(t)=f+k)g2r=3,易知f=2,(^/(x)=2+log2x,

111

由/(x)--=2+log2X—-=2,则logzx=—,显然在第一象限有一个交点,

X~无X

又y=log2x,y=’在(0,+8)上分别单调递增，单调递减，

X

X£

1Og2<1

i2T,log2l<-,log22>-,故方程解在(1,2)上.

212

故选：C

【变式1-2】已知函数〃x)=2*+x-2,g(x)=log2x+x-2,=2的零点分别为a,b,

贝Ua+Z?+c=.

【答案】3

【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数y=2:y=log2x,/的图象，它们的图象与函数

因为y=2',y=logzX互为反函数，其图象关于直线y=x对称，y=-x+2与y=x垂直，所以

a+b=2.

又硒=1+1-2=0,所以c=l.

以a+b+c=3.

故答案为：3

【变式1-3](2024•高三•山西太原•期中)已知%是函数/(xA/e'+lnx的零点，则

x

e°-lnx0=___.

【答案】-1

【解析】由题可知，。)二*e%+lnx0=0,

所以XOQX°=-In毛=>=-I"'。=—In—>0,

X。X()%0

(1)

令/⑺=xe，,(x>0)厕单调递增，且〃尤°”，In-

IxoJ

I1区1I

所以/=ln一,所以e与=一/口/=_/，

/%o

所以e"In/=—(-％)=-1.

%

故答案为：-1

【变式1・4](2024•四川成都•模拟预测)已知函数/(x)=cos3x-3cos2%-3cosx+l,XG[0,2TI],

则函数的零点是—.

【答案】■和兀和费

【解析】由于cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx—sin2xsinx

=(2cos2%-1)cosX-2(1-cos2x)cos%

=4cos3x-3cos,

^/(x)=4COS3X-3COSX-3(2COS2X-1)-3COSX+1

=4cos3x-6cos2x-6cosx+4

=4(cos3x+l)-6cosx(cosx+1)

cosx-g](cosx

=4(cosx+l)一2）,

令/（尤）=。，则cosx=-l或cosx=；或cosx=2（舍去）,

又因为了目0,2兀］,所以》=兀或xJ或户用，

故函数的零点是2和兀和g,

故答案为：§和兀和不

【变式1-5］设X。是函数“力=抽2%一2-*的一个零点，若0<%<尤2<尤3且/（不）〃%）/（毛）<0,则

下列结论一定错误的是（）

A.Xo6（0,^2）B.x0£（^,^2）

C.x0e（O,jq）D.xQe（%3,+oo）

【答案】C

【解析】由=定义域为（0,+s）,

贝IJ尸（无）=」--flTln--—+f-Tln2>0,所以函数/（x）在区间（0,y）上单调递增，

xln2^2）2xln2^2）

又因为尤。为/（无）的零点，所以/（x0）=0,所以当尤<x°,/（x）</（^）=0.

对A：当.€（0,%2）,可知/<3<工3，所以/（%）=。</（尤2）<〃W），

只有占<与时/（为）</（毛）=0,从而满足题意，故A不一定错误；

1

对B：当血€（冷了2），贝］〃%）</（%）=0,/（xo）=O</（x2）</（x3）,从而满足题意，故B一定正

确；

对C：当.«0,石）,则〃为）=0</&）</仁）<〃毛），不满足题意，故C一定错误;

对D：当为e（w，4w）,贝!］/&）</（%2）</（£）</（%）=。，满足题意，故D一定正确；

综上所述：故C正确.

故选：C.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【典例2-1】（2024•高三•浙江绍兴•期末）已知命题P：函数/（尤）=2/+彳-”在（1,2］内有零点,

则命题。成立的一个必要不充分条件是（）

A.3<61<18B.3<6i<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【解析】函数=在R上单调递增，由函数/。）=2/+X-0在（1,2］内有零点，

r/（l）=3-a<0_

得［二1O、c，解得3<a418,即命题。成立的充要条件是3<a418,

［/⑵=18-。20

显然3<aV18成立，不等式3Va<18、3<a<18>a<18都不一定成立，

而3<。418成立，不等式恒成立，反之，当aN3时，3<aW18不一定成立,

所以命题"成立的一个必要不充分条件是。之3.

故选：D

【典例2-2](2024•四川巴中•一模)若函数/(x)=262+3x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点，则实

数。的取值集合为()

9

A.{«|-1<</<2)B.{a\a=——或一Iva〈2}.

8

9

C.{a\-l<a<2}D.{a\a=——或一

8

【答案】D

【解析】由函数〃x)=2ar2+3x-l,

若a=0,可得/(同=3>1,令/(无)=0,即3x-l=0,解得x=；,符合题意；

若。力0,令/(x)=O,即2金2+3万一1=0,可得A=9+8a,

992

当A=0时，即9+8〃=0,解得〃=—耳，止匕时/(%)=—]%2+3%一1,解得x=§,符合题意；

当A>0时,即且”0,则满足〃-L)-"l)=(2a—4)(2a+2)W0,

o

解得-且〃wO,

若a=-l,可得〃x)=—2f+3x—l,令/(尤)=0,即2/一3》+1=0，

解得x=l或无=；,其中x=ge(-l,l),符合题意；

若a=2,可得〃x)=4f+3x—l,令〃x)=0,即4f+3x-1=0,

解得x=-l或尤=1，其中尤=ge(-l,l),符合题意；

44

9

综上可得，实数a的取值范围为{a|a=弓或-1<a42}.

O

故选：D.

【方法技巧】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参

数的不等式，解不等式，从而解决.

【变式2-1](2024•山西阳泉•三模)函数"xAlogzX+d+m在区间(1,2)存在零点.则实数机的

取值范围是()

A.(—00,—5)B.(―5,—1)C.(1,5)D.(5,+8)

【答案】B

【解析】由m=10g2尤在(。，+8)上单调递增，％=/+冽在(。,+8)上单调递增，得函数

/(尤)=lOg2X+无?+机在区间(0,+8)上单调递增，

因为函数/(力=1082%+彳2+m在区间(1,2)存在零点，

所以凰I'即怛+D解得―

2

［/(2)>0^log22+2+77i>0

所以实数机的取值范围是(-5,-1).

故选：B.

【变式2-2】设函数/(x)=e，+a(x-l)+b在区间工刃上存在零点，则/+〃的最小值为()

2

A.—eB.eC.e—D./

22

【答案】D

【解析】设零点为3则4力-1)+人+e'=。，

产

因止匕<?+〃2:——~~-!?e［l,3］,

(t-1)-+1L」

考虑函数g(x)=(x2—2x+2)e-2)其导函数g'(x)=(-2尤2+6x—6)e-2，<0,

因此函数g(x)在［1,3］上单调递减，从而1+匕2的最小值为-7K=e2.

g⑴

故选：D.

【变式2-3］若方程x|x-a|+左=0在区间［0,2］上有解，其中一4+4后Wq<4,则实数上的取值范围

为—.(结果用。表示)

~2~

【答案】-一,。

【解析】因为方程4L4+左=0,即乂彳一"=一女在区间［0,2］上有解，

设函数〃x)=#-a|=,则函数/(x)的图象与直线y=—左在区间［0,2］上有交点.

［-X+ax,x<a

因为T+4^2<QV4，所以°<一2+2^2<—<2,

所以函数/(X)在0,-|上单调递增，在上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

当2<”4时，在区间［0,2］上，“X).=/［］=：，/⑴1111n=40)=0，

a

当-4+40＜々＜2时，因为〃0)=/伍)=。，f“2)=4一2a.

22

乂—4+4A/2<a<2y所以—24—2〃，

4

44

2.

综上，实数%的取值范围为-^0.

一2

故答案为：一》

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

【典例3-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/'(无)=(x2-ox+a)ln(x+l)aeR的图像经过四个象

限，则实数〃的取值范围是.

【答案】

【解析】〃幻=(炉一or+^lna+l)的图像经过四个象限，/(0)=0,

且当x£(-l,0)/n(x+l)<0,x£(0,+oo),ln(x+l)>0,

令g(%)=x2-ax+a,

g(x)=0在(T,o)和(0,+oo)上均至少存在一个实根.

又g⑴=1>0,

[g(-l)>0f2a+l>01c

<=><=——<a<0.

[g(0)<0[a<02

，实数。的取值范围是(-1，0).

故答案为：(——,0).

【典例3-2】设函数〃x)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有〃l+x)=〃lr),且当

%40,1]时，/(x)=2v-l,若函数g(x)=〃x)-log.x(其中0>1)恰有3个不同的零点，则实数°的取

值范围为

【答案】5<a<9

【解析】•."(l+x)=〃l一X),则函数“X)关于直线X=1对称，

又•..函数/(X)是定义在R上的奇函数，则〃1+X)=〃1T)=—/(X—1),

即/(x+2)=—/(x),贝I]/(X+4)=—/(X+2)=—[一/(x)]=/(X),

故函数/⑴是以4为周期的周期函数，

又•.•〃X+2)=-〃T-2)=-〃T+2),即〃X+2)+/(-X+2)=0,

故函数/(x)关于点(2,0)对称，

令g(X)=/(X)Tog.x=。，则/(x)=log.X，

原题等价于y="X)与y=10gliX有3个交点，且y=logflx(a>1)的定义域为(0,+e),

log.5<1

如图所示，贝阿得log”9>1,解得5<a<9,

a>\

3=1.....灯翼J二二三

…不正亭箕…不再

oA591^\//

■y=-l

故答案为：5<«<9

【方法技巧】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点

的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果

不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

【变式3-1】(2024•河南•二模)已知函数/(X)是偶函数，对任意xeR,均有〃x)=〃x+2),当

xe[0,l]时,/(x)=l-x,则函数g(x)=/(x)Tog5(x+l)的零点有____个.

【答案】4

【解析】函数“X)是偶函数，说明函数“X)的图象关于〉轴对称，/(x)=/(x+2)说明/(尤)的周期

是2,

在同一平面直角坐标系中画出函数y=/(x)的图象与y=bg5(x+i)的图象，如图所示：

如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=/(x)-log5(龙+1)有4个零点.

故答案为：4.

【变式3-2]已知函数=优-6x+m)(e-3+e?-*-小的四个零点是以0为首项的等差数列，则

m+n=___.

【答案】e+，或8+e'+!

ee

[解析】因为/(%)=卜2_6%+时⑹"+e3r-〃)=[(九一3『+加一9]^e%-3+e3T-,

所以"6-x)=[(3-4+机-可广+1―止/⑴，所以〃力关于直线％=3对称，

令/(%)=°得/一6光+根=0或ex~3+e3f一〃二0，

由题意这两个方程各有两个根，且四个根是以0为首项的等差数列，

①若0为12_6%+机=0的根，则另一个根为6,贝iJ/n=0x6=0,

又/(X)关于直线尤=3对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为=2,

所以/-3+63-*-〃=0的两根为2,4,所以e2-3+e3-2-"=o,所以〃=e+1,

e

所以机+几=e+^；

e

②若0为eA3+e3T-〃=0的根，则另一个根为6,则e-3+e3—〃=0即〃=e3+!，

e一

又/(X)关于直线x=3对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为平=2,

所以彳2-6苫+机=0的两根为2,4,所以7"=2X4=8,所以根+"=8+e3+[.

e

综上，m+n=e+工或8+e，+[.

ee

故答案为：e+工或8+e'+［

ee

【变式3-3］（2024•全国•模拟预测）若函数=f一^3+2恁2日有三个不同的零点，则实数。

的取值范围是—.

【答案】

【解析】令/(x)=f—依e'，2ae2i=0,得［土］一竺+即=0；

［e)exe

设ug(x)=、则方程/：一?+?=0,即〃_〃+==0,

1_1

易知夕（同=三r，所以g（x）在（-8,1）上单调递增，在（I,+8）上单调递减，可得g（尤）__=：,

易知当尤＞0时，g（x）＞0,当x＜0时，g（x）＜0,且当X趋近于+co时，g（x）趋近于0,当X趋近于

-00时，8（%）趋近于一0°,

作出g（x）的大致图象如图所示.

数形结合可得’《且方程，2"+/°在工：〕上有两个不同的实数根.

解法一:

由A=Q2-4x网＞0,得号或。＜0.

ee

当〃〉号时，此时方程--成+网=0在1-％一］上至多有一个实数根，不合题意，

e2ee卜e_

当。＜0时，设方程产-加+幺=0在（-巩］上的两个实数根分别为讨2,贝卜也=生＜0,

e\eJe

所以需「［一乌+的＞0,得-工＜4＜0,故实数0的取值范围是IL。］.

（ejeee\eJ

解法二：

设方程产-成+%=0的两个不同的实数根分别为＜28气），

贝°0＜4（一，q=一或（＜°，0＜t2＜—.

①当。<%<!，q=,时，由二一处+2=0,得〃"一,，

eeeeee

则』一点十四=o在上有两个不同的实数根，即『+J/；。在上有两个不同的实数根,

eIeee卜e

t9171t二」矛盾.

由/H------7=0,得/=一或/=—，与0<%<一2

eeeeee

②当4<0,0<f2<1时，若方程+生=0在卜8,1上有两个不同的实数根,

eeVe_

2a

一<0

解得,<。<。.

a2a八e

——+——>0

ee

故答案为:

【变式3-4]（2024•陕西商洛•模拟预测）已知关于x的方程％=/'（4>0且awl）有两个不等实根,

则实数。的取值范围是（）

A.l,e;B.0,e;C.（l,7e）D.e;,7e

k7V7\7

【答案】A

【解析】关于x的方程无=/（a>0且。x1）有两个不等实根，

即关于无的方程a，=log“x（a>0且a*1）有两个不等实根，

即函数V=/与尸loga%（a>0且。*1）函数的图象有两个交点，

由指数函数与对数函数的图象可知，

当0<“<1时，函数与y=bg,x(a>0旦awl)函数的图象有且只有1个交点,

:.a>l,联立卜:，得R,:.ay+y=a'+x.

[y=log«x[ay=x

令〃x)="+x,则〃x)=/(y),且/(x)在(0,+e)上单调递增，，x=y,

口"X..luxA/\IHA：,/\1-lnx

K|Ja=x,xlna=Inx,Rn|Jilna=——,令g(x)=,g(1)=，

当0<x<e时，g'(x)>0,当x>e时，g'(x)<0,

.•.g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

则g(x)皿,=g(e)=:,又当x>l时，g(尤)=->0,且g(l)=O,

InV

若要ln“=上>lnl=O,则需要无>1,

x

画出g(x)大致图象如图所示，

由图知，0<Ina<—,解得]<°<

故选：A.

题型四：嵌套函数的零点问题

13%-2|,x<2

【典例4-1】设函数/(x)=7，若方程/2(尤)-叭尤)-。+3=。有6个不同的实数解，则实

----,x>2

、%—1

数”的取值范围为()

A.GTB.®C.[I]D.(3,4)

【答案】B

【解析】画出/(%)的图象如下图所示，由图可知要使=f有3个解，则需fe(O,2),

依题意，方程产⑺-叭尤)-a+3=0有6个不同的实数解，

令s=/(x),则--磁-“+3=0有两个不相等的实数根MM，

且0<S]<S2<2,令g（s）=s2-sa-a+3,

A=〃-4（-〃+3）>0

g（0）=-〃+3>07

则42）=4—2。一〃+3>0，解得

0<-T<2

所以实数。的取值范围为（2彳

【典例4-2]（2024•高三•河南•期末）已知函数〃x）=也±L若方程

X

"（无）『-（3MI+2）/（X）+2〃Z+1=0有三个不同的实数解，则实数加的取值范围是（）

A.一；,+8

(\

C,[—00,----2---

【答案】C

【解析】由函数/（x）=巴士，可得/'（无）=一半，

XX

当xe（0,l）时，/'（无）＞0；当xe（l,+oo）时，「（尤）＜0,

所以“X）在（。，1）上单调递增，在（L+◎上单调递减，所以函数〃“3=/（1）=1，

当x-+8时，y（x）fO,且y（x）＞o,

画出函数y=/（x）的图象，如图所示，

令t=/（x）,要使得"（x）f_（3加+2）/（x）+2m+1=0有三个不同的实数解，

则产-（3根+2»+2根+1=0有两个不同的实数根%和马，

且0e(0,1),Z2e(-oo,0)或L=1,

若％e(0,D且夕=1时,此时无解；

若40(。，。且芍e(-00,0)时，令--(3m+2y+2m+l,

〃⑼=2m+l<0

只需要，/i(l)=-m>0解得相V-g.

A=[—(3%+2)1一4产(2m+l)>0

故选：C.

y=f(x)

【方法技巧】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.

【变式4-1](2024•内蒙古呼和浩特•二模)已知函数/(x)=Wr，若关于X的方程

e

"(%)/+时(%)—1+根=0恰有3个不同的实数解，则实数加的取值范围是()

A.fl—[1—,—00)C.(―8,2)u(2,+GO)D.(1，/)

【答案】A

【解析】因为看

I—x

所以/''(尤)=常，令广(x)=0,得x=l,

当尤<1时，­(x)>0,〃x)递增；当x>l时，((为<0,〃x)递减;

所以当x=l时，〃x)取得极大值e一，图象如图所示:

y=f(x)

方程"(尤)f+时(尤)T+，w=。，即为(*x)+l)("x)T+〃z)=。，

解得/(劝=-1或/(x)=l-m,

由函数的图象知：/(x)=-l只有一个解，

所以/(x)=l-相有两个解，

所以0<l—m<e~2>解得1-晓<<1,

故选：A

【变式4-2】已知函数/(无)=(；一,0,若方程"(尤)]2-2叭x)+4=0有5个不同的实数解，则

2x-2,x<0,

实数〃的取值范围为()

A.(一沁B.g,2_C.

【答案】A

【解析】函数/■(%)的大致图象如图所示，

令t=f(x),则"(x)f-⑺+4=0可化