人教版九年级数学上册专项训练：圆的有关性质（一）解析版

第09讲圆的有关性质（一）

（重点题型方法与技巧）

目录

类型一：圆的有关概念

类型二：垂径定理及其推论的有关计算与证明

类型三：利用垂径定理解决实际问题

类型一：圆的有关概念

圆中容易混淆的“两组基本概念”

i.弦与直径：

（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.

（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.

2.弧与半圆：

（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.

典型例题

例题1.（2022•福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）下列结论正确的是（）

A.半径相等的两条弧是等弧B.半圆是弧

C.半径是弦D.弧是半圆

【答案】B

【详解】解：半径不是弦，没有与半径对应的弧，故A选项错误；

半圆是一种特殊的弧，故B选项正确；

半径不是弦，故C选项错误；

弧不一定是半圆，故D选项错误；

故选B.

点评：例题1考查圆的基本知识，掌握弧、弦、半圆的定义是解题的关键.

例题2.（2022•广东•揭阳市实验中学模拟预测）如图，在。。中，弦48等于。。的半径，OCLA5交。。

于点C,则NAOC等于（）

A.80°B.50°D.30°

【答案】D

【详解】解：•••弦A3等于。。的半径,

OA=OB=AB,

...△AOB是等边三角形，

ZAOB=60°,

"JOCLAB,

:.ZAOC=-ZAOB=30°

2

故选：D

点评：例题2主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本性质，等边三角形

的判定和性质是解题的关键.

例题3.（2021•湖南•长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图，已知A,B,C,。四点都在。。上，则。。

中的弦的条数为（）

A.2B.3

【答案】B

【详解】解：根据弦的定义可知，AB、C。和2。都是圆的弦，所以。。中的弦的条数为3,

故选：B.

点评：例题3考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦.

例题4.（2021•江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，以ABC的边5c为直径的。分别

交A5、4C于点D、E,连接OD、OE,若NA=65。,则ZDOE=.弧BD与弧CE的度数和为°.

【答案】50。##50度130。##130度

【详解】解：・・Z=65。,

・・・ZB+ZC=180o-65°=115°,

VOB=OD,OE=OC,

：.ZOBD=ZODB,ZOCE=ZOEC,

：.Z0DB+Z0EC=U5°,

：.ZBOD+ZCOE=360°-230°=130°,

・・・弧瓦）与弧CE的度数和为130。，

.,.ZZ）OE=180o-130o=50°,

故答案为：50°,130°.

点评：例题4考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180度是解题的关键.

例题5.（2022•江苏•九年级课时练习）如图，A5是。。直径，弦CD交A3于点£,OE=DE,ZBOD=a9

求NAOC（用含a的式子表示）.

【答案】ZAOC=3a

【详解】解：:。斤QE,

/D=/BOD=a,

/CEO=ND+/BOD,

：.ZCEO=2a,

9：OC=OD,

NC=NO=a，

ZAOC=ZC+ZCEO,

XA0C=3a.

点评：例题5考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了圆心角、弧、弦的关系.利用等腰三角形的性质得到ND=NBOD=a,利用三角形

外角性质得到NCEO=2a,由于OC=OD,则NC=ND=a,然后根据三角形外角性质得到/AOC=3a.

同类题型演练

1.（2022•全国•九年级单元测试）下列说法正确的是（）

A.过圆心的线段是直径B.面积相等的圆是等圆

C.两个半圆是等弧D.相等的圆心角所对的弧相等

【答案】B

【详解】解：A.过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故该选项说法错误;

B.面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故该选项说法正确；

C.同圆或等圆中两个半圆是等弧，故该选项说法错误；

D,同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法说法错误；

故选：B.

2.（2022・西藏・中考真题）如图，AB是。。的弦，OCLAB,垂足为C,OD//AB,OC=^OD,则

的度数为（）

A.90°B.95°

【答案】D

【详解】如图：连接。8,

A

w

n

：,OB=OD,

：.ZOBD=ZODB.

'：OC=^OD,

：.OC=^OB.

'：OC±AB,

oc1

sinZOBC=——=-,

OB2

：.ZOBC=30°.

•・•OD//ABf

：./BOD=NO3C=30。，

：.ZOBD=ZODB=15°9

：.ZABD=ZOBC+ZOBD=30°+75°=105°.

故选D.

3.（2022.全国.九年级专题练习）如图所示，在。。中，点A,O,。以及点8,O,C分别在一条直线上,

则图中的弦有（）

【答案】B

【详解】解：图中的弦有A'BC,CE共三条,

故选B.

4.（2021.湖北•通山县振新学校九年级阶段练习）如图，是：・。的直径，点。、。在的异侧，连接AD、

OD,OC,若NAOC=70。，且AO〃OC,则Z4OD的度数为

D,

w

【答案】40。##40度

【详解】解：ADOC,

:.ZAOC=ZDAO=70°f

又QOD=OA,

：.ZADO=ZDAO=10°,

ZAOD=180-70°-70°=40°.

故答案为：40°.

5.（2022.江苏.九年级单元测试）如图，已知AB=6,以点A为圆心，2为半径作A,点。为A上一点,

以为边作等边△5CD,则AQ的最大值为.

【答案】8

【详解】：如图，以圆的半径AC为边，作等边三角形ACE交于圆上一点E,连接砂.

••:ACE和二BCD均为等边三角形

：.AC=CE=AE=2,DC=BC

ZDCB=ZACE=60°

：.ZDCB+ZBCA=ZACE+ZBCA

：.ZDCA=ZBCE

在；。CA和BCE中,

AC=CE

<ZDCA=ZBCE

DC=BC

:.一DCA”一BCE(SAS)

：.AD=EB

在-ABE中，

AB-AE<EB<AB+AE

\'AB=6,AE=AC=2

.,.4<EB<8

：.4<AD<8

.•.AO的最大值为8.

故答案为：8.

6.（2022•江苏.九年级课时练习）已知：如图，AB是。。的直径，C。是。。的弦，AB,。的延长线交于

E,若AB=2DE,ZE=18°,求/C的度数.

【答案】36°

【详解】解：连接。£>,

AB=2DE=2OD,

OD=DE,

又NE=18。，

:.ZDOE=ZE=1S°f

ZODC=NOO£+NE=18。+18。=36°,

OC=OD

:.ZC=ZODC=36°.

类型二：垂径定理及其推论的有关计算与证明

垂径定理应用中常作的辅助线：

（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；

（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径,

再“连半径，，，构造直角三角形.

典型例题

例题1.（2022•福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，在半径为5cm的。。中，弦AB=8cm,

OCVAB于点C,贝!JOC=()

A.3cmB.4cm

【答案】A

【详解】连接Q4

OA=5

,：OCLAB

：.ZOCA=90°,AC=-AB=4

2

.,.在RfZXOAC中，OA2=AC2+OC2

52=42+OC2

OC=3.

故选：A.

点评：例题1考查圆的知识，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理的运用.

例题2.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，ABC的外接圆半径为5,其圆心O恰好在中线CD上，若AB=CD,

则ABC的面积为（）

A.36B.32

【答案】B

【详解】解：如图所示，连接

VAABC的外接圆是△ABC三边的垂直平分线的交点，且外接圆圆心在中线CD上,

垂直平分AB,

：.ZADC=9Q°,CD=AB=2AD,

设AZ）=x,贝UCD=2x,

：.OD=CD-OC^2x-5,

在Rt&OAD中，CM2=AD2+OD2,

.・・52=X2+（2X-5）2,

解得x=4或％=0（舍去），

：.AB=CD=8,

：.S.ARr=-ABCD=32f

故选B.

点评：例题2主要考查了三角形外接圆的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形面积，推出CD

垂直平分AB是解题的关键.如图所示，连接OA,先推出CD垂直平分AB,得到NADC=90。，

CD=AB=2AD,设AD=x,贝！ICD=2x,OD=CD-OC=2x-5,在RtAOAD中，由。4?=人少？+。少?，得到

52=d+（2尤—5）2,由此求解即可.

例题3.（2021•内蒙古•通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）已知。。的直径为10cm,AB,是。。

的两条弦，ABCD,AB=6cm,CD=8cm,则弦A3和CZ＞之间的距离是cm.

【答案】7或1##1或7

【详解】解：分两种情况考虑:

当两条弦位于圆心。一侧时，如图1所示,

过。作。E_L4B,交48于点E,交CD于点F,连接04,OC,

\'AB//CD,

：.OE±CD,

:.E、F分别为AB、CO的中点，

:.AE=BE=：AB=3cm,CF=DF=；CD=4cm,

在RfAC。尸中，OC=10+2=5cm,CF=4cm,

根据勾股定理得：。尸=3cm,

在RfAAOE中，0A=104-2=5cm,AE=3cm,

根据勾股定理得：0E=4cm,

则EF—OE-OF—4cm-3cm=1cm；

当两条弦位于圆心。两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm,

综上，弦48与CO的距离为7cm或1cm.

故答案为：7或1.

点评：例题3考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.分

两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OELCD,交CD于点F,交AB于点

E,连接OA,OC,由AB〃CD,得至I」OELAB,利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在

直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE-OF

即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可.

例题4.（2022•浙江•九年级单元测试）如图，在。中，弦于E点，C在圆上，AB=8,CE=2,

则。的半径AO=

【答案】5

【详解】解：设。4=OC=r,

.OCLAB,OC是半径，

；.AE=EB=4,

在RdAEO中，OA2=AE2+OE2,

：.r2=42+(r-2)2,

/.r=5

故答案为：5.

点评：例题4考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

例题5.（2022•江苏•泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在。。中，直径A5交弦于点E,OF±CD,

垂足为F,A£=4,BE=6,OF=3.求CZ>的长.

【答案】8

【详解】连接OD,

：AE=4,BE=6,

：.AB^AE+BE=4+6=10,

：.OD=OA=OB=-AB=5,

2

VOFLCD,OF=3,

..•RtOD产中，DF=^OD2-OF2=752-32=4-CD=2DF,

：.CD=2DF=8

点评：例题5考查了垂径定理和勾股定理.熟练掌握垂径定理是解题的关键.

同类题型演练

1.（2022・江苏•九年级单元测试）如图，在。。中，是弦，半径于点。，若0c=10,A8=16,

则CD的长为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】c

【详解】解：连接。4,如图,

"JOCLAB,

：.AD^BD=^AB=?)

在RtLOAD中，OD=sjAO2-AD2=7102-82=6

：.CD=OC-OD=10-6=4.

故选C.

2.（2022.全国•九年级课时练习）如图，CD是圆。的弦，直径ABLCD,垂足为E,若AB=12,BE=3,

则四边形的面积为（）

A.36^/3B.24月

【答案】A

【详解】解：如图，连接OC,

VAB=12,BE=3,

：.0B=0C=6,0E=3,

tJABLCD,

，在RtACOE中,EC=y10C2-0E2=436-9=3石，

：.CD=2CE=643,

：.四边形ACBD的面积=,A2C£>=」X12X6A=36—.

22

故选：A.

3.（2022・全国•九年级课时练习）已知;O的直径CD=10cm,A3是O的弦，ABLCD,垂足为V,且

A8=8cm,则AC的长为（）

A.ZA/SCDIB.46cmC.2百d11或4君《11D.2V§cm或46cm

【答案】C

【详解】连接AC,AO,

图1图2

:圆。的直径CO=10cm,ABLCD,AB=8cm,

AM=yyx8=4cm,OD=OC=5cm,

当C点位置如图1所示时,

VOA=5cm,AAf=4cm,CD_LAB,

-AM1=752-42=3cm,

CM=OC+OA/=5+3=8cm,

-,-AC=ylAM2+CM2="+82=46cm；

当。点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm,

*.*OC=5cm,

MC=5-3=2cm,

在RtAAMC中，AC=-JAM2+CM2=742+22=2非cm.

故选C.

4.（2022・全国•九年级单元测试）如图，。中，弦ABCD,已知。的半径为5,AB=6,8=8,那

么AB与8间的距离是.

【答案】7

【详解】过。点作于M点，延长M。交C£＞于点M连接40、CO,如图，

C\~N~yD

'：AB//CD,OMLAB,

J.OMVCD,即OALLCO,

AM=MB=yAB,CN=ND=gCD,

\'AB=6,CD=8,

：.AM=3,CN=4,

:。。的半径为5,

：.AO=CO=5,

■：OM1AB,即OMLC。，

在RtXAMO和RtACOD中，利用勾股定理可求得MO=4,NO=3,

；MNLAB,AB//CD,

.'.AB与CD的距离即为线段MN的长，

MN=OM+ON=4+3=1,

故答案为：7.

5.（2021・河北・唐山市友谊中学九年级阶段练习）如图，。。的弦AB垂直于CD,E为垂足，AE=3,BE=7,

且AB=CD.则圆心。到CD的距离是.

【答案】2

【详解】解：作。M_LA3于ONI.CD于N.则四边形OMEN是矩形.

•.*OM±AB于M,

：.AM=MB=^AB=^(AE+BE)：=：(3+7)=5.

：.EM=AM-AE=5-3=2.

：.ON=EM=2.

o

n--

故答案是：2.

6.（2022•全国•九年级专题练习）如图，AB是。的直径，A3平分弦C£）,交CD于点E,ZAOC^60°,

OC=2,求CD的长.

【答案】2君

【详解】解：；A3是：。的直径，A3平分弦。，

AOA1CD,CE=ED,

VZAOC=60°,OC=2,

在比OEC中，

ZOCE=3Q°,OE=1,CE=JoC?—OE?=物—1=g，

CD=2CE=273.

故8的长是2vL

7.（2022•全国•九年级课时练习）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题:

（1）如图1,&的半径为4cm,通过折叠圆形纸片，使得劣弧A8沿弦AB折叠后恰好过圆心。一求AB长；

⑵如图2,弦AB，垂足为点C,劣弧AB沿弦折叠后经过02c的中点。，AB=10cm,求（。的

半径.

【答案】⑴4百cm

⑵3A/5cm

【详解】（1）解：如图1，作交AB于N,交0于"，连接AQ

M

图1

由题意知，O.N=MN=-x4=2cm,AN=BN=-AB

22

在MAO]N中，由勾股定理得AN=jAOj-qN，=26

，AB=4A/3

AB的长为4j§cm.

（2）解:如图2,延长02c交C°2于E,连接A°2,设半径为『

E

,-一■•二、、

图2

由题意知AC=CB=^AB=5cm,由折叠和中点的性质可知0?D=DC=CE=；r,

在RrA。2c中，由勾股定理得AC2=ACV-OC,即52=/一&]

解得：r=3后,r=-3y/5（不合题意，舍去）

，半径的长为3&cm.

类型三：利用垂径定理解决实际问题

利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长,

从而解决问题.

典型例题

例题L（2021•黑龙江•塔河县第一中学校九年级期中）如图是一圆形水管的截面图，已知。。的半径04=

13m,水面宽AB=24m,则水的深度C。是（）

A.6mB.6.5mC.7mD.8m

【答案】D

【详解】解：由题意，A2是。。的弦，。。是。。的半径，ODVAB,

/.AC=BC=-AB=12m,

2

在RtAACO中，04=13m,AC=12m,

OC=-AC2=V132-122=5m>

CD=OD-OC^13-5=8m,

故选D.

点评：例题1考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出AC是解题的关键.

例题2.（2022•全国•九年级课时练习）我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题：“今

有圆材埋壁中，以锯锯之,深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：如图，5是。。的直径，弦AB±CD

于P,CP=1寸，43=10寸，则直径的长是（）寸

【答案】C

【详解】解：连接。4,

D

\'AB±CD,且A2=10寸,

：.AP=BP=5寸,

设圆0的半径OA的长为x,则OC=O£»=x,

VCP=1,

...OP=x-1,

在直角三角形AOP中，根据勾股定理得:

x2-(x-1)2=52,化简得：X2-X2+2X-1=25,

即2x=26,

：.CD=26(寸).

故选：C.

点评：例题2考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键.连接OA构成直角三

角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半

径OA为x,表示出OP,根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径.

例题3.（2022•江苏•九年级课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人

民的智慧，如图1,点尸表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心0

为圆心，10m为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦AB长为16m,则筒车工作时，盛水桶

在水面以下的最大深度为.

图I

【答案】4

【详解】解：过。点作半径于E,如图,

AE=BE=5AB=；x16=8,

在吊AAE。中，0E=4Q^^=如—W=6，

.\ED=OD-OE=W-6=4（m）,

故答案为：4

点评：例题3考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应

用垂径定理是解决问题的关键.过O点作半径OD_LAB于E,如图，由垂径定理得到AE=BE=8,再利用

勾股定理计算出OE,然后即可计算出DE的长.

例题4.（2021•甘肃•金昌市第五中学九年级阶段练习）尺规作图：找出下图残破的圆的圆心.不写作法，请

保留作图痕迹.

【答案】见解析

【详解】解：如图所示，在这个破损的圆上任取A、B、C三点,分别作线段和线段AC的垂直平分线,

两条垂直平分线的交点即为圆心O.

点评:例题4主要考查了垂径定理,线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理.在

这个破损的圆上任取A、B、C三点，分别作线段AB和线段AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即

为圆心O.

例题5.（2022•全国•九年级专题练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度A5为30m,拱高尸M为9m,

当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m,即PN=2m时,

试求：

（1）拱桥所在的圆的半径；

（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施.

【答案】(1)拱桥所在的圆的半径为17m；(2)不需要采取紧急措施，理由见解析.

【详解】解答：解：(1)设圆弧所在圆的圆心为0,连接。4、0A',

设半径为初

则OA=OA'=OP,

由垂径定理可知A'N=B'N,

：AB=30加，

.,.AM=^AB=15(m),

在RtAAOM中，OM=OP-PM=(.x-9)m,

由勾股定理可得：AO2=OM2+AM2,

即f=(x-9)2+152,

解得：x=n,

即拱桥所在的圆的半径为17m；

(2)'：OP=\lm,

：.0N=0P-PN=n-2=15(m),

在RtA4ON中，由勾股定理可得4N==5/172—152=8(m),

A5=2AN=16米>15%,

.,•不需要采取紧急措施.

点评：例题5主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键.

(1)由垂径定理可知AM=BM、A，N=B，N,再在RtZkAOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；

(2)求出ON=OP-PN=15(m),再由勾股定理可得A，N=8(m),则A，B，=2AN=16米>15m,即

可得出结论.

同类题型演练

1.（2022•浙江衢州.一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径08=5,水面宽AB=8,则截面

圆心。到水面的距离为（）

A.2.5B.3

【答案】B

【详解】解：如图，过点O作

BC=-AB=-x8=4,

22

在RfOCB中，由勾股定理得：OC=d0B2-BC?-4。=3・

故选：B.

2.（2022•江苏•九年级专题练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所

示，CD为0O的直径，弦垂足为E,CE为1寸，A8为10寸，求直径的长.依题意，CD

长为（）

.25口

A.——寸B.13寸

2

【答案】D

【详解】解：连结AO,

为直径，CD±AB,

/.AE=-AB=5.

2

设。。半径为R,则OE=R—1.

Rt^AOEOA2^AE2+OE2,

：./?2=52+（7?-l）2,；.R=13,

：.CD=2R=26（寸）.

故选：D

3.（2021•河南许昌•九年级期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250机的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢

索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25出那么其正下方的路面AB的长度为（）

【答案】C

【详解】解：设圆弧的圆心为。，过。作OCLAB于C,交于连接如图所示：

路面

/\c年拱

XL

贝ij04=00=^x250=125（机），AC=BC,CD=25,

2

/.OC=100,

'AC=V（M2-OC2=71252-1002=75（根），

/.AB=2AC=150（m）,

即路面AB的长度为150/M,

故选：C.

4.（2022•浙江台州•九年级期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相

切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm,AF=DE=3cm,则这个球的半径是cm.

ED

【答案】15

【详解】解：过。作OGLAZ）于G,交于H,连接0£,

:.FG=EG,

AF=DE=3cm,

设半径为ran,贝OG=（r-6）cvn,OE-rcm,EG=（r—3）cm,

根据勾股定理得，（-3）2+（-6）2=，，

解得：r=15或3（舍），

答：这个球的半径为15cm.

故答案为：15.

5.（2022・四川自贡•九年级专题练习）妈妈不慎把家里的圆形玻璃打碎了，小明带如图的玻璃碎片到商店购

买与原来大小一样的圆形玻璃，粗心的工作人员弄乱了操作步骤：

①连接AB和BC；

②以点。为圆心，为半径作。。；

③在玻璃碎片的圆弧上任意找不在同一直线上的三点A，B,C；

④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；

聪明的小明迅速帮助工作人员排好了顺序.

正确的操作步骤是.

c

【答案】③①④②

【详解】解：正确操作步骤是：③在玻璃碎片的圆弧上任意找不在同一直线上的三点4