人教版初中九年级数学上册同步讲义-中心对称（解析版）

第02讲中心对称

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握中心对称及其中心对称的性质

①中心对称及其性质

2.能够熟练的进行中心对称作图

②中心对称作图

3.掌握中心对称图形的概念以及中心对称图形的性质

③中心对称图形

4.掌握点关于原点对称的点的坐标特点，能够熟练的

④关于原点对称的点的坐标

进行坐标的求解

思维导图

中心对称义

知识点01中心对称的定义

i.中心对称的定义:

如图，把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图

形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，

这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于对称中心

的对称点

即：AABC绕点0旋转180°与△A，BC完全重合，则AABC与△A，B'C关于点0成中心对称，点0是对称

中心，A与A，,B与⑶，C与。都是对称点，

中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。

题型考点：①概念理解。

②中心对称判断。

【即学即练1】

1.下列说法中，正确的是（）

A.形状和大小完全相同的两个图形成中心对称

B.成中心对称的两个图形必重合

C.成中心对称的两个图形形状和大小完全相同

D.旋转后能重合的两个图形成中心对称

【解答】解：/、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一

定成中心对称，故错误；

成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错

误；

C、正确；

D、旋转180°,能重合的两个图形成中心对称，故错误.

故选：C.

【即学即练2】

2.下列各组图形中，△NEC1与△48C成中心对称的是（）

【解答】解：/、是平移变换图形，故本选项错误;

8、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是旋转变换图形，故本选项错误；

。、是中心对称图形，故本选项正确.

故选：D.

知识点02中心对称的性质

1.中心对称的性质：

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即MBCgAAEC。

②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且

被对称中心平分。

即：OA=OA',OB=OB',OC=OC,

③中心对称的两个图形对应边平行或共线

题型考点：①性质理解。

②利用性质求值。

【即学即练1】

3.如图，LABC与AA'B'C关于。成中心对称，下列结论中不成立的是（）

A.OC=OC'B.OA^OA'

C.BC=B'CD./ABC=NA'CB'

【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A,8正确；

成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确.

故选：D.

【即学即练2】

4.如图所示，B'C与AZ8C关干。成中心对称，那么/。=O,BO=夕0,CO=C'

O,点、A、。与H三点在同一直线上,B、B'、O三点在同一直线上,C、C'、。三点

在同一直线上.

【解答】解：△/'B'C与△N8C关于。成中心对称，那么/O=/'O,BO=B'O,CO=CO,

点/、。与⑷三点在同一直线上；

B、夕、O三点在同一直线上；

C、C'、O三点在同一直线上；

故答案为：A'O；B'O；CO-,A'；B、B'、O-,C、C、O.

【即学即练3】

5.如图，已知点4与点C关于点。对称，点3与点。也关于点。对称，若BC=3,OD=4.则N5的长

可能是（）

A.3B.4C.7D.11

【解答】C解析：：点/与点C关于点。对称，点8与点。也关于点O对称，

：.OB=OD=4,AD=BC=3,

,:BD-AD<AB<BD+AD,

：.5<AB<\\,

故选：C.

【即学即练4】

6.如图，30是等腰三角形/2C的底边中线，NC=2,48=4,△尸。C与△BOC关于点。中心对称，连接

AP,则/P的长是（）

A.4B.4&C.2V5D.276

【解答】解：•••2。是等腰三角形的底边中线，

：.AO=CO=^AC=\,

2

\B0=7AB2-A02=”了=V15，

,/△PQC与△BOC关于点C中心对称，

：.CQ=CO=},ZQ=ZBOC=90°,PQ=BO=-f\^,

：.AQ=AO+CO+CQ=3,

=22

^PVAQ+PQ=Vs2+(^/l5)2=2氓.

故选：D.

知识点03中心对称图形

1.中心对称图形的定义:

一个图形绕某一点旋转180。后,如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形

就叫做中心对称图形，这个点叫做图形的对称中心。

2.中心对称图形的性质：

性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

性质2：对应线段平行或共线。

性质3：对应角相等。

性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全等的图形。

特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是

指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。

题型考点：①中心对称图形的判断。

②利用中心图形的性质求值。

【即学即练11

7.一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术.剪

纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A,是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

3、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、既是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

。、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【即学即练2】

8.如图是一个中心对称图形，/为对称中心，若NC=90°,Z5=30°,5。=2%，求BB'的长为

8

【解答】解：•.•是一个中心对称图形，/为对称中心，

'.AB=AB',

VZC=90°,NB=30°,8c=2心

.\AB=4,

：.ABf=4,

：.BB'=8,

故答案为：8.

【即学即练3】

9.如图，四边形/BCD是菱形，。是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当

菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12.

【解答】解：•••菱形的两条对角线的长分别为6和8,

二菱形的面积=工义6X8=24,

2

：。是菱形两条对角线的交点，

...阴影部分的面积=工乂24=12.

2

故答案为：12.

【即学即练4】

10.如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分.（至少有两种画法）

【解答】解：分割法如图所示:

知识点04中心对称与中心对称图形作图

1.中心对称与中心对称图形的作图：

步骤：①确定图形的关键点与对称中心。

②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。

得到对称点。

③按照原图形连接各对称点。

2.找图形的对称中心：

连接任意两组对称点得到两条线段,这两条线段的交点就是对称中心。

题型考点：①中心对称图形的判断。

②利用中心图形的性质求值。

【即学即练1】

11.如图所示，&4BC与A4'B'C关于点。中心对称，但点。不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对

称中心O的位置.

【解答】解：①连接CC',取线段CC'的中点，即为对称中心O.

②连接、CC',两线段相交于。点，则。点即为对称中心.

【即学即练2】

12.如图，已知四边形N8CA和点P,画四边形480,使四边形450。与四边形N8CD关于点尸成中

心对称.

D

A

知识点05关于原点对称的点的坐标

1.关于原点对称的点的坐标：

关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。

即若点Z（X],H）与点8（》2，乃）关于原点对称，则有X]+叼=0，Vi+V2=0。

2.关于点对称的点坐标：

关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。

题型考点：①利用对称特点求点的坐标以及求值。

【即学即练11

13.点（3,-2）关于原点对称的点的坐标为（）

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,2）D.（-2,3）

【解答】解：点（3,-2）关于原点对称的点的坐标为（-3,2）.

故选：A.

【即学即练2】

14.点-6）与点3（-3,1-6）关于原点对称，则（a+6）2。23的值为7

【解答】解：由题意，得0-1+（-3）—0,-6+（1-6）—0,

解得，a=4,b=-5,

...（。+方）2023=（4-5）2023=_j

故答案为：-1.

题型精讲

题型01中心对称与中心对称图形

【典例1】

第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕.下面四个高校校徽主体图案是中心对称

【解答】解：选项N、5、。的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合,

所以不是中心对称图形.

选项。的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：C.

【典例2】

中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别

代表“立春”、”谷雨”、”白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

【解答】解：选项。能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中

心对称图形；

选项/、B,。均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是中

心对称图形，

故选：D.

【典例3】

数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不

考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

八公

有害垃圾厨余垃圾

A.HazardousWasteB.FoodWaste

△

可回收物其他垃圾

RecyclableD.ResidualWaste

【解答】解：/、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

8、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；

■D、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：A.

【典例4】

2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，吉祥物“蓉宝”深受网民喜爱，结合你所学知识，在下列四

个选项中，能够和“蓉宝”（如图）的图片成中心对称的是（）

【解答】解：A,不是中心对称图形，故此选不符合题意;

B,不是中心对称图形，故此选不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选符合题意；

D,不是中心对称图形，故此选不符合题意.

故选：C.

【典例5】

下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（）

【解答】解：根据中心对称的概念，知②③④都是中心对称.

故选：C.

【典例6】

下列图形中，点。是该图形的对称中心的是（）

【解答】解：由中心对称图形的定义，得到选项8中的图形是中心对称图形，并且点。是该图形的对称

中心，故3符合题意；

选项N、C、。中的图形不是中心对称图形，故4、C、。不符合题意.

故选：B.

题型02中心对称的性质

【典例1】

如图,△N5C与△49。关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（）

B./ACB=/A'B'C

C.点/的对称点是点4D.BC//B'C

【解答】解：•.,△48C与aw夕。关于O成中心对称,

：.OB=OB',点/的对称点是点H,BC//B,C,

故N,C,。正确,

故选：B.

【典例2】

如图，△ABC与△0EC关于点C成中心对称，AB=JG，AE=3,ZD=90°,则4C=1.

【解答】解：与△DEC关于点C成中心对称,

C.AC^CD,DE=AB=y[^,

：/E=3,/。=90°,

"•AD=A/AE?-DE2=79-5=2,

'.AC=—AD=\,

2

故答案为：1.

【典例3】

则图中阴影面积为（）

D.25

【解答】解：在矩形中，点。是各组三角形的对称中心,

••・S阴影=S空白$<10X4=20，

故选：A.

【典例4】

如图，正方形A8CD和正方形EFG/Z的对称中心都是点O,其边长分别是3和2,则图中阴影部分的面积

是（）

A.&B.1.25C.1.5D.无法确定

【解答】解：连接NRBG,

:正方形的边长分别为3和2,

,面积分别为9和4,

:正方形/BCD和正方形所G77的对称中心都是点。，

；.S阴影=工（9-4）=1.25.

4

故选：B.

【典例5】

如图，在菱形N3CD中，AB=2,ZA=120°,过菱形48。的对称中心。分别作边8C的垂线，交

各边于点E,F,G,H,则四边形昉G”的周长为（）

A.3+73B.2+273c.2+73D.1+V3

【解答】解：连接8£>,AC,

:四边形/BCD是菱形，ZA=l20a,

；.AB=BC=CD=AD=2,NBAO=/DAO=60°,BD±AC,

：.ZABO^ZCBO^30°,

OA-|AB=I,0B=VAB2-0A2=V3>

"：OELAB,OFLBC,

:.NBEO=/BFO=90°,

在RtZk08E中，0E^~~QB=^>BE=VOB2-OE2=^->

在△8EO和△HTO中，

'/BEO/BFO

•ZEB0=ZFB0>

,B0=B0

:.△BEO妾△BFOCAAS),

：.OE=OF,BE=BF,

•:NEBF=6Q°,

...△8斯是等边三角形，

•■•EF=BE=V3X除母

同法可证，ADGH,△EO”,△。尸G都是等边三角形，

2A/Q

•••EF=GH或，EH=FG=0E=2J->

二四边形EFGH的周长为EF+FGH；H+HE=3W^.

故选：A.

【典例6】

如图，把正方形/BCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形HB'CD',A1B'和

B'C分别交于点E,F,在正方形旋转过程中，NEO尸的大小（

A.随着旋转角度的增大而增大

B.随着旋转角度的增大而减小

C.不变，都是60°

D.不变，都是45°

【解答】解：如图所示，连接/O,BO,A'O,AB',

..•正方形/BCD绕着它的对称中心。沿着逆时针方向旋转，得到正方形B'C'D

：.AO=B'O,

：.ZOAB'=ZOB'A,

又，：NOAE=/OB，E=45°,

NEAB'=NEB，A,

：.AE=B'E,

又,：EO=EO,

.,.^AOE^AB'OE(SSS),

ZAOE=ZB'OE.

同理可得，ZBOF=AB'OF,

：.ZEOF=ZB'OE+ZB'OF^-ZAOB^l-x90°=45°.

22

...在正方形旋转过程中，/EOF的大小不变，是45°.

故选：D.

题型03关于原点对称的点

【典例1】

点P(-2,5)关于原点对称的点的坐标是()

A.P\(2,-5)B.P\(2,5)C.Pi(-2,-5)D.Pi(5,-2)

【解答】解：点尸(-2,5)关于原点对称的点的坐标是(2,-5).

故选：A.

【典例2】

在平面直角坐标系中，点(〃+5,4)关于原点的对称点为(-3,-b),则必的值为()

A.8B.-8C.32D.-32

【解答】解：•：点(。+5,4)关于原点的对称点为(-3,-b),

.•.a+5=3,b=4,

••a-2,

ab=(-2)X4=-8.

故选：B.

【典例3】

已知在平面直角坐标系中，点/("7-3,1-7”)关于坐标原点对称的点位于第一象限，则加的取值范围

是()

A.m>-1B.m<\C.1<777<3D.m<3

【解答】解：:•点/(m-3,1-m)关于坐标原点对称的点位于第一象限，

...点4在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，

.(m-3<0

解得：

故选：C.

【典例4】

若点P(m,1)关于原点的对称点。(-2,n),那么％+〃=.

【解答】解：；点尸Cm,1)关于原点的对称点是。(-2,〃)

••YYI~~2,n~1,

m+n—2-1=1.

故答案为：1.

【典例5】

已知：点/(a+b,3a-b)与点8(-2,6)关于原点对称.

(1)分别求a,b的值；

(2)求点/关于x轴的对称点的坐标;

（3）求点3关于y轴的对称点的坐标.

【解答】解：（1）:点/（a+b,3a-b）与点、B（-2,6）关于原点对称,

.[a+b=2

13a-b=-6

解得卜7,

lb=3

.'.a=-1,b=3；

（2）由（1）得，点4的坐标为（2,-6）,

...点/关于x轴的对称点的坐标（2,6）；

（3）点3关于y轴的对称点的坐标为（-2,-6）.

题型04几何变换类型

【典例1】

点（4,3）经过某种图形变换后得到点3（4,-3）,这种图形变换可以是（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90°D.绕原点顺时针旋转90°

【解答】解：：点（4,3）关于x轴对称点的坐标为（4,-3）,

...点（4,3）经过某种图形变换后得到点8（4,-3）,这种图形变换可以是关于x轴对称,

故选：A.

【典例2】

观察图，依次几何变换顺序正确的是（）

A.轴对称、旋转、平移B.旋转、轴对称、平移

C.轴对称、平移、旋转D.平移、轴对称、旋转

【解答】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转,

故选：C.

【典例3】

已知，在平面直角坐标系中，M（2,2）,规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变

换.那么连续经过2022次这种变换后，点M的坐标变为（）

A.(-2018,-2)B.(-2020,2)C.(-2019,2)D.(-2021,-2)

【解答】解：由题可得，第2022次变换后的点M在x轴上方，

...点〃■的纵坐标为2,横坐标为2-2022X1=-2020,

...点M的坐标变为（-2020,2）,

故选：B.

【典例4】

在平面直角坐标系中，点尸（x,y）经过某种变换后得到点P（-y+1,x+2）,我们把点尸（-y+1,x+2）

叫做点尸（X,了）的终结点，已知点尸1的终结点为P2,点尸2的终结点为「3，点尸3的终结点为「4,这

样由尸1依次得到P2,尸3,尸4…“-pn,若点尸1的坐标为（2,0）,则点尸2023的坐标为（）

A.（2,0）B.（-2,-1）C.（-3,3）D.（1,4）

【解答】解：根据题意得点P的坐标为（2,0）,则点尸2的坐标为（1,4）,点尸3的坐标为（-3,3）,

点尸4的坐标为（-2,-1）,点尸5的坐标为（2,0）,­••,

而2023=4X505+3,

所以点尸2023的坐标与点尸3的坐标相同，为（-3,3）.

故选：C.

强化训练

1.下列选项中的图形是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的为（)

【解答】解：A.不是中心对称图形，故N选项不符合题意;

B.不是中心对称图形，故8选项不符合题意；

C.是中心对称图形，故C选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故。选项不符合题意；

故选：C.

2.最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，

结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是（）•宝

，..41•与，

A.、■B.0C.，D.、・

【解答】解：/、不是中心对称图形，故此选不符合题意；

2、不是中心对称图形，故此选不符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选不符合题意；

。、是中心对称图形，故此选符合题意.

故选：D.

3.如图，点。为矩形/BCD的对称中心，点E从点/出发沿向点8运动，移动到点2停止，延长

交CD于点F,则四边形AECF形状不可能是（）

C.正方形D.矩形

【解答】解：如图，连接NC,则NC过点。,

:四边形是矩形,

：.AB//CD,

：.ZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC,OA=OC,

：./\AOE^/\COF（AAS）,

：.OE=OF,

又；04=0C,

，四边形AECF一定是平行四边形，

在点E移动的过程中，移动存在NC，所的时候，此时四边形/EC歹是菱形，

当点E移动到点3时，四边形/ECF即变为四边形/8C。，此时是矩形，

在移动的过程中，不存在/C,所且/。=所的情况，因此不可能是正方形，

故选：C.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△4BC经过中心对称变换得到△/'B'C,那么对称中心的坐标为

（）

【解答】解：由图可知，点”与点4关于（-1,0）对称，点2与点9关于（-1,0）对称，点C与点

C关于（-1,0）对称，

所以△NBC与B'C关于点（-1,0）成中心对称，

故选：B.

5.如图，△/8C中，ZABC=9Q°,ZCAB=60°,AC=4.作出关于点/成中心对称的△/夕。，

其中点2对应点为8,点C对应点为。，则四边形C8C2的面积是（

c

C.64D.3273

【解答】解：如图所示,

△/5C中，

VZABC=90°,ZCAB=60°,AC=4.

ZABC=30°,AB=2AC=8,

，BC=4近，

:作出△NBC关于点/成中心对称的△/9。，连接夕C,BC,

:.AB=AB',AC=AC,

...四边形CB'CB是平行四边形，

...四边形CB'CB的面积为BCxCC'=4V3X8=3273-

故选：D.

6.如图，菱形48CD的对角线/C、BD交于点、O,AC=4,57）=16,将△3OC绕着点。旋转180°得到

△3,O'C,则点/与点中之间的距离为（）

O'

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：•.•菱形/BCD的对角线/C、8。交于点。，AC=4,BD=16,

：.ACVBD,

：.ZBOC=90°,

•.•△80C绕着点C旋转180°得到O'C,

：.ZCO'B'=Z5OC=90°,

：.O'C=OC=OA=^AC=2,

2

：.AO'=6,

,：0B=0D=0'B'=工5。=8,

2

在RtZ\/O'B'中，根据勾股定理，得

AB'=VAO/24OZBZ2=10-

则点/与点次之间的距离为10.

故选：C.

7.如图，在平面直角坐标系中，矩形。42c的顶点/和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，。/=6.OC

=8.若直线y=2x+6把矩形面积两等分，则6的值等于()

【解答】解：；04=6.。。=8,

：.A(0,6),C(8,0),

中点的坐标为(4,3),

把(4,3)代入y=2x+b得，

2X4+6=3,

解得b=-5.

故选：D.

8.在如图所示的平面直角坐标系中，△。小小是边长为4的等边三角形，作毋1与△O//1关于点药

成中心对称，再作△比恁阴与45源2团关于点历成中心对称，如此作下去，贝必比"2/1历叶1.(〃是正

整数)的顶点42/1的坐标是()

A.(8n+2,2V3)B.(8n-2,273)C.(4n+l,V3)D.(4n-l,73)

【解答】解：根据题意，4、出、4、•••、/2〃+1在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形

的高，即它们的纵坐标为4义近=2«,

2

二点出的横坐标为2,

点血的横坐标为4+2,

点出的横坐标为4X2+2,

点4的横坐标为4X3+2,

所以点出〃+1的横坐标为4X（2«+1-1）+2,即8〃+2,

即点幺2"+1的坐标是（8”+2,2丁5）.

故选：A.

9.图1和图2中所有的小正方形都全等，若将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原

来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则应该放到的这个位置的序号是.

图1图2

【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形.

故答案为：③.

10.已知点尸（a+36,3）与。（-5,a+2b）关于原点对称，贝!Ja+b=

【解答】解：••,点尸（a+3b,3）与点。（-5,a+2b）关于x轴对称，

.（a+3b=5

"U+2b=-3，

解得：［a=-19,

lb=8

a+b=-11.

故答案为：-11.

11.如图，坐标平面内的两个三角形是由一个经过某种变换得到另一个的，点尸、。是一对对应点，已知点

P（冽，2）是第二象限内，阴影三角形内部的一个点.则点。的坐标为（可用含加的式

子表示）.

y八

A'(2,-3),B'(1,-1),C'(4,-2),

：.AA'B'C'是A/BC先向右平移5单位长度，再向下平移4个单位长度，

;点尸(加，2)时内部的一个点，且点尸、。是一对对应点，

Q(加+5,-2).

故答案为：(正+5,-2).

12.如图，平行四边形48CD中，45=2,BC=3,48=60°,点P在上，且/尸=2,若直线/经过点

P,将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点。，则线段尸0的长度为.

【解答】解：连接/C,BD交于O,过C作CALL/。于M,如图:

•.•四边形/BC是平行四边形，

:.AB=CD=2,AD=BC=3,

：尸0将平行四边形的面积平分，

在尸0上，

由平行四边形的中心对称性可知CQ=AP=2,

：.DP=BQ=\,

VZMDC=ZABC=60°,

AZAfCD=30",

DM=—CD=1,CM=y[3DM=A/3>

：.DM=DP,

：.M,尸重合，

:.CP=M，/PCQ=/DPC=90°,

•••尸。=VCP2K：Q2=V(V3)2+22=市'

故答案为：VV-

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形。48。的顶点/、C分别在x轴与y轴上，点2的坐标为(°,

b).

(1)当Q=6,6=3时，若一次函数歹=履+4的图象平分矩形CUBC面积，求左的值；

(2)若尸为矩形O/8C内部一点，且△尸CU的面积与△尸。。的面积相等，求证：点P在上.

0Ax

【解答】解：(1)如图所示，连接ZC,OB,交于点。,则点。为矩形45co的对称中心,

・・•一次函数》=履+4的图象平分矩形O45C面积，

・••一次函数歹="+4的图象经过点Q,

•••点5的坐标为(%b),

・••当a=6,b=3时，B(6,3),

：.Q(3,1.5),

把(3,1.5)代入y=Ax+4,可得1.5=3左+4,

解得k=莒；

6

(2)设尸(加，n),则点尸到x轴的距离为m至!Jy轴的距离为冽,

二点3的坐标为(a,b),