2025高考数学一轮复习讲义-概率、统计与其他知识的交汇问题

§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题

【重点解读】有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破

定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、

函数、导数结合，成为创新问题.

题型一概率、统计与数列的综合问题

例1(12分)(2023.新高考全国I)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中

则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率

均为0.6，乙每次投篮的命中率均为08由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、

乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；［切入点：R+i与p,之间的关系］

(3)已知：若随机变量X服从两点分布，且P(X,=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,n，则£(£%

i=1

i)=£*记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为丫，求£(冷.［关键点：利用给

Z=1

出的公式推出E(Y)=tpi］

Z=1

［思路分析］

(1)利用全概率公式

(2)寻求p,+i与“•之间的关系，构造等比数列

(3)根据结论及等比数列的求和公式求解

答题模板

解(1)记“第，•次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件田，(1分)

、\(&)=尸(4&)+尸(81星)

所以=P(4)PCB2|A1)+P(81)尸(8213)

①处写出P（民）的概率计算公式

=0.5X（1-0.6）+0.5X0.8=0.6.（3分）

⑵设尸(4)=Pi,依题可知，P(B»=1—Pi,

P(A,+1)=P(A,A,+i)+P(B,Ai+i)

则(5分)

=P(4)P(Ai+i|A)+P(3)P(4+i|3),

②处写出尸(A+i)的概率计算公式

Pi+1=0.6“+(1—0.8)X(1—p^)

即

=0珈+0.2,

③处写出Q+1与P的关系

,,21

构造等比数列{pi+A},设p»+1+2=53+2)，解得4=-

则P/+i-|=|^—(7分)

④处构造出等比数列

111

又pi=5,PL'=不

所以，PL,是首项为/公比为|的等比数列，

即PL；[x]|卜P尸.义(1)门+)(9分)

⑤处计算出pi

⑶因为pi=〃X(|')Li+；,i=l,2,…，n,

⑥处利用题干结论计算E(K)

故E(r)=露1—(|)]+生(12分)

跟踪训练1(2023.日照模拟)在卡塔尔举办的世界杯决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获

得冠军.

QFIFZAWORWLDCUP

（i）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个

方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使

2

方向判断正确也有§的可能性扑不到球.不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三

次扑到点球的个数X的分布列和期望；

思维升华高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、

统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前w项和，解题时要准确把握题

中所涉及的事件，明确其所属的事件类型.

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，

球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传

向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在

甲脚下的概率为P”，易知Pi=1,度=0.

①证明：-，为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较pio与00的大小.

题型二概率、统计与导数的综合问题

例2（2023.沈阳模拟）根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X（单位：mm）服从

正态分布NQi,心,并把钢管内径在山-。，〃+日内的产品称为一等品，钢管内径在6+。，〃

+2田内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收.现

从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图.

⑴通过检测得样本数据的标准差s=0.3,用样本平均数x作为〃的近似值，用样本标准差s

作为。的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率Pi；(同一组中的数据用

该组区间的中点值代表)

(2)假如企业包装时要求把2个一等品和“("22,“CN)个二等品装在同一个箱子中，质检员

从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A,否

则该箱产品记为B.

①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为加),求当n为何值时，加)取得最大值，并求

出最大值.

参考数据:36.2X0.2+36.4X0.25+36.6X0.7+36.8X0.8+37X1.1+37.2X0.8+37.4X0.65+

37.6X0.4+37.8X0.1^185.

跟踪训练2学习强国中有两项竞赛答题活动,一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”.活

动规则如下：一天内参加“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得

1分；一天内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜

得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为:；参加

“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为P,g.李明周一到周五

每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响.

（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和期望；

⑵设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为

加）.求当p为何值时，加）取得最大值.

§10.8概率、统计与其他知识的交汇问题答案

跟踪训练1（1）解方法一X的所有可能取值为0,1,2,3,

在一次扑球中，扑到点球的概率为

Dv-v-v2

F-3X3X3X3-9,

所以P（X=0）=4（胡=729，

尸（x=l）=C3-1x卷2=3，

尸（X=2）=C4a2xg=243，

P（X=3）=©劣?=729,

所以X的分布列为

X0123

5126481

P

729243243729

E⑶=浅义°+黑X1+击X2+&X3=|fU.

方法二依题意可得门将每次可以扑到点球的概率为p=gxg=/,

门将在前三次扑到点球的个数X的所有可能取值为0,1,2,3,易知X〜2(3,

所以尸(X=左)=C§(J《e)3f,

%=0,1,2,3,

故X的分布列为

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E(X)=3x1=|.

⑵①证明第〃次传球之前球在甲脚下的概率为pn,

则当〃三2时，第n-l次传球之前球在甲脚下的概率为p,-i,

第n-l次传球之前球不在甲脚下的概率为—pi

则Pn=Pn-lX0+(l—pn-l)x|=—^pn-l+y

iirn

即mPn~3=_2vn-1-3?)

力12

又。「十子

所以，P“一1J是以|为首项，―3为公比的等比数列.

②解由①可知

“=1H)G+W,

所以21。=|*(一习9+聂，

所以00=/1—。10)

故pio<qio♦

例2解(1)由题意，估计从该企业生产的产品中随机抽取1000件钢管内径的平均数为x

^185X0.2=37,

所以〃=37,cr=s=0.3,

则〃一G=37—0.3=36.7,//+c=37+0.3=37.3,//+2(7=37+0.6=37.6,

则一等品内径在口一。，〃+司内，即在［36.7,37.3］内，

二等品内径在加+(7,〃+2c］内，即在［37.3,37.6］内，

所以该企业生产的产品为正品的概率为Pi=P(36.7WXW37.6)=(0.8+l.l+0.8+0.65)X0.2+

0.4X0.1=0.71.

⑵①从〃+2件正品中任选2个，有品+2种选法，其中等级相同的有(叱+G)种选法，

所以某箱产品抽检被记为B的概率为P=-W=L老盘=”谭不

②由题意，一箱产品抽检被记为8的概率为p,

则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为%)=C%3(1—p)2=1003(l—2。+02)=10。3—2p4+p5),

234222

f(p)=10(3^-8p+5p)=10p(3-8P+5p)=10p(p-1)(5p-3),所以当pG(0,时，

f'3)>0,函数加)单调递增，当pG(!\1)时，，(p)<o,函数加)单调递减，

3

所以当2=5时，加)取得最大值为

局=c?x(|)3x(l—1)2喏

,i54n3

此时，P~n2+3n+2~5'

2

解得"=3或"=］(舍去)，

所以当71=3时，加)取得最大值|||.

跟踪训练2解(1)X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10,

P(X=5)=©)5=*，

P(X=6)=CU(|)X(|}=^,

P(X=7)=Cixg)xg)=^=^,

P(X=8)=C1X@3X弓)2=患=亲，

尸(X=9)=CWXQ}XG)=9,

P(X=10)=C?X&=击.

所以X的分布列为

X5678910

155551

P