人教版九年级数学上册专项复习：圆的证明综合（解析版）

专题24.3圆的证明综合

【例题精讲】

【例1】如图，四边形ABCD为菱形，以题为直径作。交至于点尸，连接交CO于

点、H,E是BC上的一点，且BE=BF,连接DE.

（1）求证：DE是O的切线.

⑵若BF=2,DH=逐,求_O的半径.

【解答】（1）证明：如图1,连接DF,

四边形ABCD为菱形，

:.AB=BC^CD=DA,AD!IBC,ZDAB=ZC,

图1

BF=BE,

:.AB—BF=BC—BE，

即AF=CE,

ADAF=ADCE(SAS),

:.ZDFA=ZDEC,

AD是。的直径，

:.ZDFA=90°,

.-.ZDEC=90°

AD!IBC,

:.ZADE=ZDEC=90°,

:.ODVDE,

OD是。的半径，

:.DE是。的切线；

(2)解：如图2,连接

AD是.O的直径，

.-.ZAHD=ZDFA=90°,

.-.ZDFB=90°,

AD=AB,DH=5

DB=2DH=2行，

在RtAADF和RtABDF中，

DF2^AD2-AF2,DF2=BDr-BF2,

:.AEr-AF2=DB2-BF2,

AD2-(AD-BF)2=DB2-BF2,

AD2-(AD-2)2=(262-22,

:.AD=5.

o的半径为9.

2

【例2】如图，已知P是。外一点，PO交P于点C,OC=CP=4,弦ABLOC,劣

弧AB的度数为120°,连接

(1)求8c的长；

(2)求证：PB是。的切线.

A

【解答】（1）解：连接05,

弦AB_LOC,劣弧AB的度数为120。，

.•.弧5。与弧AC的度数为：60°,

...ZBOC=60。，

OB=OC,

AOBC是等边三角形,

,-.BC=OC=4；

(2)证明：OC=CP,BC=OC,

.・.BC=CP,

:.ZCBP=ZCPBf

△OBC是等边三角形，

..ZOBC=ZOCB=60°,

/.ZCBP=30°,

Z.OBP=ZCBP+ZOBC=90°,

.\OB.LBP,

,点6在,：。上，

..PB是。的切线.

【题组训练】

1.如图，PA为。的切线，A为切点，过点A作AB_LOP,垂足为点C,交。于点3,

延长30与上4的延长线交于点。.

(1)求证：PB是一O的切线；

(2)若03=3,OD=5,求。尸的长.

AB±OP,OB=OA,

:.Z£OP=ZAOP,

是。的切线，

:.ZOAP=90°,

在AOB尸与AOAP中，

OB=OA

-ZBOP=ZAOP,

OP=OP

:.AOBP=AOAP(SAS),

ZOBP=ZOAP=90°,

:.OB±PB,

03是半径，

:.PB是。的切线；

⑵解：8=5,04=03=3,

在RtAAOD中，AD=-JOD2-OA2=4,

PA.PB为O的切线,

:.PA=PB,

在RtADBP中，PD2=PB2+BD2,即（PB+4）2=PB~+82,

:.PB=6,

在RtAOBP中，0P=ylOB2+PB2=^62+32=34.

2.如图，在。中，他是。的直径，CD是一O的弦，CD±AB,垂足为P.过点。作

O的切线与钻的延长线交于点E.若N54c=35。，求NE的度数.

【解答】解：连接OD,AC,

AB±CD,AS是1O的直径,

/.BD=BC,

.•.ZBCD=NBAC=35。,

ZEOD=2ZDCB=70°,

DE是O的切线，

.〔NODE=90。，

.-.ZE=90°-70°=20°,

故NE的度数为70。.

6.如图，鹿是O的直径，点A和点。是一。上的两点，过点A作。的切线交防延长

线于点C.

(1)若ZADE=25。,求/C的度数；

(2)若AB=AC,CE=2,求。半径的长.

A

【解答】解：（1）连接Q4,

AC是。的切线，。4是（O的半径,

.\OA±AC,

.\ZOAC=90°,

AE=AE,ZADE=25°,

ZAOE=2ZADE=50°,

ZC=900-ZAOE=90°-50°=40°；

(2)AB=AC,

:.ZB=NC,

AE=AE,

:.ZAOC=2ZB,

.\ZAOC=2ZC,

ZOAC=90°f

/.ZAOC+ZC=90°,

/.3ZC=90°,

/.ZC=30°,

:.OA=-OC,

2

设：O的半径为r,

CE=2,

1/

r——(r+2),

解得：丫=2,

。的半径为2.

7.如图，AB是O的直径，点。在AB的延长线上，。、E是。上的两点，CE=CB,

ZBCD=NCAE,延长AE交的延长线于点尸.

(1)求证：CD是O的切线；

AB是。的直径，

..ZACB=90°,

ZCAD-^-ZABC=90°,

CE=CB,

.\ZCAE=ZCAB,

ZBCD=ZCAE,

:.Z.CAB=ZBCD,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

:./OCB+ZBCD=90。,

.•.NOCD=90。，

二.CD是.O的切线；

(2)ZBAC=ZCAE,ZACB=ZACF=90°,AC=AC,

:.AABC=AAFC(ASA),

...CB=CF,

又・CB=CE,

10.如图，在AA5c中，ZC=90°,NABC的平分线屏;交AC于点E,过点E作直线

3E的垂线交AB于点尸，。是ABER的外接圆.

(1)求证：AC是；。的切线；

(2)过点E作瓦/_LAB于点〃，求证：EF平分ZAEH；

(3)求证：CD=HF.

【解答】（1）证明：如图，连接OE.

BE±EF,:.NBEF=90。,

.•.3-是圆。的直径，

OB=OE,

:.ZOBE=ZOEBf

BE平分ZABC,

:.ZCBE=ZOBE,

,\ZOEB=ZCBE,

:.OE//BC,

ZAEO=ZC=90°,

是。的切线；

(2)证明：ZC=ZBHE=90°,ZEBC=NEBA,

:.BEC=ZBEH,

BF是。是直径，

,\ZBEF=90°,

ZFEH+ZBEH=90°,ZAEF+ZBEC=90°,

:,ZFEH=ZFEA,

:.FE平分ZAEH.

(3)证明：如图，连接DE.

fiE是NAB。的平分线，EC上BC于C,EHLAB于H,

:.EC=EH.

NCDE+ZBDE=180。,ZHFE+ZBDEW80。,

:.ZCDE=ZHFE,

ZC=ZEHF=90°,

ACDE=AHFE(AAS),

:.CD=HF,

11.如图，AB是。的直径，过点8作O的切线弦,CDIIBM,交AB于点方，且

DA=DC,连接AC,AD,延长4)交浏/于点石.

(1)求证：AACD是等边三角形；

(2)连接OE,若DE=2,求O石的长.

【解答】（1）证明：AB是；。的直径，3M是。的切线,

:.ABLBE,

CD//BE,

,\CD±AB,

AD=AC9

DA=DC,

AD=AC=CD,

...AD=AC=CD,

AACD是等边三角形;

(2)解：连接O石，过O作ON_LAD于N,由(1)知，AACD是等边三角形,

/.ZZMC=60°

AD=AC,CDLAB,

:.ZDAB=30°,

:.BE=-AE,ON=-AO,

22

设1O的半径为：r,

:.ON=-r,AN=DN=-r,

22

•G技+2

..EN—2Hv,BE——AE-----------,

222

在RtANEO与&ABEO中，

OE2=ON2+NE°=OB2+BE2,

即(，2+(2+孚了=/+(V3r+2)s

:.r=,

OE2=（回+25=28,

OE=2-/7.

12.如图，在A4BC中，AB=AC,以AB为直径的O交BC于点。，过点。作的切

线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交＜O于点F.

(1)求证：DE±AC；

(2)若。E+E4=8,。的半径为10,求AF的长度.

【解答】(1)证明：OB=OD,

:.ZABC=AODB.

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

:.NODB=ZACB,

:.OD//AC.

DE是。的切线，OZ）是半径,

:.DE±OD,

:.DE±AC；

(2)如图，过点。作于点4,则NODE=NDEH=NOHE=90。,

四边形ODE"是矩形，

:.OD=EH,OH=DE.

设AH=x.

DE+AE=8,00=10,

AE=10—x>OH=DE=8—(10—x)=x—2.

在RtAAOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=O^,即％?+(]-2)2=1()2,

解得力=8,X2=-6（不合题意，舍去）.

.\AH=8.

OHLAF,

:.AH^FH=-AF,

2

13.如图，AABC内接于c。，AB=AC,AD是。的直径，交BC于点、E,过点。作

DF//BC,交AB的延长线于点歹，连接班）.

（1）求证：DF是_O的切线；

（2）已知AC=12,AF=15,求DF的长.

【解答】（1）证明：是:。的直径,

:.ZABD^90°,

即NABC+NCB£>=90°,

AB=AC,

,\ZABC=ZC,

ZADB=NC,

:.ZABC=ZADB.

BC/IDF,

.\ZCBD=ZFDB,

ZADB+ZFDB=90。,

即NAT4二90。，

.\AD±DF,

又-OD是:O的半径，

.，DF是O的切线；

(2)解：AB=AC=12fAF=15,

:.BF=AF-AB=3,

ZF=ZF，NFBD=NFDA=90。,

..AFBD^AFDA,

:.BF:DF=DF:AF,

:.DF2=BFxAF=3x15=45,

:.DF=445=3y/5.

14.如图，AABC内接于O,NB=60。，CD是O的直径，点尸是CD延长线上的一点,

且AP=AC.

(1)求证：Q4是_。的切线；

(2)若A5=4+J5,3C=2百，求O的半径.

【解答】(1)证明：连接Q4.

ZB=60°,

.\ZAOC=2ZB=120°,

又-OA=OC,

ZOAC=ZOCA^30°,

又・AP=AC,

;.NP=NACP=30。，

:.ZOAP=ZAOC-ZP=90°,

:.OA±PA,

，上4是,。的切线；

(2)解：过点C作CE_LAB于点E.

在RtABCE中，ZB=60°,BC=26,

:.BE=-BC=y/3,CE=3,

2

AB=4+A/3,

:.AE=AB-BE=4,

.•.在RtAACE中，AC=-jAE2+CE2=5,

AP=AC=5.

.,.在RtAPAO中，0A=—,

3

的半径为岁.

15.如图，A5是」O的直径，点尸，C是」O上两点，且4尸=尸。=。8,连接AC,AF,

过点C作。。，4厂交针延长线于点£>,垂足为。.

(1)求证：CD是。的切线；

(2)若CD=2也,求O的半径.

D

c

飞OD

【解答】（1）证明：连接oc,如图，

FC=BC,

:.ZFAC=ZBAC,

OA=OC,

.\ZOAC=ZOCAf

.\ZFAC=ZOCA,

.'.OC//AF,

CDLAF,

:.OC±CD,

「.CD是O的切线；

（2）解：连接3C,如图，

AB为直径，

/.ZACS=90°,

AF=FC=CB,

.•.ZBOC=-xl80°=60°,

3

ABAC=30°,

ZZMC=30。，

在RtAADC中，8=2百，

/.AC=2CD=46,

在RtAACB中，BC=—AC=—X4A/3=4,

33

/.AB=2BC=8，

.•.?o的半径为4.

D.

16.如图，RtAABC中，ZABC=9Q°,以Afi为直径作半圆：O交AC与点、D,点、E为BC

的中点，连接DE.

（1）求证：DE是半圆.O的切线.

（2）若NBAC=30。，DE=2,求AD的长.

【解答】（1）证明：连接OD,OE,BD,

AB为圆。的直径，

:.ZADB=NBDC=90。,

在RtABDC中，E为斜边2C的中点，

/.DE=BE,

在AQ56和AOD石中，

OB=0D

<0E=0E,

BE=DE

:.\OBE=\ODE{SSS),

ZODE=ZABC=90°,

则DE为圆。的切线；

(2)在RtAABC中，440=30。，

2

BC=2DE=4,

/.AC=8,

又-ZC=60°,DE=CE,

.•.ADEC为等边三角形，即OC=DE=2,

贝AT>=AC—OC=6.

17.如图，在AABC中，。是边3c上一点，以BD为直径的,O经过点A,且NC4£>=NABC.

(1)请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；

(2)若CD=2,04=4,求弦AB的长.

【解答】解：(1)直线人(？是<。的切线,

理由如下：如图，连接。4,

BD为的直径，

ABAD=90°=Z.OAB+AOAD,

OA=OB,

:.ZOAB=ZABC,

又：ZCAD=ZABC,

:.ZOAB=ZCAD=ZABC,

ZOAD+ZCAD=90°=ZOAC,

:.ACrOA,

又，Q4是半径，

,直线AC是。的切线；

(2)方法一、过点A作于E,

OC2=AC2+AO2,

二.(OA+2>=16+042,

.'.OA=3,

OC=5iBC—8,

SZ.AnCAz/lCr=2-xOAxAC=-2xOCxAE,

:.AACD^ABCA,

.CDACAD

,AC-BC-

•2_4A。

4-BC-BA'

.\BC=8,AB=2AD,

BD=6,

AB^AD^BD2,

:.5AD2=36,

2AD=^-

AB=

5

18.如图，在AASC中，AB=AC,AD_L3C于点。，E是至上一点，以CE为直径的O

交BC于点F,连接OO,S.ZDOC=90°.

(1)求证：钙是,。的切线；

(2)若DF=2,DC=6,求BE的长.

A

【解答】(1)证明：AB=AC,AD±BC,

..CD=DB,又CO=OE,

:.OD//BE,

:.ZCEB=ZDOC=90°,

:.CE±AB,

二.AB是。的切线；

(2)解：连接EF、ED,

BD=CD=6,

.\BF=BD-DF=4,

CO=OE,ZDOC=90°,

DE=DC=6,

CE为。的直径，

:.ZEFC=90°,

EF=y/DE2-DF2=4近，

BE=^BF2+EF2=473.

20.如图，AB是.O的直径，点P在上，5.PA^PB,点M是。外一点，MB与.O

相切于点3,连接31,过点A作AC//OM交।O于点C,连接3c交于点。.

(1)求证：OD=-AC；

2

(2)求证：是。的切线；

(3)若05=",BC=12,连接尸C,求PC的长.

【解答】(1)证明：AB是1O的直径,

ZAC6=90°,

又・AC//OM,

ZBDO=ZACB=90°f

:.OD,LBC,

二。为的中点，O为AB的中点，

「.OD为AABC的中位线，

:.OD=-AC；

2

(2)证明：如图所示：连接OC,

AC//OM,

:.ZOAC=ZBOM,ZACO=ZCOM,

OA=OC,

.\ZOAC=ZACO,

,\ZBOM=ZCOM,

在AOCM与AOBM中，

OC=OB

</COM=ZBOM,

OM=OM

KOCM=AOBM(SAS),

又・MS是(。的切线，

ZOCM=ZOBM=90°,

又-OC是半径，

是二。的切线;

(3)解：是《。的直径,

\ZACB=ZAPB=90°,

。喈

\AB=15,

..PA=PB=^^,

2

BC=12,

..AC=9,

过点A作AH_LP。于点”,

AC=2OD=9,ZACH=ZABP=45°,

—呼PH=siPA2-AH2=一（半了=6A/2,

:.PC=PH+CH*

21.如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，点。在3c边上,£＞经过点A和点3

且与8C边相交于点E.

(1)求证：AC是。的切线;

(2)若CE=2道,求。的半径.

AB=AC,ZBAC=120°,

.-.ZB=ZC=30°,

AD=BD,

.\ZBAD=ZB=30°f

ZADC=6Q0,

.-.ZZMC=180°-60°-30°=90°,

二.AC是。的切线；

(2)解：连接AE,

AD=DE,ZADE=60°,

「.AADE是等边三角形，

:.AE=DE,ZAED=6Q°,

.\ZEAC=ZAED-ZC=30°f

:.ZEAC=ZC,

AE=CE=2。

。的半径人。=2代.

22.如图，AB为_O的直径，。为二。上一点，弦铉的延长线与过点。的切线互相垂直,

垂足为。，NC4Z）=35。，连接5C.

（1）求NB的度数;

(2)若AB=2,求EC的长.

【解答】解：(1)连接OC,如图，

CD是的切线，

s.OCrCD,

AE.LCD,

:.OC//AE,

:.ZCAD=ZOCA,

OA=OC,

:.ZOCA=ZOAC,

ZCAD=ZOAC=35°f

AB为O的直径，

:.ZACB=9Q0,

/.ZO4C+ZB=90°,

...ZB=900—NO4c=90。-35。=55。；

(2)连接OE,

O的直径AB=2,

.0=1,

CE=CE,

Z.COE=2ZCAE=2x35°=70°,

70417%

...EC的长为:

180

D

23.已知：如图，AABC中，AB=AC,以AB为直径的交5C于点P,PD_LAC于点

D.

(1)求证：PD是。的切线；

(2)若NC4B=120。，AB=6,求5C的值.

C

【解答】(1)证明：AB=AC,

:.ZB=NC,

OP=OB,

:.ZB=NOPB,

:.ZOPB=ZC,

:.OP//AC,

PD±AC,

,\OP±PD,

..PD是_。的切线；

(2)解：连接AP,如图，

AB为直径，

,.ZAPB=90°,

:.BP=CP,

ZCAB=120°,

:.ZBAP^60°,

在RtABAP中，AB=6,ZB=30°,

AP=-AB=3,

2

:.BP=6AP=3』,

BC=2.BP=6y/3.

24.如图，在AABC中，ZC=90°,NABC的平分线交AC于点E,过点E作M的垂线交

AB于点P,。是ABET的外接圆.

(1)求证：AC是匚。的切线.

(2)过点E作瓦/_LAB于点〃，求证：CD=HF.

【解答】证明：（1）如图1,连接OE.

BE±EF,

:.NBEF=9QP,

.•.3-是圆。的直径.

破平分NABC,

:.ZCBE=ZOBE,

OB=OE,

.-.ZOBE=ZOEB,

;.NOEB=NCBE,

:.OE//BC,

ZAEO=ZC^90°,

;.AC是；O的切线;

(2)如图2,连接DE.

-ACBE=ZOBE,EC上BC于C,EH_LAB于H,

:.EC=EH.

ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=1SQ°,

:.NCDE=NHFE.

在ACDE与AHFE中,

'NCDE=NHFE

<ZC=ZEHF=90°,

EC=EH

\CDE=AHFE(AAS),

;.CD=HF.

图2

图1

25.如图，钻是的直径，点C、。在_O上，且4)平分NC4B,过点。作AC的垂

线，与AC的延长线相交于E,与他的延长线相交于点P,G为Afi的下半圆弧的中点,

DG交AB于H,连接£>3、GB.

(1)证明跖是O的切线；

(2)求证：ZDGB=ZBDF；

(3)已知圆的半径火=5,BH=3,求GH的长.

OA=OD,

.\ZOAD=ZODA

又・AD平分々AC,

:.ZOAD=ZCAD

:.ZODA=ZCAD,

:.OD//AE,

又・EFA.AE,

.\OD±EF,

.•.£F是O的切线；

(2)AB是二。的直径，

:.ZADB=90°,

:.ZDAB-^-ZOBD=90°

由(1)得，EF是oO的切线,

:.ZODF=90°

.•.ZBDF+NODB=90。

OD=OB,

;.NODB=NOBD,

:.ZDAB=ZBDF,

又NDAB=NDGB

:.ZDGB=ZBDF

(3)连接OG,

G是半圆弧中点，

.-.ZBOG=90°

在RtAOGH中，OG=5,OH=OB—BH=5-3=2.

:.GH=^/OH2+OG2=V29.

26.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作，O,与AC、BC

分别交于点V、N,与AB的另一个交点为E.过点N作NFLAB,垂足为尸.

(1)求证：NF是i。的切线；

(2)若NF=2,DF=1,求弦即的长.

【解答】（1）证明：连接ON.如图所示:

一在RtAACB中，CD是边钻的中线，

/.CD—BD,

:.ZDCB=NB,

OC=ON,

:.ZONC=ZDCB,

:.ZONC=ZB,

:.ON//AB

NF±AB

,\ZNFB=90°

ZONF=ZNFB=90°,

.\ON±NF

又，NF过半径QV的外端

:.NF是。的切线；

(2)解：过点。作垂足为H,如图2所示:

设1O的半径为「

OHLED,NFLAB,ONINF,

ZOHD=ZNFH=ZONF=90°.

二.四边形ONFH为矩形.

:.HF=ON=Y,OH=NF=2,

:.HD=HF-DF=r-1,

在RtAOHD中，ZOHD=90°

:.OH2+HD2=OD2,

即22+(r-l)2=r2,

5

:.r=—.

2

3

:.HD=—,

2

OH工ED,且OH过圆心O,

:.HE=HD,

:.ED=2HD=3.

图1

28.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,点。在AC边上，以AD为直径作：O交AB于点

E,连接CE,且C