四川省雅安市2024年高考数学适应性考试试卷（三）

四川省雅安市天立高2024年高考数学适应性考试(三)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的。

1.已知集合/={%|-1<%<5],B={xEN\y-log^(x—2)},则AnB=()

A.{-1,234}B.{3,4}

C.{3,4,5}D.{2,3}

2.欧拉公式e沼=cos。+isin。把自然对数的底数e,虚数单位i,cos。和sin。联系在一起，充分体现

了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足(e讥+i)・z=l+i,则正确的是()

A.z的共辗复数为—iB.z的实部为1

C.z的虚部为iD.z的模为1

3.在(1+工)3+(1+%)4+(1+刈5的展开式中，含%2项的系数是()

A.16B.19C.21D.24

4.已知角a的终边经过点一：/^),则2cos2亨+sina=()

A5—画B.一4一5C5+J15D.牛

44•-4-

5.执行下面的程序框图，输出的s=()

(升蛤)

<@>—1

J

Tit-n>2|

25

AI】BC.1D

-12244-1

6.已知向量65=(1,0),痈=(1,1)，。为坐标原点，动点P(x,y)满足约束条件则

z=%-2y的最大值为()

A.—2B.2C.-3D.3

7.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学

生分配到4B,C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口.若甲、

乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有()

A.18种B.24种C.36种D.48种

1/9

8.a,p,Y为不同的平面，m,n,1为不同的直线，则m_Lp的一个充分条件是()

A.n1a,n1P，m1aB・aCly=7n,a_Ly,0_Ly

C.aly,/?_Ly,7nlaD.a1(^,aC\(^=l,m1I

9.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合，已知某类果蔬的保鲜时间y

(单位：小时)与储藏温度x(单位：。0满足函数关系：y=ea，+b(a,b为常数)，若该果蔬在7P

的保鲜时间为288小时，在21。(2的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程

中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过()

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

10.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正

方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为鱼，则该多面体外接球的表面积为()

11.设尸1，/2是双曲线C：鸟—"■=1(。>0,6〉0)的左、右焦点，。是坐标原点，点尸是C上异于实

L

ab乙

22

轴端点的任意一点，^\PF1\\PF2\-\OP\=2d-,则C的离心率为()

A.V3B.V2C.3D.2

12.已知函数/(%)及其导函数7''(>)的定义域均为R,且(工―2)[/(工)—/(>)]>0,/(4-x)=/(%)e4-2x,

则不等式e3f(lnx)<;cf(3)的解集是()

A.(0,e3)B.(1,e3)C.(e,e3)D.(e3,+oo)

二'填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横

线上。

13-已知f(久)=声高片为偶函数,则a=--------------

14.已知△ABC的三边长4B=4czn,BC=2cm,AC=3cm,则△ABC的面积为cm2.

15.已知两点M(-1,0)，N(L0)，若直线久—y+m=0上存在唯一点P满足丽・丽=0,则实数m

的值为.

16.已知尸为抛物线C:/=4y的焦点，过点尸的直线/与抛物线C相交于不同的两点/、B,若抛

物线C在/、8两点处的切线相交于点尸，则+磊的最小值为.

三'解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题每题12分，第22

题10分.

2/9

17.已知％为各项均为正数的数列｛册｝的前n项和，的C(0,2),成+3斯+2=6S%

(1)求的通项公式；

1

(2)设“=彳7一，数列｛0｝的前几项和为的，若对47n恒成立，求实数t的最大值.

18.某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的

决赛.决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不

答都得0分.已知1班的三名队员答对的概率分别为=、2、2班的三名队员答对的概率都是:,

每名队员回答正确与否相互之间没有影响.用£、。分别表示1班和2班的总得分.

(1)求随机变量E、。的数学期望F联力()；

(2)若f+7/=2,求2班比1班得分高的概率.

19.如图，在多面体4BCDEF中，四边形ABCD为菱形，平面FCD1平面4BCD,平面E4B1平面/BCD△

AEB,△CFD是等腰直角三角形，且=

(1)证明：平面ABF||平面CDE；

(2)若NB2DW务求平面与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围.

20.已知椭圆:餐=l(a〉b>0)的离心率为孚，其左右焦点分别为匕、F2,下顶点为4右顶

点为3,的面积为1+亨.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不过原点O的直线交C于〃、N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列，求△M0N

面积的取值范围.

21.设函数/(%)=eax+cos%,g(%)=sinx+2.

(1)试研究F(%)=—%+g(%)在区间(0,+8)上的极值点；

(2)当第之0时，/(%)>g。)，求实数a的取值范围.

22.在直角坐标系久Oy中，曲线C的参数方程为｛箕2署(戊为参数).以坐标原点为极点，久轴正

半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为psin(e+看)=-2.

3/9

(1)求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程；

(2)点4B分别为曲线C与直线/上的动点，求MB|的最小值.

4/9

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】A

U.【答案】D

12.【答案】C

13.【答案】|

14.【答案】也1

4

15.【答案】土V2

16.【答案】5

17•【答案】（1）解：当几=1时，由题设得出+3%+2=6%,即由一3%+2=0,又由6（0,2）,

解得％=1.

由成+3an+2=6s九知：+3a九+i+2=6Sn+1.

两式相减得:成+i-欣+3（册+i-an）=6册+i，即（册+i+册）（册+i-册-3）=0.

由于册>0,可得a九+i—an—3=0,即a九+i—an=3,

所以｛麻｝是首项为1,公差为3的等差数列，所以斯=1+3（几—1）二3九一2

11111

（2）解：由斯=3九一2得：既=石石匚=画二须标不=3（赤刀一布彳），

7，n=^i+&2+---+^n=1［（l-1）+（|-1）+---+（3^2-3^pi）］=3^1-

因为%一久=常备-品=（3计1）1（3/4）>°，所以〃+】>〃，则数列｛〃｝是递增数列，

所以tW4〃o"wTnO3<T1=/ot<1，故实数t的最大值是1

18.【答案】（1）解：依题意可得f的可能取值为0、1、2、3,

5/9

所以P(f=O)=(l-10)(l-f7)(l1-1)1=2^>

3213213211

Pn(/fr=c2)、=43x可2x(“1_21)、+，43x(”1—92)、*21+,(“1—43)、x可2x21=公11，

…c、3211

P(f=3)=炉可义2=4，

所以随机变量f的分布列为

0123

P11111

244244

1111122

所以E(f)=0x万+1X4+2X再+3x.=u

又2班的总得分77满足叶~则E8)=3X|=2.

(2)解:设*+7]=2”为事件4“2班比1班得分高”为事件B,

则P⑷=-^XCjx(1)2X(l-1)+^XC3x|x(l-1)2+|^xc|X(1-1)3

_59

=24x27'

1x2o21

PQ4B)=24C3X(JX(1-可)=天

所匚以P(B|4)=贽P(4万B)=514X-245x92-7=1592'

所以2班比1班得分高的概率为痣.

19.【答案】(1)证明：取4B,CD的中点M,N,连接ME,EN,NF,FM如图所示：

因为FNJ.DC,平面FCDJ■平面2BCD,平面PCDCI平面力BCD=CC,

所以FN1平面ZBCD同理，EM1平面4BCD

所以FN||ME.

又△/£18和4CFD是等腰直角三角形，

6/9

所以FN=ME,

四边形MENF为平行四边形，

所以MF||EN,

又因为||CD,ABCMF=M,CDCNE=N,

所以平面ABF||平面CDE

(2)解:如图，以4点为原点，力B所在直线为y轴，过4平行于ME的直线为久轴，在平面

2BCD内垂直于AB的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

设力B=2,/.BAD=0,0G(0,打

4(0,0,0),8(0,2,。)，C(0,2+2cos6,2sin。),D(0,2cosa2sin0),E(l,l,0).

所以荏=(1,1,0),XD=~BC=(0,2cosd,2siney~BE=(1,-1,。>设平面4汨的法向量为五1=

(%i，yi，zi),则

[一一荏•元】=%】+月=0'令的=1,得力=Tz]=驾,

vAD-几1=2cos9-yi+2sin。♦z】=0.sin^

所以元i=(L—1,畿).

设平面BCE的法向量为元2=(x2,y2,z2),贝ij

(砺•五2=%2-丫2=。，

(BC-五2—2cos8-y2+2sin6•z2=0.

令利=一1，得丫2=-1/2=嚼所以

/乙乙sinb

—>,qcos3、

n2=(-1,-1(^).

TT(cos0x2(cos0y2

后一九1.九2一(丽力1

所以皿2，取一硒一J2+需-小+(黯2-

设「=畿(。6(0,却，则

<_—S讥2j_cos2e__1

(sin。)2(sin@)2'

所以在(0为上单调递减，所以y察+8)

7/9

所以cos五1，元2=导筐=1一以第6

所以平面ADE与平面BCE所成锐二面角的取值范围是g,1)

20.【答案】(1)解：依题意e=£=堂=c=噂a，又a2=b2+c2=b2+^23b=%,

a224N

又S/kAB尸］=*(a+c)b=^(a+孚a)x^a=^-x(1+孚)=1+孚，所以次=4,b2=1,

所以椭圆C的方程为竽+y2=i.

(2)解：由题意可知，直线的斜率存在且不为0,故可设直线：y=kx+m,(m^0),如图所示:

设M(Xi，yi),N(%2，y2)，

X2—1

联立直线和椭圆彳y—,化简得(1+4k2)%2+8071K+4租2—4=0,

y=kx+m

由题意可知A=(8/cm)2—4(1+4/c2)(4m2—4)>0,即1+4/c2>m2,

22

且+x2=:=署会，则为丫2=(kxi+m)(kx2+m)=/CXI%2+kmg+x2)+m

胃科—痴普%+*=华拱，又直线。MMN,ON的斜率依次成等比数列。即注*=

l+4fc21+4/c21+4/c2X1久2

k2,则坐考==二钝2=1,

4mz-4

所以0<<2且租2。1,

设点O到直线MN的距离为d=-JM==/1,

Vl+fc2V5

222

\MN\=7(1+fc)[(Xi+x2)-4%I%2]=J(1+H)[(常^)2一4鲁：1力=X4(2-m)=

75(2-m2)»

所以S^MON=|MN|d=[j5(2一症)x3修=^2-m2\m\-y/m2-^-m2),

令t=加w(0,1)U(1,2),/(t)=t(2-t)=—t2+2t,显然/(t)=t(2-t)=—t2+2t在(0,1)上为增

函数，在(1,2)上为减函数，

所以/X。)=/(2)<f(t)即所S.N="(2—/)e(0,1),故△MON面积

的取值范围为(0,1)

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21.【答案】(1)解：函数F(%)=*/—%+sin%+2,求导得/(%)=:—1+cos%,

令zn(x)=+一1+cos久，求导得m'(x)=x-sinx,设卬(久)=x-sinx,则”(久)=1-cosx,

当x〉0时，/(x)=1-cos久N0,当且仅当％=k兀+今,keN时取等号，

则m'(x)=x—sin%在(0,+8)上单调递增，即有加(%)>m(0)=0,

于是函数小(%)在(0,+8)上单调递增，因此m(x)>巾(0)=0,所以F(x)在区间(0,+8)上没有极值点.

(2)解：由(1)知，当久之0,siwcWx,cos%之一号+1，贝巾夕+%+1>sinx—cos%+2，

设G(%)=e%-竽一%-1(%之0)，求导得G'(%)=e%-%-1,设几(%)=e%-%-1(%20),求导得

n'(x)=ex-1>0,则函数n(%)在［0,+8)上单调递增