高中数学 1.5.3定积分的概念课时作业 新人教A版选修2-2

1.5.3课时目标1.了解定积分的概念.2.了解定积分的几何意义和性质.3.会用定义求定积分．1．如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的__________，记作______________，即________________，区间[a，b]叫做______________，函数f(x)叫做______________．2．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)________且____________，那么定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的________．3．定积分的性质(1)ʃeq\o\al(b,a)kf(x)dx＝____________(k为常数)．(2)ʃeq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝________________.(3)ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝________________.一、选择题1．定积分ʃeq\o\al(1,0)xdx的值是()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．02．若函数f(x)的图象在[a，b]上是一条连续曲线，用n－1个等分点xi(i＝1,2，…，n－1)把[a，b]分成n个小区间，记x0＝a，xn＝b，每个小区间长度为Δx，任取ξi∈[xi－1，xi]，则ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx等于当n→＋∞时()A.eq\i\su(i＝1,n,f)(xi)所趋近的某个值B.eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)(b－a)所趋近的某个值C.eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx所趋近的某个值D.eq\i\su(i＝1,n,f)(xi)eq\f(Δx,n)所趋近的某个值3．定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关4．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0,2xx<0))，则ʃeq\o\al(1,－1)f(x)dx可化为()A．ʃeq\o\al(1,－1)x2dxB．ʃeq\o\al(1,－1)2xdxC．ʃeq\o\al(0,－1)x2dx＋ʃeq\o\al(1,0)2xdxD．ʃeq\o\al(0,－1)2xdx＋ʃeq\o\al(1,0)x2dx5．定积分ʃeq\o\al(1,－1)x3dx的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．06．lieq\o(m,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)))2…\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n)))2)可化为()A．ʃeq\o\al(2,1)ln2xdxB．2ʃeq\o\al(2,1)lnxdxC．2ʃeq\o\al(2,1)ln(1＋x)dxD．ʃeq\o\al(2,1)ln2(1＋x)dx题号123456答案二、填空题7．设变速直线运动物体的速度为v(t)，则在t1到t2这一时间段内，该物体经过的位移s＝________.8．如图，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝________.9．ʃeq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx＝____________.三、解答题10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)ʃeq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx；(2)ʃeq\o\al(2π,0)cosxdx.11．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．能力提升12．设a＝ʃeq\o\al(1,0)xeq\f(1,3)dx，b＝ʃeq\o\al(1,0)x2dx，c＝ʃeq\o\al(1,0)x3dx，则a，b，c的大小关系是()A．c>a>bB．a>b>cC．a＝b>cD．a>c>b13．利用定积分的几何意义，求ʃeq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinx·cosxdx，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0,3x－1x<0)).1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、近似代替、求和、取极限．2．利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．答案知识梳理1.eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dxʃeq\o\al(b,a)f(x)dx＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)积分区间被积函数2．连续恒有f(x)≥0面积3．(1)kʃeq\o\al(b,a)f(x)dx(2)ʃeq\o\al(b,a)f1(x)dx±ʃeq\o\al(b,a)f2(x)dx(3)ʃeq\o\al(c,a)f(x)dx＋ʃeq\o\al(b,c)f(x)dx(a<c<b)作业设计1．B[即计算由直线y＝x，x＝1及x轴所围成的三角形的面积．]2．C[f(ξi)Δx为第i个小曲边梯形的面积，和式f(ξ1)Δx＋f(ξ2)Δx＋…＋f(ξn)Δx表示x＝a，x＝b，y＝0及函数f(x)的图象所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n趋向于＋∞时，eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx所趋近的值就是曲边梯形的面积，即ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx，故选C.]3．A4．D[ʃeq\o\al(1,－1)f(x)dx＝ʃeq\o\al(0,－1)f(x)dx＋ʃeq\o\al(1,0)f(x)dx＝ʃeq\o\al(0,－1)2xdx＋ʃeq\o\al(1,0)x2dx.故选D.]5．D[画草图，f(x)＝x3的图象关于原点对称，在区间[－1,1]上，x轴上方f(x)所围面积与x轴下方f(x)所围面积相等，故由几何意义知ʃeq\o\al(1,－1)x3dx＝0.]6．B[lieq\o(m,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)))2…\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n)))2)＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,l)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))2＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))＝2ʃeq\o\al(2,1)lnxdx.]7．v(t)dt8．A1＋A3－A2解析利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．9.eq\f(2π,3)＋eq\r(3)解析由y＝eq\r(4－x2)可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．ʃeq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝|AB|·|BC|＝2eq\r(3)，∴ʃeq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx＝2eq\r(3)＋eq\f(2π,3)－eq\r(3)＝eq\f(2π,3)＋eq\r(3).10．解(1)由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的eq\f(1,4)部分．∴ʃeq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π·12＝eq\f(1,4)π.(2)由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，ʃeq\o\al(2π,0)cosxdx＝0.11．解将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)＝kx.将[0，b]n等分，记Δx＝eq\f(b,n)，分点依次为：x0＝0，x1＝eq\f(b,n)，x2＝eq\f(2b,n)，…，xn－1＝eq\f(n－1b,n)，xn＝b.当n很大时，在分段[xi，xi＋1]所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxi·Δx＝kxieq\f(b,n).则从0到b所做的总功W近似地等于eq\i\su(i＝0,n－1,Δ)Wi＝eq\i\su(i＝0,n－1,k)xi·Δx＝eq\i\su(i＝0,n－1,k)·eq\f(ib,n)·eq\f(b,n)＝eq\f(kb2,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(kb2,n2)eq\f(nn－1,2)＝eq\f(kb2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))).于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝0,n－1,Δ)Wi＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(kb2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(1,2)kb2.12．B13．解ʃeq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinxco