高中数学 1.1.1-1.2 归纳推理 类比推理课时作业 北师大版选修2-2

第一章推理与证明§1归纳与类比1．1归纳推理1．2类比推理课时目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理根据一类事物中________事物具有某种属性，推断该类事物中______________都有这种属性，我们把这种推理方式称为归纳推理．归纳推理是____________，由________________的推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断____________________________________，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是由________________的推理．一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为()A．28B．32C．332．设n是自然数，则eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数3．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，通过计算a2，a3，猜想an等于()A．nB．n2C．n3 D.eq\r(n＋3)－eq\r(n)4．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为()A．3B．－3C．65．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是()A.eq\f(a1＋a2＋…＋an,2)≥eq\r(a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)B.eq\f(a1＋a2＋…＋an,3)≥eq\r(3,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)C.eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai∈R，i＝1,2，…n)D.eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)6．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(8)＝3，对任意的正实数x1，x2，f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝2x B．f(x)＝2xC．f(x)＝log2x D．f(x)＝0二、填空题7．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为__________________________．8．设n≥2，n∈N，(2x＋eq\f(1,2))n－(3x＋eq\f(1,3))n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T4＝0，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，Tn，…，其中Tn＝________.9．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”；这个类比命题的真假性是__________．三、解答题10．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，试求f(n)．11.观察①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．能力提升12．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，用n表示出f(n)．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答案知识梳理1．部分每一个事物由部分到整体个别到一般2．另一类对象也具有类似的其他特征特殊到特殊作业设计1．B[∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x－20＝12，∴x＝32.]2．C[(1)当n为偶数时，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数．(2)当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．由①②知，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．]3．B[计算得a2＝4，a3＝9，∴猜想an＝n2.]4．A[由an＋2＝an＋1－an得：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－3.a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，6个数即为一个循环，所以a33＝a3＝3.]5．D[eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．]6．C[由于log28＝log223＝3，即满足f(8)＝3.log2(x1·x2)＝log2x1＋log2x2，即满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．]7．12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)8.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0n为偶数,\f(1,2n)－\f(1,3n)n为奇数))解析观察Tn表达式的特点可以看出T2＝0，T4＝0，……，∴当n为偶数时，Tn＝0；又∵T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，……，∴当n为奇数时，Tn＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n).9．夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题10．解∵f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n个圆相交，则增加2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n，亦即f(n＋1)－f(n)＝2n，又f(1)＝2，由递推公式得f(2)－f(1)＝2×1，f(3)－f(2)＝2×2，f(4)－f(3)＝2×3，……，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．将以上n－1个等式累加得f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2.11．解观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝eq\f(π,2)且α，β，γ都不为kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，得α＋β＝eq\f(π,2)－γ，所以tan(α＋β)＝eq\f(1,tanγ).又因为tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanα·tanβ)＝eq\f(1,tanγ)(1－tanα·tanβ)，所以tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanαtanβ＋tanγ(tanα＋tanβ)＝tanαtanβ＋tanγ·eq\f(1,tanγ)(1－tanαtanβ)＝1.综上所述，等式成立．12．962解析观察得：式子中所有项的系数和为1，∴m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝29＝512，∴n＝－4