2024年上海市中考数学一轮复习：勾股定理及其逆定理综合检测过关卷（解析版）

专题11勾股定理及其逆定理综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1.如图，RtAABC中，?B90?,AB=6,BC=9,将.ASC折叠，使点C与AB的中点。重合，折痕

交AC于点M,交BC于点、N,则线段CN的长为（）

r10

A.4B.5C.—D.—

53

【答案】B

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理.熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

由题意知，BD=^-AB=3,由折叠的性质设DN=CN=x,则BN=9—x,由勾股定理得，BD2=DN2-BN2,

2

即32--（9f。计算求解即可.

【详解】解:由题意知，BD=\AB=3,

2

由折叠的性质可知，DN=CN,

设DN=CN=x,贝l]3N=9—x,

由勾股定理得，BD2=DN2-BN2,即32=/_（9-4，

解得，x=5,

故选：B.

2.如图，是一张直角三角形纸片的示意图，其中NC=90。，AC=4,BC=8,沿着OE折叠该纸片，使点

8与点A重合，则8。的长为（）

A.4B.C.6D.5

4

【答案】D

【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理.根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论.

【详解】解：由折叠的性质得，AD=BD,

BC=8,

:.CD=S-BD,

ZC=90°,

AC2+CD2=AD2,

42+(8-BD)2=B£>2,

BD=5,

故选：D.

3.如图，在Rt/XABC纸片中，NA=90。，AB=4,AC=3,将RtAABC纸片按图示方式折叠，使点A恰好

落在斜边3C上的点E处，3。为折痕，则下列四个结论：①9平分/ABC；®AD=DE；③DE=EC；

④，DEC的周长为4,其中正确的个数有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出BC=5,由折叠的性质可得

BE=AB=4,AD=DE,ZABD=ZEBD,则CE=3C-8E=1,8£>平分/ABC,再根据三角形周长公式

可得DEC的周长=AC+CE=4,根据现有条件无法证明DE=EC,据此可得答案.

【详解】解：•.,在Rt^ABC纸片中，ZA=90°,AB=4,AC=3,

BC=yjAC2+AB2=5'

由折叠的性质可得BE=AB=4,AD=DE,ZABD=ZEBD,

:.CE=BC-BE=1,BD平分/ABC,

：.DEC的周长=£)E+CE+CD=Ar>+CD+CE=AC+CE=4,

故①②④正确；

根据现有条件无法证明DE=EC,

，正确的只有①②④,

故选：C.

4.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边0c上)，折叠后点。恰好落

在边0C上的点尸处，若点。的坐标为(13,5),则点E的坐标是()

C.(2.4,1)D.(13,2.4)

【答案】D

【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，坐标与图形性质.先根据点。的坐标得到AD=OC=13,

OA=CD=5,再由折叠的性质得到=AF=AD=13,利用勾股定理求出。尸=12,则C/=l,设

CE=x,则OE=EF=5—x,由勾股定理得(5-X)2=/+F,解方程即可得到答案.

【详解】:•四边形AOCD是长方形，点。的坐标为(13,5),

AAD=OC=13,O4=CD=5,

由折叠的性质可得£>E=EF，AF=AD=13,

•*-OF=VAF2-OA2=V132-52=12>

CF=OC-OF=\,

设CE=x,贝！］£>E=£F=5-x,

在RtZkCEF中，由勾股定理得EF-=CE2+CF2,

(5-X)2=X2+12,

解得x=2.4,

CE=2.4,

E(13,2.4),

故选：D.

5.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABC。折叠，使点。落在BC边的中点E处，折痕为MN,则线段CN

的长是()

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，先根据题意得到BC=CD=8cm,ZC=90°,则由线段

中点的定义得到CE=4cm,由折叠的性质可得硒=DV,设EN=DN=xcm,则CN=（8-x）cm,在

及△CEN中，由勾股定理建立方程f=4?+（8-尤『，解方程即可得到答案.

【详解】解：由题意得，BC=CD=8cm,ZC=90°,

••,点E是3C的中点，

CE=—BC=4cm,

2

由折叠的性质可得EN=DV,

设EN=DN=xcm,则CN=CD-Z>A^=（8-x）cm,

在RtZXCEN中，由勾股定理得加2=。石2+皈2,

222

.・・X=4+（8-X）,

解得x=5,

8—x=3,

/.CN=3cm,

故选A.

6.如图，在RtAABC,NC=9（）o,AC=4,5C=3,将，ACD沿着AD折叠，使C点落在AB边上的点E处，则

的长为（）

235

【答案】B

【分析】题主要考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，根据勾股定理求出AB长，再利用折叠和

角平分线的性质得到MBGD\NC,最后利用三角形的面积计算是解题的关键.

【详解】解：■/RtZXABC,ZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=A/42+32=5>

由折叠可得/C4D=/BM>,ZDEC=ZDCA=90。,

：.MBGDNC,

又：S=-BCAC=-CDAC+-ABDE,

人“ARcC222

Kp|x3x4=1c£>x4+1x5-Cr）,

4

解得：CD=~,

故选B.

7.如图，RtAABC,ZACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A落在A3上的点。处；再

将边BC沿C/翻折，使点8落在8的延长线上的点9处，两条折痕与斜边48分别交于点瓜厂,则线段

的长为（）

34?

A.-B.-C.—D.⑺

【答案】B

【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3,B'C=BC=4,ZACE=ZDCE,ZBCF=AB'CF,CEYAB,

129

CD=1,然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得N?FB=90。，EF=q,ED=AE=-,

3.

DF=EF-ED=~,由勾股定理即可求得皮尸的长.此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质,

勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键.

【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3,B'C=BC=4,ZACE=/DCE,

ZBCF=ZB'CF,CErAB,

・•・BrD=BrC-CD=4-3=l,ZDCE+ZBfCF=ZACE-^-ZBCF,

ZACB=90°,

：.ZECF=45°,

・・・是等腰直角三角形

:.EF=CE,NEFC=45。,

：.ZBFC=NB，FC=180。—ZCFE=135°,

JZB'FB=90°,

•：S^ABC=^AC.BC=^AB-CE,

ACxBC=ABxCE,

,•1根据勾股定理求得AB=7AC2+BC2=V32+42=5，

Z.CE=y,

；.EF=*ED=AE=yjAC2-CE2=|,

3

/.DF=EF-ED=~,

：.B'F=>JB'D2-DF2=|,

故选：B.

8.如图，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,IB90?.将ABC折叠，使点A与8C的中点。重合，则BN

的长是（）

A.4B.3C.6D.5

【答案】A

【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，设BN=x,

则由折叠的性质可得DN=AN=9-x,根据中点的定义可得班＞=3,在RtaRVO中，根据勾股定理可得关

于x的方程，解方程即可求解；

【详解】解：设:BN=x,由折叠的性质可得DN=4V=9—x,

•.•。是BC的中点，BC=6,

：.BD=3,

在RtABND中，x2+32=（9-x）2,

解得x=4,

即3N=4,

故选：A.

9.ABC中，Nk,NB,NC的对边分别记为a,b,c,有下列说法错误的是（）

A.如果a:Z?:c=7:24:25,则NC=90。

B.如果NA:ZB:NC=3:4:5,则ABC为直角三角形

C.如果a,b,c长分别为6,8,10,则a,b,c是一组勾股数

D.如果NA-/3=/C,贝UABC为直角三角形

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理.根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定

理，勾股数的定义进行分析判断即可.

【详解】解：A、：a:b:c=7:24:25,

:,设a=1k,b=24k,c=25k,

a2+b2=（7左丫+（24左y=625k2,c2=（25左）？=625k2,

a1+b2-c1<

：.ZC=90°,故不符合题意;

B、VZA:ZB:ZC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,

/.ZC=180°x—--=75°,

3+4+5

...ABC不是直角三角形，故符合题意;

C、-：a,b,c长分别为6,8,10,

/.a2+b2=c2,且a,6,c的长都是正整数，

:.a,b,。是一组勾股数.故不符合题意；

D、VZA-ZS=ZC0,

ZA+NB+/C=180。②，

将①代入②得：2ZA=180。，

ZA=90°,

ABC是直角三角形，故不符合题意.

故选：B.

10.如图，在,ABC中，ZC=90°,以,ABC的三边为边向外作三个正方形，如果正方形AOVM和正方形

BCG5的面积分别为6和8,那么正方形即的面积是（）

DE

A.14B.10C.100D.84

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】解：：正方形AGVM和正方形5CG/的面积分别为6和8,

/.AC2=6,BC2=8,

ZC=90°,

/.AB2=AC2+BC2=6+8=14,

正方形ABED的面积为14,

故选：A.

二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）

11.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD,折痕是DM,点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB

于点RG.若点M是BC边的中点，则/G=cm.

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；

根据折叠的性质可得OE=OC=4,EM=Q0=2,连接，设FE=x,由勾股定理求出x的值，得出3尸,

连接MG,证明RtMEG^RtMBG,设BG=EG=m,再结合勾股定理可得答案.

•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=DA=4,ZA=ZB=ZC=ZCDA=90°,

:点M为BC的中点，

BM=CM=-BC=-x4=2,

22

由折叠得，ME=CM^2,DE=DC=DA^4,ZDEM=ZC=90°,

:.NDEF=90。,NFEG=90。,

'：DF=DF,ZA=ZDEF=90°,

：.RtAD尸式RtEDF,

AF=EF,

设尸E=尤，则有AF=x,

BF=4—x,

又在RtFMB中，（X+2）2=22+（4—X?，

4

解得，尤=§，

448

FE=AF=~,BF=4一一=-

333

连接MG,

同理可得：RtMEG%RMBG,

:•设BG=EG=m,

/.m=l,

：.FG=--1=~,

33

故答案为：j.

12.如图，三角形纸片A3C中，ZACB=90°,AC=4,BC=6.沿过点C的直线4将纸片折叠，使点A落

在边上的点。处；再沿直线6将纸片折叠，使点8与点。重合.若直线6与8c的交点为E,则CE的长

是.

【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知AC=CD,ED=EB,进

一步可知/CDE=90。，设CE=x,在RtaCDE中，根据勾股定理列方程，求解即可，熟练掌握折叠的性

质是解题的关键.

【详解】根据折叠，可知AC=CD,ED=EB,

：.ZA=ZCDA,ZEDB=ZB,

ZAC3=90。，

ZA+ZB=9Q°,

：.ZCDA+ZEDB=90°,

：.ZCDE=90°,

设CE=x,

VAC=4,BC=6,

ACD=4,BE=6-x,

ED=6—x,

在RtaADE中，根据勾股定理，得：42+(6-尤y=三，

13

解得：X=

/.CE=—,

3

13

故答案为：—.

13.如图，A5C中，ZC=90°,AB=10,AC=6,点。是边3C上一点.若沿AD将ACD翻折，则AD=.

【答案】3H

【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是根据勾股定理求出BC=y/AB2-AC2=710^=8.

根据折叠得出A£=AC=6,DE=DC,设DE=OC=X,则3D=8T,根据勾股定理得出4?+三=（8—X）2,

求出C£>=3,最后根据勾股定理求出=^JCD2+AC2=732+62=3赤.

【详解】解：在RtA4CB中，由勾股定理可知AO+BC?=A",

BC=siAB2-AC2=A/102-62=8，

由折叠的性质得：AE=AC=6,DE=DC,

：.BE=AB-AE=10-6=4,

设DE=OC=x,贝l]BD=8-X,

在RtzXBED中，BE2+DE2=BD2>

：.42+X2=（8-X）2.

x=3,

：.CD=3,

AD=yJCD2+AC2=A/32+62=375;

故答案为：3卮

14.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形8、C、。的面积依次

为8、6、18,则正方形A的面积为.

【答案】4

【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方.

根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可.

【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形8的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正

方形D的面积-正方形C的面积，

则正方形A的面积=18-6-8=4,

故答案为：4.

15.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形

围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶

茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是.

【答案】2025

【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据

规律解答即可.本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么

a2+b2=d.

【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1,由勾股定理得，正方形2的面积+正方形C的面积=1,

.丁生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……

“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025,

故答案为：2025.

16.如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1,一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上

侧长出两个小正方形，面积分别为6和8,且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则。的值为；再经

过一次“生长”后变成了图2.如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形

【答案】V1428350

【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角

边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键.

根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生长”

后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可.

【详解】解:如图：

...第一个正方形的面积为

由勾股定理得，AB-=AC2+BC2,

AC2+BC2^AB2=〃，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为

.♦.“2=8+6,即。=旧，“生长”第1次后所有正方形的面积和为2a2，

同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为3〃，

则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为2025"=2025x14=28350,

故答案为：JIZ，28350.

17.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形48、C的面积依次

为6、8、9,则正方形。的面积为.

【答案】23

【分析】根据勾股定理可得正方形4B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正

方形。的面积，即可得到结果.

本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成.

由题意得，正方形E的面积为6+8=14,

则正方形D的面积14+9=23.

故答案为：23

18.如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为以8为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三

角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为邑,…按照此规律继续下去，则邑。23的值为.

【答案】了〉

【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据

面积的变化找出变化规律"s“”是解题的关键.根据题意求出面积标记为邑的正方形的边长，得

到S2，同理求出邑，得到规律，根据规律解答.

【详解】解:

..1.CDE是等腰直角三角形,

DE=CE,1CED90?,

CD2=DE2+CE2=IDE2,

•*.DE=—CD,

2

即等腰直角三角形的直角边为斜边的变倍,

,/正方形ABCD的边长为2,

d=22=4=4xg),

面积标记为S,的正方形边长为1*2=&,

2

则S2=(@2=2=4xg),

面积标记为邑的正方形边长为孝X收”

2

贝I|S3=12=1=4XI

面积标记为S4的正方形的边长为#xl=#,

贝11$2023的值为：

故答案为：

19.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注

解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直

角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为.

【答案】65

【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，阴影部分由四个全等的三

角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可.

【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且长为9-4=5,宽为4,

.*.5=4x1x4x5+5x5=40+25=65,

2

故答案为：65.

20.如图，在11ABe中，。是边上一点，BD=1,CD=3,BC=M，AD=不，则AC的长为.

【答案】4

【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理的综合运用：先由三边的数值关系，得/a®=NCQ4=90。,

根据勾股定理列式计算，即可作答.

【详解】解：；8。=1,CD=3,BC=加,

：.BD2+CD-=10,BC2=（Vio）2=10,

即BD2+CD2=BC2,

故NCC®=NCZM=90。，

•*-AC=ylAD2+DC2=j7+9=4,

故答案为：4.

三、解答题三、解答题（本题共3题,共40分）

21（12分）.在3ABe中，ZC=90°,AC'=4,BC=3.把_ABC绕点B逆时针旋转a得到DBE（Q0<a<90°）,

点A的对应点为点D.

L）

K；

R

CACMACA

图1备用图1备用图2

（1）当（z=90。时，在图1中作出旋转后的.（尺规作图，保留作图痕迹）;

(2)在(1)的条件下，连接AD,则AD的长为；

(3)在旋转过程中，直线。E分别交C4,54于点N,若AAW为等腰三角形，求AM的长.

【答案】(1)作图过程见解析，

⑵5应

⑶AM=5-亚或AW=3

【分析】3421726244929536(1)过点8作AC的平行线，根据全等三角形判定定理(SSS),截取3E=BC,

BD=BA,ED=CA,即可做出旋转90。后的▲OBE,

(2)根据勾股定理求出AB的长度，由旋转性质可得二八R4是等腰直角三角形，即可求出AD的长，

(3)分AM、AN、MN分别为底的情况进行讨论，根据等角对等边，及勾股定理进行求解，

本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形存在性问题，解题的关键是：根据等腰三角形存在的可能

性进行分情况讨论，结合图形找到等量关系，进行求解.

【详解】(1)解：过点B作/RR4=NB4C,在上截取防使班=3C,分别以点B、点E为圆心，A3、

C4长为半径做圆，交点即为点。(方法不止一种)，

(2)ZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=A/&2-4«CA/42+32=5，

连接AD,

由旋转性质可得，/ABD=a=90。，DB=AB,

.'ABD为等腰直角三角形，

AD=y/AB2+DB2=A/52+52=572，

故答案为：5^/2，

(3)当AM为底时，NM=NA,ZNMA=ZNAM,连接

NBDE=NBAC,

:.ZDBN=ZBDN,

:.NB=ND,设NB=ND=a,贝!]NM=Ml=5-a,

:.NE=4—a,ME-NM—NE—5—a—(A-a)=1,

在RtABCAl和RtBEM中,

[BC^BE

[BM=BM，

.-.RtBCM且RtBEM(HL),

:.CM=EM=1,

.•.3=4—1=3,

(O°<«<90°)不存在AN为底的情况，

当跖V为底时，AM=AN,ZANM=ZAMN,

D

NBDE=/BAC,

ZDBN=ZDNB,

;.DN=DB=5,NE=DN-ED=5-4=1,

BN=4BE。+NE，=A/32+12=A/10，

：.AM=AN=AB-BN=5-J10,

故答案为：AM=5-W或40=3.

22（14分）.在RtAABC中，NC=90。，点M为边A3的中点，点。在边BC上.

(1)若AC=3,BC=4,MD±AB(如图①)，求MD的长；

(2)过点M作与边AC交于点E(如图②)，试探究：线段AE、ED.08三者之间的数量关系,

并证明你的结论.

【答案】(1)。“=翌；

O

⑵即2=AE2+B£)2.理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质.

(1)证明也是线段A3的垂直平分线，利用勾股定理求得的=个，AB^5,再利用面积法求解即可;

O

(2)作AN〃3C交DM的延长线于点N,证明4430丝△BDAf(AAS),推出AN=&),MN=MD,由

线段垂直平分线的判定和性质，得到小＞=硒，再根据勾股定理即可得到结论.

【详解】（1）解:连接AD,

:点M为边42的中点，M