5.4 一元一次方程的应用 第5课时课件2023-2024学年冀教版七年级数学上册

第五章一元一次方程5．4一元一次方程的应用第5课时

1．会列一元一次方程解几何问题，体会用图形的性质及其几何量之间的关系列方程的方法．2．经历列一元一次方程解决几何问题的过程，体会几何与代数之间的关系以及数形结合的思想方法．◎重点：列一元一次方程解决几何问题．◎难点：由几何图形的性质及几何量之间的关系寻找等量关系．

1．长为a，宽为b的长方形的周长为

2（a＋b）

，面积为

ab

．

2（a＋b）ab2．如果两个角的和等于

90°

，那么这两个角互余；如果两个角的和等于

180°

，那么这两个角互补．

·导学建议·因为本课时要用到一些几何图形的性质，因此，在学习新课前复习一些有关的知识显得尤为必要．90°180°阅读课本“例5”及其后面的内容，体会如何列一元一次方程解几何问题．

2t6－t6－t

＝2t2

3

列一元一次方程解几何问题

At6－2t

1.5对于“例5”，应引导学生体会：对几何图形上的动点问题，渗透运动变化思想，动点使得几何图形上的线段成为变量，将这些变化的量用代数式表示出来，即可得到方程．归纳总结：在几何图形中，常根据几何图形中

几何量

之间的等量关系列方程，用代数式表示几何图形中

线段的长或角的度数等

是解题的关键．

几何量线段的长或角的度数等·导学建议·

如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB、BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P、Q运动的时间是ts．当点P与点Q重合时t的值是（

C

）CA．B．4C．5D．6·导学建议·列方程解几何问题，关键是从图形中得到数量关系，用代数式表示后列出方程．预习导学部分建议教师用15分钟左右的时间完成．

列一元一次方程解动点问题1．如图，两人沿着边长为80米的正方形，按A⇒B⇒C⇒D⇒A…的方向行走．甲从A点以每分钟60米的速度，同时乙从B点以每分钟100米的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形（

B

）A．DA边上B．AB边上C．BC边上D．CD边上B

你能求出乙第一次追上甲所行走的路程是多少吗？解：设乙第一次追上甲时，所用的时间为x分钟．依题意得100x＝60x＋3×80，解得x＝6（分钟）．所以乙第一次追上甲时所行走的路程为6×100＝600

米．2．动点A从原点出发向数轴的负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴的正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是1∶4（速度单位：单位长度/秒）．（1）分别求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；

（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴的负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？

解：（1）设动点A的速度为x个单位长度/秒，则动点B的速度为4x个单位长度/秒．根据题意得3x＋12x＝15，解得x＝1．故A点运动的速度是1个单位长度/秒，B点运动的速度是4个单位长度/秒．点A表示的数是－3，点B表示的数是12，A、B两点运动3秒时的位置如下图．

（2）是否存在某一时间，使PQ＝18cm？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（1）求点Q的运动速度．（2）因为点P从点A出发以每秒1

cm的速度，沿A→C→D→B→D运动，P点运动到终点D后停止运动，AB＝30

cm，BD＝5

cm，所以点P运动30秒到达点B，点P的运动时间是35秒．因为点Q从点B出发，运动速度是每秒2

cm，沿B→D→C→A→C运动，Q点运动到终点C后停止运动，AB＝30

cm，AC＝10

cm，所以点Q运动15秒到达点A，点Q的运动时间是20秒．因为P、Q两点在线段AB上相遇的时间是30÷（1＋2）＝10（秒），所以当PQ＝18

cm时，分五种情况进行讨论．①当0≤t≤10时，（1＋2）t＝30－18，解得t＝4（秒）；②当10＜t≤15时，（1＋2）t＝30＋18，解得t＝16（不合题意舍去）；③当15＜t≤20时，2t＋18＋（30－t）＝60，解得t＝12（秒）（不合题意舍去）；④当20＜t≤30时，t－10＝18，解得t＝28（秒）；⑤当30＜t≤35时，t－30＋18＋10＝30，解得t＝32（秒）．答：存在某一时间t，能够使PQ＝18

cm，此时t的值为4秒或28秒或32秒．

列一元一次方程解角度问题

4．在三角形ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B．求∠A、∠B、∠C的度数．解：设∠B＝x°，则∠A＝30°＋x°，∠C＝4x°．则有30＋x＋x＋4x＝180，解得x＝25，所以30＋x＝55，4x＝100．答：∠A＝55°，∠B＝25°，∠C＝100°．【方法归纳交流】在解决三角形内角的有关问题时，常根据

三角形的内角和等于180°

列方程求解．

三角形的内角和等于180°

钟面上显示的时间是12时整，时针和分针在同一条直线上，再过几分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线的现象？此时它们的旋转角分别是多少？

列一元一次方程解面积问题

去分母得3x＋18＝5x，解：设小正方形的面积为x平方厘米，则大正方形的面积为（x＋6）平方厘米．解得x＝9，可得x＋6＝9＋6＝15（平方厘米）．答：大正方形的面积为15平方厘米．根据几何图形中的数量关系列方程，关键是寻找图形中包含的等量关系，将该等量关系用含有未知数的代数式表示出来，即得到方程．合作探究部分建议用20分钟左右的时间完成，备选问题根据学情选用．·导学建议·一、作业目标1．进一步理解一元一次方程的定义、等式的性质，具备熟练解一元一次方程的技能．2．建立方程模型，解决实际问题，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．《一元一次方程》实践作业二、作业内容

A．2个B．3个C．4个D．5个2关于x的方程3x－8＝x的解为x＝

4

．

A4

14解方程：（1）3（y＋1）＝2y－1；

解：（1）3（y＋1）＝2y－1，去括号，得3y＋3＝2y－1，移项，得3y－2y＝－1－3，合并同类项，得y＝－4．

5方程（a＋2）x2＋5xm－3－2＝3是一元一次方程，则a和m的值分别为（

B

）A．2和4B．－2和4C．2和－4D．－2和－46若x＝1是方程2ax－3bx＝10的解，则3b－2a的值为

－10

．

B－107用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”

5

个．

58某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张25元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说，40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有6人可以免票．（2）二班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的．你知道二班有多少人吗？解：（1）方案一：25×0．8×50＝1000（元），方案二：25×0．9×（50－6）＝990（元）．∵1000（元）＞990（元），∴一班班长选择方案二．（1）若一班有50名学生，则班长该选择哪个方案？（2）设二班有x人，根据题意得25×0.8x＝25×0.9（x－6），解得x＝54．答：二班有54人．

9我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b＋a，则称该方程为“