人教版八年级数学上册重难考点专题03全等三角形的判定(2)(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

专题03全等三角形的判定（2）考点类型知识串讲（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（HL）（1）直角三角形全等 ①斜边和一条直角边对应相等（HL）②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.考点训练考点1：用ASA证明三角形全等典例1：（2023·广东广州·统考一模）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求证：【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．(1)求证：△ABC≅△AED；(2)若∠1=40°，求∠3的度数．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF．求证：【变式3】（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三个条件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．(1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得△ABC≌△DEF，依据是______（填“ASA”或“(2)请完成（1）的证明．考点2：用AAS证明三角形全等典例2：（2023·广东广州·统考一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求证：△ABE≌△DCF．【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．【变式2】（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，点C在AD上，AB∥DE，连接CE，CE⊥AD．求证：【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合典例3：（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，(1)求证：BD=CD．(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．(1)求证：EF=ED；(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．【变式2】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E．(1)若∠C=40°，求∠D的度数；(2)若AD=AC，求证：△DEA≌【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）（1）若m<n，且a−5m>a−5n（2）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．考点4：添加条件使三角形全等典例4：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求【变式1】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：（填序号）．结论为：（填序号）．【变式2】（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课上，老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD=AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明(2)若添加的条件是OE=OD，证明：△ADB≌△AEC【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．(1)若要使ΔACD≌ΔEBD(2)证明上题；(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是．考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等典例5：（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为(1)△ABC≌△CDA；(2)BE=DF．【变式1】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）将一等腰直角形的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC=90°．(1)若如图①放置时，已知点A(0,−4)，B(1,0)，求点C的坐标；(2)若如图②放置时，已知点A(0,0)，B(3,1)，求点C的坐标．【变式2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC和△DEF中，有下列四个等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号）【变式3】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．考点6：用HL证明三角形全等典例6：（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．求证：△ABM≌【变式1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA．(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．(1)求证：△ABC≅△EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度数．【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．(1)求证：△ABM≌△DCN；(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．考点7：全等性质与HL综合典例7：（2023·广东肇庆·统考一模）在△ABC中，点D为BC边上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且AE=AF，连接AD，求证S△ABD【变式1】（2023春·山东济宁·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ABE≌(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．【变式2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE=CF．求证：∠ACB=90°．【变式3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．(1)若B，C在直线DE的同侧（如图①所示），且AD=CE，求证：①AB⊥AC；②DE=BD+CE．(2)若B，C在直线DE的两侧（如图②所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．同步过关一、单选题1．（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（

）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC2．（2022·四川巴中·中考真题）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．∠BAC=90° C．BD=AC D．∠B=45°3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①③去4．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E5．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（）A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′6．（2023秋·四川内江·八年级校考阶段练习）如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（

）A．AC B．BC C．AB+BC D．AB7．（2022秋·北京·八年级北师大实验中学校考期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（

）A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=48．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）如图，AB=DB,∠1=∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（

）A．∠A=∠D B．∠E=∠C C．∠A=∠C D．BC=BE9．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知AF=CE，BE//DF，那么添加下列一个条件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（）A．∠AFD=∠CEB B．AD//CB C．AE=CF D．AD=BC10．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列条件不能判定是△ABM≅△CDN的是（

）A．∠M＝∠N B．BM∥DN C．AB＝CD D．MB＝ND11．（2022·江苏·八年级专题练习）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条边分别相等 B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等 D．有一直角边和斜边上的高分别相等12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD13．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过AC和BD的交点O，分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论正确的有（）①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤图中全等的三角形有9对．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个14．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−其中结论正确的是（

）．（填写结论的编号）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④15．（2022秋·全国·八年级专题练习）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个二、填空题16．（2023秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则________≌△ADC．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．17．（2023·全国·八年级统考假期作业）有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“________”或用字母表示为“________”.18．（2023秋·云南大理·八年级统考期中）判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，他们可以分别简写成SSS；SAS；______；______；_______.19．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，已知D,E是ΔABC中BC边上的两点，且AD=AE，请你再添加一个条件：_______，使ΔABD≌ΔACE20．（2023春·云南文山·七年级统考期末）如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌21．（2023·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：_____．22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC．23．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD,∠A=∠D，请你填一个直接条件，_________，使ΔAFC≅ΔDEB．24．（2023春·七年级课时练习）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=______．25．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝_____时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．三、解答题26．（2022秋·广东湛江·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．27．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系．28．（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠EDC=∠EAC=∠BAD，AC=AE，证明：△ABC≌△ADE．29．（2023春·山东济南·七年级校考期中）已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2，∠C＝∠B．求证：△ACE≌△ABD．30．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）如图，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．31．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．32．（2023秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：△ADB≌△CEA．33．（2022·陕西·校考二模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD．求证：AF=DE．34．（2023春·贵州黔西·八年级校考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm，DE=3cm．（1）求证△CBE≌△ACD（2）求线段BE的长

35．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．(1)证明：BE=DF；(2)若AB=20，DF=6，求AD的长度；

专题03全等三角形的判定（2）考点类型知识串讲（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）（1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（HL）（1）直角三角形全等 ①斜边和一条直角边对应相等（HL）②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.考点训练考点1：用ASA证明三角形全等典例1：（2023·广东广州·统考一模）如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求证：【答案】见解析【分析】根据平行线的性质求出∠BCA=∠EFD，∠A=∠D，根据ASA推出两三角形全等即可．【详解】解：∵BC∥EF，∴∠BCA=∠EFD，∵AB∥∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF(ASA【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握角边角的方法证明三角形全等．【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．(1)求证：△ABC≅△AED；(2)若∠1=40°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】（1）先根据∠1=∠2和角的和差可得∠EAD=∠BAC，然后运用ASA即可证明结论；（2）根据已知可得∠1=∠2=40°，然后根据三角形外角的性质可得∠3=∠2=40°即可．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC在△ABC和△AED中∠B=∠E∴△ABC≅△AEDASA（2）解：如图：∵∠1=40°∴∠1=∠2=40°∵∠AFD=∠2+∠E，∠AFD=∠3+∠B，∴∠3=∠2=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF．求证：【答案】见解析【分析】先证明∠BEA=∠DFC=90°，再由平行线的性质得∠BAC=∠DCA，利用ASA即可证明△AEB≌△CFD．【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°，∵AB∥∴∠BAC=∠DCA，在△AEB和△CFD中，∠BEA=∠DFCAE=CF∴△AEB≌△CFDASA【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟练证明三角形全等是解题的关键．【变式3】（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三个条件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．(1)请在上述三个条件中选取一个条件______（填写序号，多选不得分），使得△ABC≌△DEF，依据是______（填“ASA”或“(2)请完成（1）的证明．【答案】(1)①；ASA（②或③；AAS）(2)见解析【分析】（1）根据三角形全等的判定方法进行选择即可；（2）根据“ASA”或“AAS”证明△ABC≌【详解】（1）解：选择①AC=DF，根据ASA证明△ABC≌②AB=DE或③BC=EF，根据AAS证明△ABC≌故答案为：①；ASA．（②或③；AAS）（2）证明：选择①；∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAC=DF∴△ABC≌选择②；∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌选择③；∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法“ASA”或“AAS”．考点2：用AAS证明三角形全等典例2：（2023·广东广州·统考一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求证：△ABE≌△DCF．【答案】证明见解析【分析】先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．【详解】解：∵AB∥∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF【点睛】本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出∠DAE=∠C，再证明∠D=∠BAC，根据AAS证明△ABC≌△DEA即可．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAE=∠C，∵∠DEC为△ADE的外角，∴∠DEC=∠DAE+∠D，∵∠CED=∠BAD，∴∠DAE+∠D=∠DAE+∠BAC，∴∠D=∠BAC，∵AE=BC，∴△ABC≌△DEAAAS【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，AAS、ASA、SAS、SSS、HL．【变式2】（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，点C在AD上，AB∥DE，连接CE，CE⊥AD．求证：【答案】见解析【分析】证明△ABC≌△DCE即可．【详解】证明：∵AB∥∴∠BAC=∠D，∵CE⊥AD，∴∠B=∠DCE=90°，∵AC=DE，∴△ABC≌△DCEAAS∴AB=DC．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．【答案】证明见解析【分析】由三角形外角的性质及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE=∠B，再结合图形并利用恒等变换可得到∠BAC=∠DAE，最后利用AAS即可得证．【详解】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，即∠ADE+∠3=∠1+∠B，∵∠1=∠2=∠3，∴∠ADE=∠B，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC

，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADEAAS【点睛】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合典例3：（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，(1)求证：BD=CD．(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．【答案】(1)见解析(2)75°【分析】（1）由AB∥CD，得到∠ABD=∠BDC再利用AAS证明（2）由AB∥CD，∠A=135°，求得∠ADC=45°，因为∠BDC=2∠1，得到∠BDC=30°，再根据【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠ABD=∠BDC，在△ABD和△EDC中∠1=∠2∠ABD=∠BDC∴△ABD≌△EDCAAS∴BD=CD．（2）∵AB∥CD，∴∠ADC=180°−∠A=45°，∵∠BDC=2∠1，∴∠BDC=2∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=180°−∠BOC【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABD≌△EDC是解题的关键．【变式1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知：如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在AB上，CD∥AB，交FE的延长线于点D．(1)求证：EF=ED；(2)若AB=8,CD=6，求BF的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据E是AC的中点，可得AE=CE，再由CD∥AB，可得∠A=∠ACD，可证明△AEF≌（2）根据△AEF≌△CED，可得【详解】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，在△AEF和△CED中，∠A=∠ACD∴△AEF≌∴EF=ED．（2）∵△AEF≌∴AF=CD=6，∵AB=8，∴BF=AB−AF=8−6=2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式2】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足为E．(1)若∠C=40°，求∠D的度数；(2)若AD=AC，求证：△DEA≌【答案】(1)50°(2)见解析【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠DAC=∠C=40°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数；（2）直接利用AAS证明即可．【详解】（1）∵AD∥BC，∠C=40°∴∠DAC=∠C=40°∵DE⊥AC∴∠D=90°−∠DAC=50°；（2）在△DEA和△ABC中∠DEA=∠B=90°∴△DEA≌【点睛】此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式3】（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）（1）若m<n，且a−5m>a−5n（2）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】（1）a<5（2）见解析【分析】（1）根据不等式性质可得结果．（2）由四边形ABCD为长方形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】解：（1）∵m<n，且(a−5)m>(a−5)n，∴a−5<0，解得a<5．答：a的取值范围为a<5．（2）证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，∠BEF=∠CFDBE=CF∴△BEF≌△CFD(ASA∴BF=CD．【点睛】本题考查了不等式的性质，长方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．考点4：添加条件使三角形全等典例4：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在五边形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．(1)请你添加一个条件，使得△ABC≌(2)在(1)的条件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求【答案】(1)见解析；(2)136°．【分析】（1）BC=AE或∠BAC=∠EDA．根据SSS或SAS（2）根据△ABC≌△DEA得出∠BCA=∠EAD【详解】（1）证明：添加：BC=AE或∠BAC=∵在△ACB和△DAE中，AC=DA,∴△ABC≌△DEA(SSS（2）∵△ABC≌∴∠BCA=∴∠=∠==66°+(180°−110°)=136°，∴∠BAE=136°【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式1】（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，在ΔAFD和ΔCEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：（填序号）．结论为：（填序号）．【答案】①②④；③，证明见解析【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明△AFD≌△CEB即可．【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，AE=CF，AD∥BC．求证：证明：∵AD∥∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∴在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠C∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF=BE．故答案为：①②④；③【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础．【变式2】（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课上，老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD=AE，请你再添加一个条件，使得△ADB≌△AEC(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明(2)若添加的条件是OE=OD，证明：△ADB≌△AEC【答案】(1)答案不唯一，AB=AC，证明见解析(2)见解析【分析】（1）添加条件AB=AC，直接证明△ADB≌△AECSAS，即可得证；（2）连接AO，证明△AEO≌△ADOSSS，得出∠ADB=∠AEC，进而证明△AEC≌△ADB【详解】（1）答案不唯一，添加条件AB=AC，证明：在△ADB与△AEC中，AB=AC∴△ADB≌△AECSAS，故答案为：AB=AC；（2）连接AO，如图，在△AEO与△ADO中，AE=ADOE=OD∴△AEO≌△ADOSSS∴∠ADO=∠AEO，∴∠ADB=∠AEC，在△ADB与△AEC中，∠ADB=∠AEC∴△AEC≌△ADBAAS【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．(1)若要使ΔACD≌ΔEBD(2)证明上题；(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是．【答案】(1)AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）(2)见解析(3)0.5＜AD＜4.5【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）；（2）由AC与BE平行，得到两内错角相等，再由D为BC的中点，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形ACD与EBD全等；（3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到AE的取值范围，由D为AE的中点，得到AD的取值范围．【详解】（1）解：可添加：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）．（2）证明：∵AC∥BE，∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD，又∵D为BC的中点，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，∠CAD=∠E∠ACD=∠EBD∴△ACD≌△EBD（AAS）；若添加AD=DE．又∵D为BC的中点，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，AD=ED∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD（SAS）；（3）解：∵△ACD≌△EBD，∴AD=DE=12AE，BE＝AC=4在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE<AB+BE=5+4=9，∴1<AE<9．∴0.5<AD<4.5．故答案为：0.5<AD<4.5．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等典例5：（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为(1)△ABC≌△CDA；(2)BE=DF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接用SSS即可证明△ABC≌△CDA；（2）由△ABC≌△CDA，可得出∠ACB=∠DAC，由BE⊥AC，可得出∠BEC=∠DFA=90°，由AAS即可得出△AFD≌△CEB，即可得出结论．【详解】（1）证明：在△ABC和△CDA中AD=CB∴△ABC≌△CDA（2）∵△ABC≌△CDA，∴∠ACB=∠DAC，∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠DFA=90°，在△AFD和△CEB中，∠DEA=∠BEC∠DAF=BCE∴△AFD≌△CEBAAS∴BE=DF．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键．【变式1】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）将一等腰直角形的三角板△ABC如图放置在平面直角坐标系中，若∠ABC=90°．(1)若如图①放置时，已知点A(0,−4)，B(1,0)，求点C的坐标；(2)若如图②放置时，已知点A(0,0)，B(3,1)，求点C的坐标．【答案】(1)−3(2)2【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，再利用边角关系证明∴△BCD≅△ABO，求出CD=1，OD=3，即可得出答案；（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，再利用边角关系证明△ABD≅△BCE，求出CE=1，DE=4，即可得出答案．【详解】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，∵A(0,−4)，B(1,0)，∴OA=4，OB=1，∴∠ABC=90°，∠AOB=90°，∴∠CBD+∠OBA=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∴∠CBD=∠BAO，∵AB=BC，∠AOB=∠BDC=90°，∴△BCD≅△ABO(AAS∴CD=BO=1，BD=AO=4，∴OD=3，∴点C坐标为−3，（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，∵A(0,0)，B(3,1)，∴OD=3，BD=1，∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，∴∠CBE+∠OBD=90°，∠BAD+∠OBD=90°，∴∠BAD=∠CBE，∵AB=BC，∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD≅△BCE(AAS∴CE=BD=1，BE=AD=3，∴DE=4，∴点C的横坐标为3−1=2，∴点C坐标为2，【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理证出三角形全等是解题关键．【变式2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC和△DEF中，有下列四个等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．题设：__________，结论__________：（写序号）【答案】①②③（或①③④）；④（或②）；已知；求证；证明见解析【分析】根据全等三角形的判定与性质进行组合、证明即可．【详解】解：若题设：①②③结论：④已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，AC=DF，求证：∠A=∠D.证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE∴△ABC∴∠A=∠D.若题设：①③④，结论：②已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D求证：BE=CF．证明：在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌∴BC=EF，即BE+EC=CF+EC，∴BE=CF．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答的关键．【变式3】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)DF=CF，理由见解析【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根据SAS判断（2）由△ADB与△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝【详解】（1）全等，理由如下：∵∠DAB＝∴∠DAE＝在△ADE与△ACB中AD=AC∠DAE=∠CAB∴△ADE≌△ACB（2）DF＝在△ADB与△ACE中AD=AC∠DAB=∠CAE∴△ADB≌△ACE（∴∠DBA＝∵△ADE≌△ACB，∴∠ABC＝∴∠DBF＝在△DBF与△ECF中∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEF∴△DBF≌△CEF（∴DF＝【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．考点6：用HL证明三角形全等典例6：（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知AD,BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．求证：△ABM≌【答案】见解析【分析】HL证明三角形全等即可．【详解】证明：∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN，即BM=CN．∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，∴∠AMB=∠DNC=90°．在Rt△ABM和Rt△DCN中，∴Rt△ABM≌【点睛】本题考查证明两个三角形全等．熟练掌握HL证明三角形全等，是解题的关键．【变式1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB≌△BDA．(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数．【答案】(1)见解析(2)20°【分析】（1）由HL证明Rt△ACB≌（2）由全等三角形的性质求出∠BAD=35°，由直角三角形的性质求出∠BAC=55°，即可得出所求．【详解】（1）解：证明：∵∠C=∠D=90°．∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和RtAB=BABC=AD∴Rt（2）∵Rt∴∠BAD=∠ABC=35°，∵∠BAC=90°−∠ABC=55°，∴∠CAO=∠BAC−∠BAD=20°．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABC≅△BAD是解题关键．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．(1)求证：△ABC≅△EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度数．【答案】(1)见解析(2)123°【分析】（1）先说明AB=DE，再根据HL即可证明结论；（2）由（1）可知∠FDE=∠ABC=57°，再利用平角的性质即可解答．【详解】（1）解：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，∴AB=DE，在Rt△ABC和RtAC=EF,∴△ABC≅△EDFHL（2）解：∵△ABC≅△EDF，∴∠FDE=∠ABC=57°，∴∠ADF=180°−∠FDE=180°−57°=123°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解题的关键．【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD、BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．(1)求证：△ABM≌△DCN；(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)OA=OD，理由见解析【分析】（1）根据HL可证明△ABM≌△DCN；（2）根据AAS证明△AMO≌△DNO可得结论．【详解】（1）证明：∵BN=CM，∴BN+MN=MN+CM，即CN=BM，∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴∠AMB=∠DNC=90°，在Rt△ABM和RtAB=CDBM=CN∴Rt△ABM≌（2）解：OA=OD，理由如下：∵△ABM≌△DCN，∴AM=DN，在△AMO和△DNO中，∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNO∴△AMO≌△DNOAAS∴OA=OD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．考点7：全等性质与HL综合典例7：（2023·广东肇庆·统考一模）在△ABC中，点D为BC边上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，且AE=AF，连接AD，求证S△ABD【答案】见解析【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得Rt△ADE【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°．∵AD=AD，AE=AF，∴Rt∴DE=DF，∴S【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．【变式1】（2023春·山东济宁·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ABE≌(2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）用HL判定两三角形全等即可证明；（2）只要证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，BE=DF，∴Rt（2）证明：连接AC，交BD于点O，∵△ABE≌∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行四边形的性质解决问题．【变式2】（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE=CF．求证：∠ACB=90°．【答案】见解析【分析】先利用HL△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC=∠BCF，因为∠EAC+ACE=90°，所以∠ACE+∠BCF=90°，根据平角定义可得∠ACB=90°．【详解】证明：如图，在Rt△ACE和RtAC=CBAE=CF，∴Rt∴∠EAC=∠BCF，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°−90°=90°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【变式3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．(1)若B，C在直线DE的同侧（如图①所示），且AD=CE，求证：①AB⊥AC；②DE=BD+CE．(2)若B，C在直线DE的两侧（如图②所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)AB⊥AC，证明见解析【分析】（1）①由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAEHL，再利用角与角之间的关系求证（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAEHL再利用角与角之间的关系求证【详解】（1）证明：①∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和RtAB=ACAD=CE∴Rt∴∠DBA=∠CAE，AE=BD，∵∠BAD+∠DBA=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∴∠BAC=180°−∠BAD+∠CAE∴AB⊥AC；②∵AD=CE，AE=BD∴DE=AD+AE=CE+BD；（2）解：结论：AB⊥AC．理由：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和RtAB=ACAD=CE∴Rt∴∠DAB=∠ECA．∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．同步过关一、单选题1．（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（

）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC【答案】C【分析】根据三角形全等的判定条件，非直角三角形，已知一角一边，选择合适的判定条件即可．【详解】已知两角一边，符合AAS三角形全等的判定条件，故A可以使△ABC≌△DCB；已知两角一边，符合ASA三角形全等的判定条件，故B可以使△ABC≌△DCB；已知一角两边，其中一角不是夹角，ASS不构成三角形全等的判定条件，故C不可以使△ABC≌△DCB；已知一角两边，其中一角是夹角，符合SAS三角形全等的判定条件，故D可以使△ABC≌△DCB；故选C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，掌握三角形全等的判定条件是解决本题的关键．2．（2022·四川巴中·中考真题）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．∠BAC=90° C．BD=AC D．∠B=45°【答案】A【详解】根据AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°可得Rt△ABD和Rt△ACD全等，四个选项A符合，故选A3．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①③去【答案】C【分析】根据三角形全等的判定定理ASA，即可进行解答．【详解】解：①只能确定三角形的一个角，无法确定三角形的边，无法确定三角形；②不能确定三角形的边和角，无法确定三角形，③确定了三角形的两个角和其夹边，则可确定这个三角形的形状和大小，故应带③去．故选：C．【点睛】本题主要考查了用ASA判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．三角形全等的判定定理有：SSS,SAS,AAS,ASA,HL．4．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E【答案】A【分析】分别从全等三角形的判定“ASA、AAS、SAS”来添加条件，从而得出答案．【详解】∵在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，∴若从“ASA”的判定来添加条件，可添加∠A＝∠D，若从“AAS”的判定来添加条件，可添加∠B＝∠E，若从“SAS”的判定来添加条件，可添加BC＝EF或BF＝EC，故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2022秋·江西赣州·八年级统考期中）下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（）A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′【答案】D【详解】试题分析：根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，逐一检验．考点：全等三角形的判定6．（2023秋·四川内江·八年级校考阶段练习）如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（

）A．AC B．BC C．AB+BC D．AB【答案】D【分析】先证明∠D＝∠B，再根据AAS证明△ACB≌△ECD即可，从而得到答案．【详解】解：如图∵∠AFD＝∠BFC，∠1＝∠2，

∴∠D＝∠B，∵∠2＝∠3，∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD∴∠ACB＝∠ECD，在△ACB和△ECD中，∠ACB=∴△ACB≌△ECD（AAS），∴DE＝AB，故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件以及基本性质，解本题的要点在于证明△ACB≌△ECD，从而得到答案．7．（2022秋·北京·八年级北师大实验中学校考期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（

）A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=4【答案】C【分析】根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．【详解】A.AB=3，BC=4，AC=6，符合全等三角形的判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；B.AB=4，∠B=45°，∠A=60°，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；C.AB=4，BC=3，∠A=30°，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意；D.∠C=90°，AB=8，AC=4，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）如图，AB=DB,∠1=∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是（

）A．∠A=∠D B．∠E=∠C C．∠A=∠C D．BC=BE【答案】C【分析】从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹该角的另一边即可判定其全等，从选项只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其他选项是不能判定两个三角形全等的．【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBE=∠2+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∵AB=DB,∠A=∠D，在△ABE和△DBC中，∠A=∠D,∴△ABE≌△DBCASA∵∠E=∠C，在△ABE和△DBC中，∠E=∠C,∴△ABE≌△DBCAAS∵BC=BE，在△ABE和△DBC中，BE=BC,∴△ABE≌△DBCSASC中条件不能证明△ABE≌△DBC．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握是关键．9．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知AF=CE，BE//DF，那么添加下列一个条件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（）A．∠AFD=∠CEB B．AD//CB C．AE=CF D．AD=BC【答案】B【分析】结合全等的证明方法，对每个选项进行分析即可得出答案．【详解】解：A选项，BE//DF，即可得到∠AFD=∠CEB，故缺少条件，不能判定；B选项，AD//CB，可以得到∠A=∠C，结合题意，BE//DF，可得到∠AFD=∠CEB，以及AF=CE，可以根据ASA判断全等，满足题意；C选项，缺少条件；不满足题意；D选项，SSA，不能判定，不满足题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了全等的判断，熟练其判定方法是解决本题的关键．10．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列条件不能判定是△ABM≅△CDN的是（

）A．∠M＝∠N B．BM∥DN C．AB＝CD D．MB＝ND【答案】D【分析】根据三角形全等的判定定理，有AAS、ASA、SAS、SSS四种．逐条验证．【详解】解：A、由∠M＝∠N，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合ASA，能判定△ABM≅△CDN，故不符合题意；B、由BM∥DN，可得∠ABM＝∠CDN，由AAS能判定△ABM≅△CDN，故不符合题意；C、由AB＝CD，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合SAS，能判定△ABM≅△CDN，故不符合题意；D、由MB＝ND，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，不能判定△ABM≅△CDN，故符合题意；故选D．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．11．（2022·江苏·八年级专题练习）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条边分别相等 B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等 D．有一直角边和斜边上的高分别相等【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【详解】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．【详解】解：在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC∴无法证明△ABE≌选项A说法错误，符合题意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（选项B说法正确，不符合题意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（选项C说法正确，不符合题意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（选项D说法正确，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．13．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直线EF经过AC和BD的交点O，分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论正确的有（）①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤图中全等的三角形有9对．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】D【分析】可以先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质逐个排查即可．【详解】∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，①∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA．在△AOB与△COD中∠BAO=∠DCOAB=CD∴△AOB≌△COD（ASA），①正确；②假设OB＝OC成立，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝∴AC＝∴四边形ABCD是矩形．这与图形矛盾，∠ABC不一定是直角，②错误；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵AB∥CD，∴∠AEO=∠CFO，∠OAE=∠OCF，∵∠AEO=∠CFO，∠OAE=∠OCF，AO=CO，∴△AOE≌△COF（AAS），③正确④将题图中EF绕O旋转一个角度，得到如下图形，符合题意：此时显然OM≠NF，④错误；⑤图中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，△BNE≌△DMF，共计10对全等的三角形，⑤错误．综上所述，正确的结论是：①③，有2个．故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，掌握并灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．14．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−其中结论正确的是（

）．（填写结论的编号）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，∴PM=PD．∵BP是∠ABC的平分线，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN．∵PC=PC，∴△PDC≌△PNC(HL∴∠PCD=∠PCN，故①正确；②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，∴∠BPC=1∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，∴∠BPC=1③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL∴∠APC=1∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，∴∠MPN=180°−∠ABC，∴∠APC=1④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，∴S△PDC=S∵S△APC∴S△APM综上可知正确的有：①②③．故选C．【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】B【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．【详解】解：与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．二、填空题16．（2023秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则________≌△ADC．依据是________，并且BD＝________，∠BAD=________．【答案】△ADBHLCD∠CAD【分析】由AD⊥BC,可得∠ADB=∠ADC=90°，结合AB=AC,AD=AD，利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．【详解】解：∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=AC，AD=AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)，∴BD=CD,∠BAD=∠CAD.故答案为：△ADB，HL，CD，∠CAD.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·全国·八年级统考假期作业）有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成“________”或用字母表示为“________”.【答案】斜边直角边斜边直角边HL【分析】利用HL定理解答即可.【详解】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”.故答案为斜边；直角边；斜边直角边；HL.【点睛】本题考查HL定理，熟练掌握该定理是解题关键.18．（2023秋·云南大理·八年级统考期中）判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，他们可以分别简写成SSS；SAS；______；______；_______.【答案】ASAAASHL【分析】根据全等三角形的判定定理进行填空．【详解】解：判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成SSS；SAS；ASA；AAS；HL．故答案为ASA、AAS、HL．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，已知D,E是ΔABC中BC边上的两点，且AD=AE，请你再添加一个条件：_______，使ΔABD≌ΔACE【答案】BE=CD(∠B=∠C)【详解】试题分析：添加AB=AC⇒∠B=∠C；AD=AE⇒∠ADC=∠AEB，就可以用AAS判定△ABE≌△ACD；添加BD=CE可以用SAS判定△ABE≌△ACD；添加∠B=∠C就可以用AAS判定△ABE≌△ACD；添加∠BAE=∠CAD可以用ASA判定△ABE≌△ACD．所以填AB=AC或BD=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAD．考点：全等三角形的判定．20．（2023春·云南文山·七年级统考期末）如图，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌【答案】∠BAC=∠DAC/∠DAC=∠BAC【分析】已知∠ACB=∠ACD，且有公共边AC=AC，根据“角边角”的判定方法可得答案．【详解】解：添加条件∠BAC=∠DAC．在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌故答案为：∠BAC=∠DAC．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．（2023·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：_____．【答案】答案不唯一，AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC【分析】根据题意和图形可得∠1＝∠2，AB＝AB，然后即可写出使△ABC≌△ABD的一个条件，本题得以解决，注意本题答案不唯一．【详解】解：∵∠1＝∠2，AB＝AB，∴若添加条件AD＝AC，则△ABC≌△ABD（SAS），若添加条件∠D＝∠C，则△ABC≌△ABD（AAS），若添加条件∠ABD＝∠ABC，则△ABC≌△ABD（ASA），故答案为：AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．22．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC．【答案】∠A=∠B【详解】在△AOC和△BOC中，∠A=∠B∠1=∠2∴△AOC≌△BOC(AAS).故答案为∠A=∠B.23．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD,∠A=∠D，请你填一个直接条件，_________，使ΔAFC≅ΔDEB．【答案】∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）【分析】根据全等三角形的判定，可得答案．【详解】解：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．∵∠A=∠D；添加∠ACF=∠DBE，可利用ASA证明ΔAFC≅ΔDEB；添加∠E=∠F，可利用AAS证明ΔAFC≅ΔDEB；添加AF=DE，可利用SAS证明ΔAFC≅ΔDEB；故答案为：∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并选择适当的方法证明是解题关键．24．（2023春·七年级课时练习）如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上．则∠1+∠2=______．【答案】45°/45度【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2即可得出答案．【详解】解：如图所示，由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，∵{AB=EF∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）∴∠3=∠1∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案为：45°【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．25．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝_____时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【答案】10或20【分析】分两种情况：①当AP=BC=10时；②当AP=CA=20时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【详解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：①当AP=BC=10时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB＝PQBC＝AP∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP=CA=20时，在△ABC和△PQA中，AB＝PQA