人教版八年级数学上册重难考点专题05全等三角形单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)

专题05全等三角形单元过关（基础版）考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023秋·全国·八年级期末）全等三角形是（

）A．面积相等的三角形 B．角相等的三角形C．周长相等的三角形 D．完全重合的三角形2．（2018秋·四川·八年级统考期末）如图，点B在AE上，且∠1=∠2，若要使ΔABC≌ΔABD，可补充的条件不能是（

）A．∠C=∠D B．AE平分∠CAD C．BC=BD D．AC=AD3．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2022秋·天津和平·八年级统考期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．如图②，步骤如下：第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N．第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．第三步，画射线OC．射线OC即为所求．下列说法正确的是（）A．a＞0 B．a<12MN C．a5．（2022秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，BC=10，CD=6，则点D到AC的距离为（

）A．4 B．6 C．8 D．106．（2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（

）A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠αC．画线段AB=3cm D．用三角尺过点P作AB7．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于12，则AB的长是（

）A．6 B．10 C．12 D．248．（2022秋·海南三亚·八年级校考期末）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是（

）A． B． C． D．9．（2022秋·八年级课时练习）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜710．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−其中结论正确的是（

）．（填写结论的编号）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023秋·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，两个三角形全等，则∠α等于__________．12．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM=PN，所以OP平分∠AOB，理由是______．13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）角的内部到角两边距离相等的点在_______上．14．（2023秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则∠FAE＋∠AEF的度数是_________．15．（2022春·七年级单元测试）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．16．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．评卷人得分三、解答题17．（2022秋·北京·八年级北京市第九中学校考期中）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证：BE∥DF．18．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期中）如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．19．（2022秋·全国·八年级专题练习）（如图）已知∆ABE≌∆ACD，求证：∠BAD=∠CAE．20．（2022·广东广州·统考二模）如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．21．（2023春·八年级课时练习）如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．22．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．(1)求证：CF=AE；(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．23．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC上一点，AB=BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接(1)若∠C=50°，求∠(2)求证：DE=AD．24．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD，CD=AD，BD平分∠ABC交AC于点P．CE平分∠ACB，交BD于点O，交AB于点（1）试说明：AC平分∠BAD；（2）在BC上截取BF=BE，若∠BOC=120°，则线段BE、BC、CP有何数量关系？请说明理由．25．（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，BC=4cm,AE∥BC,AE=4cm，点N从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度连续做往返运动，点M从点A出发沿线段AE以1cm/s的速度运动至点E．M、N两点同时出发，连结MN,MN与AC交于点D，当点M到达点E时，M、N两点同时停止运动，设点M(1)当t=3时，线段AM的长度=___________cm，线段BN的长度=___________cm．(2)当BN=AM时，求t的值．(3)连接AN，当△ABN的面积等于△ABC面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值．(4)当△ADM≌△CDN时，直接写出所有满足条件的t值．

专题05全等三角形单元过关（基础版）考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023秋·全国·八年级期末）全等三角形是（

）A．面积相等的三角形 B．角相等的三角形C．周长相等的三角形 D．完全重合的三角形【答案】D【分析】根据全等三角形的定义即可求解．【详解】解：全等三角形是指能够完全重合的三角形．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟知全等三角形的定义是解题的关键．2．（2018秋·四川·八年级统考期末）如图，点B在AE上，且∠1=∠2，若要使ΔABC≌ΔABD，可补充的条件不能是（

）A．∠C=∠D B．AE平分∠CAD C．BC=BD D．AC=AD【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法即可依次判断．【详解】A、∵∠1=∠2，∠C=∠D,∴∠CAB＝∠DAB，又AB=AB，根据AAS即可推出ΔABC≌ΔABD，正确，故本选项错误；B、AE平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，又AB=AB，∠1=∠2根据AAS即可推出ΔABC≌ΔABD，正确，故本选项错误；C、∵∠1＝∠2，1＋∠ABC＝180°，∠2＋∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠ABD，又BC=BD、AB=AB，根据SAS即可推出ΔABC≌ΔABD，正确，故本选项错误；D、根据AC=AD和AB=AB，∠ABC＝∠ABD不能推出ΔABC≌ΔABD，错误，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵△ABC≌△AEF，∠B=∠E，∴AC=AF，EF=BC，∠BAC=∠EAF，∠EFA=∠ACF，故①④错误；故②正确；∴∠BAC−∠BAF=∠EAF−∠BAF，∴∠EAB=∠FAC，故③错误；∴正确的个数是1个．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．4．（2022秋·天津和平·八年级统考期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线．如图②，步骤如下：第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N．第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．第三步，画射线OC．射线OC即为所求．下列说法正确的是（）A．a＞0 B．a<12MN C．a【答案】D【分析】由作图可得：为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案.【详解】解：由角平分线的作图可得：a>1故选D【点睛】本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键.5．（2022秋·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，BC=10，CD=6，则点D到AC的距离为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD的长即可．【详解】解：∵BC=10，CD=6，∴BD=4．∵∠B=90°，AD平分∠BAC．由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．故选：A．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AC的距离即为BD长是解决问题的关键．6．（2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（

）A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠αC．画线段AB=3cm D．用三角尺过点P作AB【答案】B【分析】根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图【详解】根据尺规作图的定义，指用没有刻度的直尺和圆规作图，A用量角器画出∠AOB的平分线OC，借助了量角器，不符合题意B借助直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α,符合题意；C画线段AB=3cmD.用三角尺过点P作AB的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．7．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于12，则AB的长是（

）A．6 B．10 C．12 D．24【答案】C【分析】由角平分线的性质可得CD=ED，即可得AC=BC=BE结合三角形的周长即可得△ADE的周长=AC+AE=AB，进而可求解．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=ED，∴BC=BE，∵AC=BC，∴AC=BE，∵△ADE的周长等于10，∴AB=△ADE的周长为AD+ED+AE=AC+AE=BE+AE=10．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形，求得“△ADE的周长=AB”是解题的关键．8．（2022秋·海南三亚·八年级校考期末）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，观察已知三角形与选项中的三角形的边角是否满足SSS或SAS或ASA或AAS即可判断．【详解】解：A、已知的三角形中的两边是两边及两边的夹角，而选项中是两边及一边的对角，故两个三角形不全等，不符合题意；B、已知图形中b是50°角的对边，而选项中是邻边，故两个三角形不全等，不符合题意；C、已知图形中40°角与58°角的夹边是c，而选项中是a，故两个三角形不全等，不符合题意；D、已知图形中，∠C=180°−∠A−∠B=62°，则依据SAS即可证得两个三角形全等，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．（2022秋·八年级课时练习）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7【答案】D【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解．【详解】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，延长BD至E，使DE=BD=x，在△ADE和△CDB中，AD=CD∠ADE=∠CDB∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=BC=9，又AB=5，∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，∴9－5＜BE＜9+5，∴4＜2x＜14，∴2＜x＜7，故选：D．【点睛】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．10．（2022秋·山东德州·八年级校考期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°−其中结论正确的是（

）．（填写结论的编号）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明△PDC≌△PNC即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN−12∠ABC，再根据三角形外角性质，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)−12∠ABC=12∠BAC【详解】解：①过点P作PD⊥AC，如图，∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，∴PM=PD．∵BP是∠ABC的平分线，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN．∵PC=PC，∴△PDC≌△PNC(HL∴∠PCD=∠PCN，故①正确；②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC∵∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，∠PCB=180°−∠PCN，∴∠BPC=1∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，∴∠BPC=1③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易证△PMA≌△PDA(HL∴∠APC=1∵∠PMB=∠PNB=90°，四边形内角和为360°，∴∠MPN=180°−∠ABC，∴∠APC=1④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，∴S△PDC=S∵S△APC∴S△APM综上可知正确的有：①②③．故选C．【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023秋·宁夏固原·八年级校考阶段练习）如图，两个三角形全等，则∠α等于__________．【答案】58°．【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠α=58°．【详解】解：如图所示：∵两个三角形全等，∴∠α=58°，故答案为：58°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．12．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM=PN，所以OP平分∠AOB，理由是______．【答案】角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．13．（2022秋·江苏·八年级专题练习）角的内部到角两边距离相等的点在_______上．【答案】角的平分线【分析】根据角平分线性质的逆定理解答即可．【详解】∵角平分线性质的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上∴答案为角的平分线故答案为角的平分线．【点睛】本题考查了角平分线性质的逆定理，熟练记忆定理是本题的关键．14．（2023秋·河南许昌·八年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则∠FAE＋∠AEF的度数是_________．【答案】120°【分析】∠FAE+∠AEF可转化为∠FAE+∠EBC+∠C，由∠EBC=∠BAD，所以又可转化为∠FAE+∠BAD+∠C，进而可求解．【详解】在等边△ABC中,∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，则∠FAE+∠AEF=∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C=60°+60°=120°.【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定(SAS)和性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定(SAS)和性质.15．（2022春·七年级单元测试）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=_____°．【答案】135【分析】如图，利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．【详解】解：标注字母，如图所示，在△ABC和△DEA中，AB=DE∠ABC=∠DEA=90°∴△ABC≌∴∠1=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，又∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故答案为：135．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．16．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．【答案】2或6/6或2【分析】设点P运动时间为t秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出CP=CQ，列出关于t的方程，求解即可．【详解】解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边CP=CQ，分两种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，图1∵AP=t，BQ=2t，∴CP=AC−AP=8−t，CQ=BC−BQ=10−2t，∵CP=CQ，∴8−t=10−2t，∴t=2；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，图2∵CP=AC−AP=8−t，CQ=2t−10，∴8−t=2t−10，∴t=6；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，故答案为：2或6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．评卷人得分三、解答题17．（2022秋·北京·八年级北京市第九中学校考期中）如图，点A，C，B，D在同一直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证：BE∥DF．【答案】见解析【分析】求出AB=CD，证△ABE≌△CDF，推出∠ABE=∠D即可．【详解】证明：∵AC=BD，∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD．在△ABE与△CDF中，AE=CFAB=CD∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠D，∴BE∥DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．18．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期中）如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．【答案】见解析【分析】利用AAS证明△ACE≌△ABF，即可解决问题．【详解】证明：∵CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∴CE＝BF，∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF﹣∠EAF＝∠BAE﹣∠EAF，∴∠CAE＝∠BAF，在△ACE和△ABF中．∠C=∠B∠CAE=∠BAF∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACE≌△ABF．19．（2022秋·全国·八年级专题练习）（如图）已知∆ABE≌∆ACD，求证：∠BAD=∠CAE．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的对应角相等证明．【详解】解：证明：∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．20．（2022·广东广州·统考二模）如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．【答案】见解析【分析】直接利用SAS判定△ADC≌△BEC全等即可．【详解】∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，在△ADC和△BEC中，AC＝∴△ADC≌△BEC（SAS）∴DC＝EC．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握SAS定理．21．（2023春·八年级课时练习）如图所示，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．【答案】见详解【分析】过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，然后易得PE=PD=PF，进而根据角平分线的判定定理可求证．【详解】证明：过点P作PD⊥MB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BN于点F，如图所示：∵AP平分∠MAC，∴PE=PD，同理可证：PE=PF，∴PD=PE=PF，∴BP平分∠MBN．【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定定理，熟练掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．22．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．(1)求证：CF=AE；(2)若AE=3，BF=4，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）由角平分线的性质可得DE=DC，证明Rt△AED（2）证明△BED≌△BCDAAS，可得BE=BC【详解】（1）证明：（1）∵∠C=90°，∴DC⊥BC，又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC，∠AED=90°，在Rt△AED和Rt∵AD=DFDE=DC∴Rt△AED∴CF=AE．（2）解：由（1）可得CF=AE=3，∴BC=BF+CF=4+3=7，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠DEB=∠C，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△BED和△BCD中，∵∠DEB=∠C∠EBD=∠CBD∴△BED≌∴BE=BC=7，∴AB=BE+AE=7+3=10，∴AB的长为10．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．23．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC上一点，AB=BE，连接AE，BD是∠ABC的角平分线，交AE于点F，交AC于点D，连接(1)若∠C=50°，求∠(2)求证：DE=AD．【答案】(1)20°(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可解决问题；（2）证明△ABD≌△EBD(SAS【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠∵∠∴∠∵AB=BE，BD是∠ABC∴BD⊥AE，∠ABD=∠CBD=1∴∠∴∠∴∠（2）证明：在△ABD和△EBD中，AB=EB∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD(SAS∴AD=ED．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．24．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD，CD=AD，BD平分∠ABC交AC于点P．CE平分∠ACB，交BD于点O，交AB于点（1）试说明：AC平分∠BAD；（2）在BC上截取BF=BE，若∠BOC=120°，则线段BE、BC、CP有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）BC=【分析】（1）由CD=AD得到∠DAC=∠DCA，再根据平行线的性质得到∠BAC=∠DCA，从而得到∠BAC=∠DAC；（2）先证明△BOE≅△BOF得到∠BOE=∠BOF，再证明∠POC=∠FOC=60°，接着证明△POC≅△FOC得到CP=CF，从而得到BC=BF+CF=BE+CP．【详解】解：（1）∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA，∵AB//∴∠BAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，故答案为：AC平分∠BAD；（2）B