2024年浙江省杭州市中考数学三模练习试卷及答案

2024年浙江省杭州市中考数学三模练习试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共10题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．．D．2.80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A.8.810×4B.8.08×104C.8.8×1058.08×10D.53.某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60则劳动实践小组有（）A．75人B．90人C．108人D．150人AB4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O∠AOB=60°．若，则=（）BC−331231A.B.C.D.2234.如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S，S，S中的两个，123能让两个小灯泡同时发光的概率为（）1611223A．B．C．D．35.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，∠C=42°AB=60BC）现测得A88，∠=°，，则点A到的距离为（60sin50°A．60sin50°B．C．60cos50°60tan50°D．7.2024年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1艘大船可以满载游客的人数为（）A．15B．16C．17D．19y1)，﹣2，yy3y=−3x−12x+m上的点，则（28.已知(3，，(1，)是抛物线）2A．3<2<1B．y<y<y312C．y<y<y231y<y<yD．1329.如图，四边形ABCD内接于O，，AC⊥BD．若∠AOD=120°，AD=3，则CAO的度数与∠BC的长分别为（）A．°，1B．°，2C．°，1D．°，210.ABCD与正方形EFGH，DHHK连结DH并延长交AB于点，若DF平分CDK，则∠=（）2336545A．B．C．5−1D．76个小题，每小题4分，共24分）11.要使式子x3有意义，则x可取的一个数是__________．−12.分解因式：2x2−8=______．13.如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150，°π假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm（结果保留n14.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和2若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n=_________．5k(>)的图像上，点C在反比例函数yx0的图像上，=(>)15.如图，点A，B在反比例函数y=x0xx连接AC，BC，且AC//x轴，BC//y轴，=．若点A的横坐标为，则k的值为．16.，在矩形纸片中，AB=12AD=10E是的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点AE重合，折痕为，′连接、；如图，第二次折叠纸片使点NE重合，点BB处，折痕为，连接tanEHG∠=．7个小题，共66分）1a+24+=3+2．小明解答过程如图，17.先化简，再求值：，其中aa−42请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．1a+24)−4+a2−4)①=a2原式a−42=a−2+4②=a+2③当a=3+2时，原式=3+4．18.是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．19.如图，在四边形ABCD中，AB∥CDBD上取两点EFDF=BE，连接,．(1)若AECF，试说明△CDF；(2)在（1）的条件下，连接，CE，试判断与CE有怎样的数量关系，并说明理由．y=x+420.如图，一次函数的图象与y轴交于点C，k与反比例函数y=的图象交于B(−m)，A(n)两点．x(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；(2)OA、，求OAB的面积；(3)在x轴上找一点PPA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．21.某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔CD的高度，已知信号塔与斜坡AB的坡顶B在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为45，°然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AB爬行了米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为66．°（参考数据：sin660.91，，）cos66°≈0.41tan66°≈2.25°≈(1)求坡顶B到地面AE的距离；(2)求联通信号发射塔CD的高度（结果精确到122.如图，抛物线yax=2+bxc经过点，，．+(−0)B0)C(0,−(1)求抛物线的解析式；(2)P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为SS的最大值并求此时点P的坐标．(3)设抛物线的顶点为，DEx轴于点Ey轴上确定一点，使得△ADM是直角三角形，写出所有⊥符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．23.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠＝α，请用含α的代数式表示∠E．，四边形ABCD的外角平分线交⊙O，连结BF（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝ADBD并延长交的延长线于点E．求证：∠BEC是△中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（）的条件下，连结，AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若＝，＝，求△DEF的面积．24.如图1，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点．将ABE沿折叠，使点A落在点F处，连结DF．(1)求证：∠BEF=∠DFE．DFDG(2)，延长DF交BC于点，求的值．(3)，将CDG沿DG折叠，此时点C的对应点H恰好落在BE上．1若记△BEF和DGH重叠部分的面积为S，正方形ABCD的面积为S，求的值．S2122024年浙江省杭州市中考数学三模练习试卷解析（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共10题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．．D．【答案】B【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得．【详解】解：从左边看，可得如选项B所示的图形，故选：B2.80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A.8.810×4B.8.08×104C.8.8×1058.08×10D.5【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】808008.08104．=×故选：B．3.某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60则劳动实践小组有（）A．75人【答案】BB．90人C．108人D．150人【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．【详解】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%=300，劳动实践小组有：300×30%=90人，故选：B．ABBC4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O．若∠AOB=60°，则=（）−3231231A.B.C.D.23【答案】D【解析】11====BD==则有等边三22角形，即∠BAO=60°，然后运用余切函数即可解答．ABCD【详解】解：∵四边形是矩形，11∴====BD=，22∴，=∵AOB60，∠=°∴是等边三角形，∠BAO=60°∴，∴ACB906030，∠=°−°=°AB3∵tanACB∠==tan30°=D正确．BC3故选：D．4.如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S，S，S中的两个，123能让两个小灯泡同时发光的概率为（）16131223A．B．C．D．【答案】D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，2613=∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；故选：D．5.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得A88，∠=°∠C=42°AB=60，，则点A到BC的距离为（）60sin50°A．60sin50°B．C．60cos50°60tan50°D．【答案】A【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作ADBC，根据三角形内角和定理得到⊥∠B=180°−∠C−∠BAC=50°，结合正弦的定义求解即可得到答案【详解】解：过A作ADBC，⊥，∠A88，∠C=42°=°∵，∴∠B=180°−∠−∠CBAC50，=°∵ADBC，⊥AB=60，ADAD∴sin∠B=sin50°==，AB60∴AD60sin50，=°故选：A．7.2024年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1艘大船可以满载游客的人数为（）A．15B．16C．17D．19【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘60xy大船与1艘小船一次共可以满载游客26人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，xy【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，2x+3y=60依题意得：x+y=26，x=18解得：y=8，即1艘大船可以满载游客的人数为18人，故选:D．y1)，﹣2，yy3y=−3x−12x+m上的点，则（28.已知(3，，(1，)是抛物线）2A．3<2<1B．y<y<y312C．y<y<y231y<y<yD．132【答案】B【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．12×(−3)==−2，【详解】解：抛物线y=−3x2−12xm的对称轴为+x2∵−3<0，∴x<2是y随x的增大而增大，−x>−2是y随x的增大而减小，yy3又∵﹣3，)比，)距离对称轴较近，1∴3<1<y，2故选：B．9.如图，四边形ABCD内接于O，，AC⊥BD．若∠AOD=120°，AD=3，则CAO的度数与∠BC的长分别为（）A．°，1【答案】CB．°，2C．°，1D．°，2【分析】过点O作OE⊥AD于点，由题意易得CAD∠=∠ADB45=°=∠CBD=∠BCA，然后可得113∠OAD=∠ODA=30°∠ABD=∠ACD=∠AOD=60°=AD=，，AE，进而可得22212CD=OC=2,CF=CD=，最后问题可求解．22【详解】解：过点O作OE⊥AD于点E，如图所示：∵，∴CBD∠=∠ADB，∵∠CBD=∠CAD，∴CAD∠=∠ADB，∵ACBD，⊥∴AFD90，∠=°∴CAD∠=∠ADB45=°=∠CBD=∠BCA，∵AOD120，∠=°OA=OD，AD=3，1123∠ABD=∠ACD=∠AOD=60°=AD=∴OAD∠=∠=∠ODA30，=°，AE，22AEcos30°∴CAO∠CAD−∠OAD15，=°OA==1=OC=OD∠BCD=∠BCA+∠ACD=105°，，∠COD=2∠CAD=90,∠CDB=180°−∠BCD−CBD=30°∴，12∴CD=OC=2,CF=CD=，22∴BC=CF=1；故选．10.ABCD与正方形EFGH，DH连结DH并延长交AB于点，若DF平分CDK，则∠=（）HK2336545A．B．C．5−1D．7【答案】C【分析】过点K作KM⊥AH，设DE=，AEb，先证得KHA=∠=∠KAH，可得KHKA，再证=HEDEb−aab5+1==，解出b=EHD~EDA，可得，即a，再证HEDHMK，列比例式求解即DEAEa2可．【详解】解：过点K作KM⊥AH，设DE=，AEb，=∵DF平分CDK，∠∴CDF∠=∠EDH，得到正方形ABCD与正方形EFGH，∴CDF∠=∠ABHDEAH，=，∠DEA=∠EHB，∴DF∥HB，∴∠EDH=∠BHK，∴∠KBH=∠KHB，∴KH=KB，∵AHB90，∠=°∴KBH∠+∠KAH90=，∠KHB+∠KHA90，=°∴∠KHA=∠KAH，∴KH=KA，1212∴HM=AH=a，∵HED∠=∠DEA，∠HDE=∠EAD，∴EDA，HEDE=∴即，DEAEb−aab=，a5+1解得：b=a，2∵DE∥KM∴HEDHMK，5+1a−aDHEHb−a2====5−1，∴HKHM1212aa故选：C6个小题，每小题4分，共24分）11.要使式子x3有意义，则x可取的一个数是__________．−【答案】如4等（答案不唯一，x3）≥【解析】【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子x3有意义，−∴x﹣≥，∴x≥，∴x≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，x3．≥12.分解因式：2x2−8=______．【答案】2(x+2)(x−2)【解析】【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．(−4=2x+2x−2))()(2x2−8=2x2【详解】解：，2x+2x−2)．故答案为：()(13.如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150，°π假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm（结果保留20π【答案】3【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为150的弧长即可．°【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为150所对应的弧长，°π×820π=即，180320π故答案为：．3n14.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和2若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n=_________．5【答案】9【解析】【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．25从中任意摸出一个球是红球的概率为，66+n25∴=，6×5=26+n)，(去分母，得解得n=9，经检验n=9是所列分式方程的根，∴n=9，故答案为：9．k(>)的图像上，点C在反比例函数yx0的图像上，=(>)15.如图，点A，B在反比例函数y=x0xx连接AC，BC，且AC//x轴，BC//y轴，=．若点A的横坐标为，则的值为k．【答案】36【分析】先求解A的坐标，再表示C的坐标，利用ACBC,B的坐标，=12再利用B在y=的图像上，列方程解方程即可得到答案．x12A的横坐标为2，且在y=的图像上，x12∴yA==2A2,6,∴()AC=BC,AC//x轴，kk∴C,6,BC=AC=−66k6k∴yB=6−−2=8−,6kk6∴B,8−,6B在k12y=的图像上，xk∴8−=66k12k∴(−)(−36)=∴1=12k=2故答案为：36.16.，在矩形纸片中，AB=12AD=10E是的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点AE重合，折痕为，′连接、；如图，第二次折叠纸片使点NE重合，点BB处，折痕为，连接tanEHG=∠．5【答案】3【分析】根据折叠的性质可知∥HG，H是的中点，EH是RtMEN斜边上的中线，故有∠EHG=∠AMNDM=xAM=10−xRt△DEM=−DM，设，则，在中，由勾股定理得DE2ME22，可求16DMDEDM,AM的值，如图，作NP⊥DC，四边形ANPD是矩形，DEMPNE，有=6，即5=PEPNPE10AN可求PE的值，进而可求AN的值，根据tanAMN∠=，求tan∠AMN的值，进而可求tan∠EHG的值．AM【详解】解：由折叠的性质可知∠MEN=90°，AMN∠=∠EMN，MEAM，=EN=AN，HG是线段EN的垂直平分线∴HGEN，⊥HN=HE∴∥HG∴H是的中点∴EH是RtMEN斜边上的中线∴HME∠=∠HEM=∠EHG∴EHG∠=∠AMN设DMx，则=AM=10−x=10−x)2−x2在Rt△DEM中，由勾股定理得DE2=ME2−DM即62216解得x=5345∴AMADDM=−=如图，作NP⊥DC∵NPE∠=∠EDM=∠A=90°∴四边形ANPD是矩形∵DME∠+∠DEM=∠DEM+∠PEN90°=∴DME∠=∠PEN∴DEMPNE16即5DMDE=6∴=PEPNPE1016解得PE=3343∴ANDEPE==+343ANAM3453∴tanAMN∠====55∴tanEHG∠35故答案为：．37个小题，共66分）1a+24+=3+2．小明解答过程如图，17.先化简，再求值：，其中aa−42请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．1a+24)−4+a2−4)①=a2原式a−42=a−2+4②=a+2③当a=3+2时，原式=3+4．【答案】错误步骤的序号是①，过程见解析【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【详解】解：错误步骤的序号是①．1a+24−4+a2a−24=+(a+2)(a−2)(a+2)(a−2)a+2(a+2)(a−2)==1；a−213当a=3+2时，原式==．3+2−2318.是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．1），2（2）72°34）见解析，4）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；（2）根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部所在扇形的圆心角；（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．）调查的总人数为：10÷25%=40，∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，∴本次调查所得数据的众数是1部，∵2+14+10=26＞，2+14＜20，∴中位数为2故答案为：1，28×360?=72?（2）扇形统计图中部所在扇形的圆心角为：40故答案为：72°.（32部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人补全统计图如图所示．（4A，D，画树状图可得：414∴P==由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．(选中同一部)161故答案为：．419.如图，在四边形ABCD中，AB∥CDBD上取两点EFDF=BE，连接,．(1)若AECF，试说明△CDF；(2)在（1）的条件下，连接，CE，试判断与CE有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】(1)详见解析(2)AFCE，详见解析=）根据AB∥CD，AE∥CF得到ABD∠=∠BDC，∠AEB=∠DFC，由证明全等即可．（2）由全等的性质得到ABCD=SAS证明≌，即可得到答案．△ABFCDEAB∥CD，∴∠ABD=∠BDCAE∥CF，，∴∠AEB=∠DFC，∴在ABE和CDF中，∠ABE=∠CDFBE=DF∠AEB=∠CFD，∴△()；（2）AFCE=证明：连接、CE，△ABECDF由（）可知∴AB=CD，△ABF和CDE中在AB=CD∠ABD=∠CDBBF=DE∴△ABF≌△CDE∴AF=CE．kxy=x+4y=B(−m)An,1()20.如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；(2)OA、，求OAB的面积；(3)在x轴上找一点PPA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．3B(−3)(−)y=−；【答案】、A1x(2)45−,0(3)2）把B(−)()m，An,1两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出mnB的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；S△AOB=△AOC−△BOC（2）求得C的坐标，然后根据求得即可；（3B点关于x轴的对称点′，连接AB′交xP点，则B′(−−)，3，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．）解：把B(−y=x+4)()，m，An,1两点的坐标代入得m=−1+4=3，n+4=1，解得n=−3，则B(−把B(−)(−)3、A1，kx)=k=−3×1=−3，3代入y，得3∴反比例函数的表达式为y=−；xy=x+4（2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，()∴C4，∴OC4，=∵B(−)(−)3、A1，121∴SAOBSAOCSBOC=−=××−××=43414；2（3）解：作B点关于x轴的对称点B，连接AB交xP点，则B′(−−3)，′′+=′+′，=∵PAPBPBPAAB∴此时PA+PB的值最小，nm0y=+(≠)′设直线的解析式为，−m+n=−3′(−−)，3(−)y=mx+n的坐标代入，得BA1把点，，−m+n=1m=−2解得n=−5，′y=−−5，∴直线的解析式为52当y=0时，0=−2x−5，解得：x=−，5−,0∴点P的坐标为2．21.某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔CD的高度，已知信号塔与斜坡AB的坡顶B在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为45，°然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AB爬行了米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为66．°（参考数据：sin660.91，，）cos66°≈0.41tan66°≈2.25°≈(1)求坡顶B到地面AE的距离；(2)求联通信号发射塔CD的高度（结果精确到1【答案】(1)B到地面AE的距离为10米；(2)联通信号发射塔CD的高度约为25米．BF5）过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据已知可=，AF12中，利用勾股定理进行计算即可解答；BD=FG从而可设BF5x米，则=AF=12x米，然后在RtABF（2）延长CD交AE于点G，根据题意可得：BFDG10米，==，然后设BDFGx米，则AG=(x+24)米，==在RtBDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而求出CG的长，最后在RtACG中，利用锐角三角函数的定义可AGCG，=x从而列出关于的方程，进行计算即可解答．）解：过点B作BF⊥AE，垂足为F，斜坡AB的坡度为1：2.4，BF15∴==，AF2.412∴==设BF5x米，则AF12x米，在RtABF中，AB=26米，AB=AF2+BF2=12x)2+(5x)=13x213x=26，∴x=2，∴BF=10=米，AF24米，∴坡顶B到地面AE的距离为10米；（2）解：延长CD交AE于点G，由题意得：BFDG10米，==BD=FG，AG=AF+FG=(x+24)设BDFGx米，则==米，在RtBDC中，CBD66，∠=°∴CD=BD⋅tan66°≈2.25x∴CGCDDG=+=(2.25x10)+米，在RtACG中，CAG45，∠=°CG∴tan45°=∴CG=AG=1，AG，∴2.25x+10=x+24，解得：x11.2，=∴CD=2.25x=25.2≈25∴联通信号发射塔CD的高度约为25米．22.如图，抛物线yax=2++(−0)B0)C(0,−bxc经过点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为SS的最大值并求此时点P的坐标．(3)设抛物线的顶点为，DEx轴于点Ey轴上确定一点，使得△ADM是直角三角形，写出所有⊥符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】(1)y(2)S有最大值=x2+2x−327832154，此时点P的坐标为(−,−)；37(3)点M的坐标为(0,)或(0,)或−(0,−(0,−或，过程见解析．22）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；ACAC的解析式，设P点坐标为xN（2）过点P作轴的垂线，交(x,x+2x−，根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S=S+S就可以表示出∆PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；于点，先运用待定系数法求出直线2（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标(0,t)为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．抛物线yax=2+bxc经过点，，，+(−0)B0)C(0,−9a−b+c=0a=1∴a+b+c=0b=2．，解得c=−3c=−3∴抛物线的解析式为：yx22x3；=+−xAC于点．N（2）如图，过点P作轴的垂线，交设直线AC的解析式为ykxm，由题意，得=+−k+m=0m=−3k=−1，解得，m=−3∴y=−x−3．直线AC的解析式为：设P点坐标为(x,x2+−N(x,−x−2x，则点的坐标为，∴=−=−(xS=S+S2+2x−+(−x−=−x−3x．2，11338∴S==×−x2−3x)=−(x+)2+，222232278∴=−当x时，S有最大值，233154此时y=x2+2x−3=−+2×−−3=−22，3215此时点P的坐标为(−,−)；4y（3）解：在轴上存在点M，能够使得∆ADM是直角三角形．理由如下：y=x2+2x−3=(x+−4，2∴(−−4)顶点D的坐标为，(−0)，∴AD2=(−1+2+(−4−0)=20．2设点M的坐标为(0,t)，分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3由勾股定理，得AM2+AD2=DM，2即(0+2+(t−0)2+20(0=+2+(t+4)，23解得t=，23所以点M的坐标为(0,)；2②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM，2即(0+2+(t+4)2+20(0=+2+(t−0)，272解得t=−，7所以点M的坐标为(0,)；−2③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD22，即(0+2+(t−0)2+(0+2+(t+4)=20，解得t=−1或−3，所以点M的坐标为(0,或−(0,−；37综上可知，点M的坐标为(0,)或(0,)或−(0,−(0,−或．2223.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠＝α，请用含α的代数式表示∠E．，四边形ABCD的外角平分线交⊙O，连结BF（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝ADBD并延长交的延长线于点E．求证：∠BEC是△中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（）的条件下，连结，AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若＝，＝，求△DEF的面积．25912）∠E＝3）①∠AED45°；②）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+FBC=180°，得出∠FDE=FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=FAD，证明△FDE≌△（AASDE=DA，则∠∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；AEAG=②过点A作⊥BE于点，过点F作⊥CE于点，证得△EGA∽△ADC，得出，求出ACCDADAC455，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52（）2x=，求出，，由等腰直3角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案．）∵BE平分∠ABC，平分∠ACD，121212∠A=∴∠＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABCα，（2）如图1，延长T，∵四边形FBCD内接于⊙，∴∠FDC+FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，，∵=ADBD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图，连接，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDAFD，∴△FDE≌△FDA（AAS∴DEDA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∴∠AED+DAE＝°，∴∠AED＝∠DAE＝°，②如图3，过点A作AG于点G，过点F作FM于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∵BEABC，12∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC45°，∵∠AED＝∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝°，∴△EGA∽△ADC，AEAG=∴，ACCD2∵在△ABG中，＝=42，2在△ADE中，AE＝2AD，ADAC45∴，在△ADC中，AD22，2∴设＝，＝，则有（）22＝（），25∴x＝，3203∴EDAD＝，353∴CECD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FCFE，∵FMCE，35612∴EM＝CE＝，5∴DMDEEM＝，6∵∠FDM＝5∴FMDM＝