高考数学一轮复习：指数与指数函数（讲义）（原卷版+解析）

第04讲指数与指数函数

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)理解有理数指数幕的含义，了从近五年的高考情况来看，指数

解实数指数基的意义，掌握指数幕的运算与指数函数是高考的一个

运算性质.重点也是一个基本点，常与二次

2022年甲卷第12题，5分

(2)通过实例，了解指数函数的实函数、募函数、对数函数、三

2020年新高考n卷第H题，5分

际意义，会画指数函数的图象.角函数综合，考查数值大小的

(3)理解指数函数的单调性、特殊比较和函数方程问题.

点等性质，并能简单应用.

根式的定义

指数与指数函数

―夯基•必备基础知识梳理

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果无"=口，那么x叫做。的"次方根，其中(〃>1,neN"),记为布，〃称为根指数，。称

为根底数.

(2)根式的性质：

当”为奇数时，正数的"次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的“次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是基运算中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，

塞运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数累的分类

〃个

①正整数指数累"=。。心(〃eN*)；②零指数幕。°=1(。#°)；

③负整数指数幕或"=4(。*0,〃eN*)；④0的正分数指数累等于0,0的负分数指数嘉没有意义.

a

(5)有理数指数哥的性质

①暧a"=a'"+"(a＞0,加,〃w。)；②(4')"=暧"(。＞0,m,ncQ)；

___m

③(ab)"'=a"'b"'(a＞0,b＞0,m&Q)■④"m，〃e。).

2、指数函数

y=优

0<«<1a>l

图

象

o|1

性①定义域R,值域(。，+8)

质②“。=1,即时x=O,y=l,图象都经过(0，1)点

@ax=a,即x=l时，V等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤尤<0时，ax>1;x>0时，0<ax<1X<0时，0<优<1;%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分和两种情形讨论.

(2)当0＜。＜1时，xf+oo,y—o；。的值越小，图象越靠近'轴，递减的速度越快.

当。＞1时xf+8,y-o；。的值越大，图象越靠近丫轴，递增速度越快.

(3)指数函数y=优与y=(-)x的图象关于y轴对称.

a

一提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

、"+3

【例1】（2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）

【对点训练1】（2023•全国•高三专题练习）下列结论中，正确的是（

A.设。>。，则於廿二“B.若〃/=2,则加=土蚯

C右。+。,=3,则.5+°2=±逐D.=2—71

【对点训练2】（2023•全国•高三专题练习）A22

B.2+71C.4一兀D.6—71

【对点训练3】（2023•全国•高三专题练习）甲、乙两人解关于x的方程2，+。・2-'+0=0,甲写错了常数。,

17

得到的根为x=-2或X=log21,乙写错了常数C,得至IJ的根为1=0或%=1,则原方程的根是（）

A.x=-2^x=log23B.x=—1或尤=1

C.x=0或x=2D.X=—1或九=2

【对点训练4】（2023•全国•高三专题练习）若关于x的方程9"+3同-根+1=0有解，则实数加的取值范围是

（）

5

A.(l,+°o)—,+coC.(-00,3]D.(1,3]

4

【对点训练5】（2023•上海青浦•统考一模）不等式：的解集为.

【对点训练6】（2023•全国•高三专题练习）不等式10,-6工-3工21的解集为.

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如a"''=6,aM>b,。/⑺<6的形式常用“化同底”转化，再利用指

数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如片"+及r'+c=0或1x+&f+C摩）（0）的形式，可借助

换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】（多选题）（2023•全国•高三专题练习）函数/（"=2'+=（awR）的图象可能为（）

【对点训练7】（2023•全国•高三专题练习）已知了⑶=，3?+2如-"—1的定义域为R,则实数a的取值范围

是______

【对点训练8】（2023•宁夏银川•校联考二模）已知函数/（力=4'-2A2—1,xe［0,3］,则其值域为.

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（力="（a＞0,awl）在［L2］内的最大值是最小值的两

I"；丁1’则g

倍，且g（x）=+g伫）=

log3x-l,0<x<lI

【对点训练10］（2023•全国•高三专题练习）函数y=（a-2＞就是指数函数,则（）

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.。〉0且awl

【对点训练11】（2023•全国•高三专题练习）函数〃耳=（产-6）2的大致图像如图，则实数a,b的取值只可

B.a>0,0<b<}

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

【对点训练12］（2023•全国•高三专题练习）己知函数/（元）="一4+1（。＞0且awl）的图象恒过定点A,

io

若点A的坐标满足关于x,y的方程痛+利=4（根>0,〃>0）,则_*_+二的最小值为（）

mn

A.8B.24C.4D.6

【对点训练13】（多选题）（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”

使用的公式是匕=片（1+灯”伏>-1）,其中匕为预测期人口数，益为初期人口数，%为预测期内人口年增长

率，〃为预测期间隔年数，则（）

A.当左则这期间人口数呈下降趋势

B.当左则这期间人口数呈摆动变化

C.当上=$勺226时，”的最小值为3

D.当左=-g，e,wg此时，”的最小值为3

【对点训练14】（多选题）（2023•山东聊城•统考二模）已知函数=则（）

A.函数〃x）是增函数

B.曲线y=/（x）关于对称

C.函数的值域为

D.曲线y=〃x）有且仅有两条斜率为g的切线

【解题总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质

找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

【例3】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=2",%£R,若不等式尸（%）+/（%）一根>。在R上恒成立，

则实数m的取值范围是.

,X—r）~x/\

【对点训练15】（2023•全国•高三专题练习）设/（x）=三二，当xeR时，/+如）+/⑴>0恒成立,

则实数m的取值范围是.

【对点训练16］（2023•全国•高三专题练习）已知不等式4，-少2工+2>0,对于ae（ro,3］恒成立，则实数x

的取值范围是.

【对点训练17](2023•全国•高三专题练习)若xe[-L,+s),不等式平-巾2工+1>0恒成立，则实数加的取

值范围是.

【对点训练18](2023•上海徐汇•高三位育中学校考开学考试)已知函数〃x)=油是定义域为R的奇函

数.

(1)求实数6的值，并证明/(x)在R上单调递增；

(2)已知a>0且。片1,若对于任意的4、都有〃%)+；2°廿恒成立，求实数。的取值范围.

【解题总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

题型四：指数函数的综合问题

171

【例4】(2023•全国•合肥一中校联考模拟预测)已知函数/(X)==^+k^+l+―7,则不等式

'/2、+24x-4x-1

〃2x+3)>/(f)的解集为()

A.(―2,l)u(l,y)B.(-1,1)L(3,-B»)

C.1川(3,+⑹D.(-3,1)(3,")

【对点训练191(2023.上海浦东新.华师大二附中校考模拟预测)设.若函数y=/⑺的

I2—U2)

定义域为(f/)一(l,4w),则关于x的不等式">f(a)的解集为.

【对点训练20](2023•河南安阳•统考三模)已知函数〃无)=6+苗[(“>0)的图象关于坐标原点对称，则

a+b=.

【对点训练211（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知/（%）是定义在R上的偶函数，且当x20时，/（x）=e",

则满足“x+1），f（x）的龙的取值范围是

____o

【对点训练22】（2023・河南信阳・校联考模拟预测）已知实数。，8满足半+2a=3,log?炳工+〃=§，则

3]

a+—b=.

2----------------

【对点训练23】（多选题）（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考二模）点加（石,%）在函数y=e，的图象上,

当百40,1）,则£可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

1.(2022.全国.统考高考真题)9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

2.(2022•北京•统考高考真题)已知函数〃无)=「二，则对任意实数x,有()

1+2

A./(-x)+/(%)=0B./(T)-/(X)=0

c./(-x)+/(x)=lD./(-%)-/(%)=1

3.(2020•山东.统考高考真题)已知函数y=〃x)是偶函数，当xe(0,+◎时，y="(0<a<l),则该函数

在(一*0)上的图像大致是()

第04讲指数与指数函数

目录

考点要求考题统计考情分析

(1)理解有理数指数幕的含从近五年的高考情况来看，

义，了解实数指数塞的意义，指数运算与指数函数是高

掌握指数幕的运算性质.考的一个重点也是一个基

2022年甲卷第12题，5分

(2)通过实例，了解指数函数本点，常与二次函数、塞函

2020年新高考II卷第11题,

的实际意义，会画指数函数的数、对数函数、三角函数综

5分

图象.合，考查数值大小的比较

(3)理解指数函数的单调性、和函数方程问题.

特殊点等性质，并能简单应用.

根式的定义

指数与指数函数

定点

―夯基•必备基础知识梳理

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果无'="，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,neN*),记为折，”称

为根指数，。称为根底数.

(2)根式的性质：

当“为奇数时，正数的"次方根是一个正数，负数的“次方根是一个负数.

当“为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是基运算a"(aNO)中的一个参数，a为底数，〃为指数，指数位于

底数的右上角，幕运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数累的分类

〃个

①正整数指数暴d.a(〃eN*)；②零指数累。°=1("°)；

③负整数指数塞，'=5(。*0,neN*)；④0的正分数指数事等于0,0的负分数指

数募没有意义.

(5)有理数指数塞的性质

①暧优=""+0(。>0,m,n&Q).②(a‘")"="""(〃>0,m,〃e。)；

@(ab/1=ambm(a>0,b>0,m^Q)-④武=/(a>0,"l,n&Q).

2、指数函数

y=ax

0<a<la>l

图

V

象

o\1Xo\1X

性①定义域R,值域(0,+8)

质②a0=l,即时x=0,y=l,图象都经过(0，D点

@ax=a,即x=l时，V等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤xvO时，ax>1;x>0时，0<ax<1xvO时，%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1"两种情形讨论.

(2)当0<a<l时，xf+00，y_>o；。的值越小，图象越靠近'轴，递减的速度越快.

当。>1时xf+oo,>一0;。的值越大，图象越靠近'轴，递增速度越快.

⑶指数函数y=/与y=(-)%的图象关于y轴对称.

a

.提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

【例1】（2023.海南省直辖县级单位.统考模拟预测）==（）

\277

A.9B.-C.3D.走

99

【答案】B

故选：B.

【对点训练1】（2023•全国•高三专题练习）下列结论中，正确的是（）

A.设"°，则层.=4B.若〃[8=2,贝1|加=±3

C.若。+。一’=3,则a5+q-^:土^^D.,（2-万）4=2—万

【答案】B

434325

【解析】对于A,根据分式指数幕的运算法则，可得拒.万一万+W一选项A错误;

对于B,优8=2,故机=±啦，选项B正确；

对于C,4+：=3,储+/）2=〃+〃-|+2=3+2=5，因为。＞。，所以后+尸=6'，选项

C错误；

对于D,42_%）4=|2—同=万一2，选项D错误.

故选：B.

【对点训练2】（2023•全国•高三专题练习）)

A.兀B.2+兀C.4—兀D.6—7T

【答案】B

-05-2

【解析】阂+7^+（23ml沪g+兀-2+4*.2+兀.

故选：B

【对点训练3】（2023•全国•高三专题练习）甲、乙两人解关于x的方程2工+6・2一*+°=0,甲

写错了常数6,得到的根为x=-2或尸log217，乙写错了常数c,得至U的根为x=0或x=l,

则原方程的根是（）

A.%=-2或x=log23B.x=-l或x=l

C.x=0或x=2D.x=-l或无=2

【答案】D

【解析】令"23则方程2'+力2-、+0=0可化为』+b+6=0，甲写错了常数6,

所以;和U是方程产+”+根=o的两根，所以+-苫，

44144J2

乙写错了常数C,所以1和2是方程〃+加+6=0的两根，所以b=lx2=2,

则可得方程/一亍+2=0,解得(=标=4,

所以原方程的根是x=-l或x=2

故选：D

【对点训练4】(2023•全国•高三专题练习)若关于x的方程9'+3用-〃?+1=0有解，则实数加

的取值范围是()

A.。,+8)B.C.(-oo,3]D.(1,3]

【答案】A

【解析】方程9工+3加-"z+l=0有解，

(3)+3x3,-m+l=O有解，

令3*=f>0,

则可化为『+3”机+1=0有正根，

则产+3f=m-l在(。,+。)有解,又当t«0,+oo)时,/2+3z>0

所以m—l>0=>m>l,

故选：A.

【对点训练5】(2023・上海青浦・统考一模)不等式2427VM的解集为.

【答案】(-3,2)

【解析】函数y=2"在R上单调递增，则

3<§)3(—o2/口-3<2-3(Z)od_2x_3<-3(x-l),

BPx2+x-6<0,解得-3<x<2,

所以原不等式的解集为(-3,2).

故答案为:(-3,2)

【对点训练6】(2023•全国•高三专题练习)不等式10工-6*-3工21的解集为.

【答案】[1,+8)

【解析】由10'-6-3,21,可得+(色]+f—<1.

因为、=(小;=直;=焦］均为区上单调递减函数

则/(x)在R上单调逆减，且/(1)=1,

:.x>\

故不等式ioA-6x-y>i的解集为□，+℃).

故答案为：［1,+8).

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如i=b,afM>b,afw<6的形式常用“化同底”

转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2'+&'+C=0或

/+Bax+C厘)(0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】(多选题)(2023.全国.高三专题练习)函数=2'+三(。eR)的图象可能为()

【答案】ABD

【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给。赋值，判断选项.当。=0时，

/(x)=2\图象A满足；

当。=1时，/(司=2工+(,"0)=2,且〃r)=/(x),此时函数是偶函数，关于>轴对

称，图象B满足;

当。=-1时，〃x）=2，q,"0）=0,旦〃-同=-〃江此时函数是奇函数，关于原点

对称，图象D满足；

图象C过点（0,1）,此时。=0,故C不成立.

故选：ABD

【对点训练7】（2023•全国•高三专题练习）已知了（%）=—1的定义域为R,则实

数a的取值范围是.

【答案】[-L0]

【解析】•//（x）=13，+2欧-“_1的定义域为R,

3--1_IN0对任意xdR恒成立，

即yM»-a21=3。恒成立，

即x2+lax-a>0对任意xeR恒成立，

.•.A=4«2+4tz<0，则TWaWO.

故答案为[-L0].

【对点训练8】（2023•宁夏银川•校联考二模）已知函数〃力=4工-2工+2-1,xe[0,3],则其

值域为.

【答案】[-5,31]

【解析】令t=2"，：xe[0,3],1V/V8,

r.g（r）=广—4r—1=（r—2）——5,te[1,8]

又y=g⑺关于f=2对称，开口向上，所以g（。在[1,2）上单调递减,在（2,8]上单调递增，

>|8-2|>|2-1|,

「1=2时，函数取得最小值，即g（t）1111n=-5,r=8时，函数取得最大值，即g（t）a=31,

.-./（X）G[-5,31].

故答案为：[-5,31].

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）已知函数在口，2]内的最大

值是最小值的两倍，且g（无）=]（（尤）+：'：21则g（；]+g（2）=______

^log3x-l,0<x<l

【答案】3或-=3

4

【解析】当。>1时，函数“X）在[L2]内单调递增，

此时函数的最大值为〃2)=6Z2,最小值为/(1)=a,

[2X+1x>l

由题意得片=2〃，解得〃=2,则g(%)=(9",

[log3x-l,0<x<l

lHJ^g]；J+g(2)=log3g-l+22+l=3；

当0<a<1时，函数/(x)在[1,2]内单调递减,

此时函数的最大值为了⑴=a,最小值为〃2)=a2,

由题意得。=2/，解得a=；,则g(x)=，lj]+1，尤21,

log3x-l,0<x<l

此时g[;)+g⑵=1吗;_1+出+1="|-

3

故答案为：3或-;

4

【对点训练10](2023•全国•高三专题练习)函数y=(a-2)2优是指数函数，则()

A.a=l或。=3B.a=1C.a=3D.a>0且a旦1

【答案】C

【解析】由指数函数定义知(。-2f=l,同时a>0,且awl,所以解得“=3.

故选：C

【对点训练11/2023•全国•高三专题练习)函数“X)=(泮-b)2的大致图像如图,则实数a,

6的取值只可能是()

A.a>0,b>lB.a>0,0<b<l

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

【答案】C

【解析】若a>0，y=eQ-b为增函数,

且+oo,yf+oo,/(%)f+oo,与图象不符,

若。<0,y=e一为减函数,

且X—+8,y———>)2,与图象相符，所以〃<0,

当/（x）=0时，eax=b,

结合图象可知，止匕时x<0,所at>0,贝!le">e°=l,所以6>1,

故选:C.

【对点训练12］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/。）=优'4+i（。>。且。彳1）的图

象恒过定点4若点A的坐标满足关于x,y的方程府+利=4（根>0,”>0）,则■*■+*的最

mn

小值为（）

A.8B.24C.4D.6

【答案】C

【解析】因为函数〃£）=优7+1（。>0,。*1）图象恒过定点（4,2）

又点A的坐标满足关于x,y的方程痛+〃y=4（m>0,〃>0）,

所以4m+2n=4,

即2m+n=2

匕一，121,"12、1（4m心1（14mn

mn2vmnJ21nmJ21\nm

勿

当且仅当4丝7=°H即〃=2根=1时取等号；

nm

1?

所以上+女的最小值为4.

mn

故选：c.

【对点训练13】（多选题）（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，

“直接推算法”使用的公式是匕=［（1+行"（%>-1）,其中匕为预测期人口数，4为初期人口

数，左为预测期内人口年增长率，”为预测期间隔年数，则（）

A.当左则这期间人口数呈下降趋势

B.当左e（-l,0）,则这期间人口数呈摆动变化

C.当％=6时，〃的最小值为3

D.当左=一（勺4；《时，〃的最小值为3

【答案】AC

【解析】4>0,0<1+左<1,由指数函数的性质可知：月=片（1+幻"伏>-1）是关于〃的单调

递减函数，

即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；

k=^,Pn=PQ[^>2PQ,所以gj\2,所以心kg产〃eN),

log,2£(2,3),所以〃的最小值为3,故C正确；

3

左=T，e=d|)《%，所以[I]wg，所以〃加og：；(〃eN),

log2;=bg22e(l,2),所以”的最小值为2,故D不正确；

故选：AC.

【对点训练14】(多选题)(2023•山东聊城・统考二模)已知函数/(x)=M，则()

A.函数/(x)是增函数

B.曲线y"(x)关于(0,1对称

C.函数/⑺的值域为(0,£|

D.曲线y=/(x)有且仅有两条斜率为g的切线

【答案】AB

【解析】根据题意可得/(x)=^^=l-七，易知、=六是减函数，

所以〃x)=l-*■是增函数，即A正确；

-xX

由题意可得f(-x)=^7—=^1—,所以f(-x\+/⑴=37-+=1_=1,

'7Tx+\2X+1'7v72X+12X+1

即对于任意xdR,满足/(-力+/(£)=1,所以y=〃x)关于(0,£|对称，即B正确;

由指数函数值域可得2*+le(l,+w),所以即〃x)=l-不、€(0,1),

所以函数/⑺的值域为(0,1),所以C错误；

2"In2

易知/口)=令尸(x)=M，整理可得(2»-(51n2-2)2+l=0,

（2,+1）2

令2*=re（0,y）,即『-（51n2-2）+l=0,

易知A=（51n2-2y-4,又因为2,=32<36<6.25?=2.5“<e“，即25<e3

所以51n2<4,§P0<51n2-2<2,因止匕△=（51n2—2）2—4<0；

即关于f的一元二次方程/-（51n2-2）r+l=0无实数根；

所以(2")2一(51n2-2>2，+1=0无解，即曲线y=/⑺不存在斜率为g的切线，即D错误;

故选：AB

【解题总结】

解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析,

从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型三：指数函数中的恒成立问题

【例3】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=2，,xeR,若不等式尸(了)+/0)-加>0

在R上恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】(…⑼.

【解析】4/(x)=t{t>0),H(t)=t2+t,t>0,

因为“⑺=(r+!)2一:在区间(0,+劝上是增函数，

24

所以〃(。>〃(0)=0.

因此要使〃+/>加在区间(0,+8)上恒成立，应有机W0,即所求实数机的取值范围为(一叫0].

故答案为：(-8,。].

【对点训练15](2023•全国•高三专题练习)设〃X)=2'；2',当时，

/(/+,研)+/。)>0恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】(-2,2)

_r)~xiii

【解析】由函数/(%)=2=|，⑵-2-工)=42工，

%=2，,%=-(3]均为在口上的增函数，故函数/(x)是在R上的单调递增函数，

且满足了(-©=2…一2一=一(2'一一2")=-/⑴，所以函数”X)为奇函数，

因为/(%2+mx)+/(l)>。，即f(x2+mx)>-/(I)=/(-I),

可得+小〉-1恒成立，即元2+如+1〉0在兀wR上恒成立，

则满足疗—4<0,即/<4,解得—2<m<2,

所以实数加的取值范围是(-2,2).

故答案为：(-2,2).

【对点训练16】(2023•全国•高三专题练习)已知不等式4、-〃2+2>0,对于“4-哈引恒

成立，则实数x的取值范围是.

【答案】(-8,0)kJ(l,+8)

【解析】设1=23/>0,

则产-W+2>0,对于ae(-8,3]恒成立，

2

即〃</+—,对于aw(-oo,3]恒成立，

t

2

tH—>3,

t

即产一3/+2>0，

解得f>2或，<1,

即2工>2或2*<1，

解得尤>1或x<0,

综上，x的取值范围为(-8,O)D(1,+8).

故答案为：(-8,0)0(1,+8).

【对点训练17](2023•全国•高三专题练习)若xe[-L+8),不等式4工-%2工+1>0恒成立，

则实数加的取值范围是.

【答案】(F2)

【解析】令t=2,,；尤1，+°°)，

：4工-次2*+1>0恒成立，Am<y+r,re恒成立，

•：t+->2,当且仅当r=l时，即x=0时，表达式取得最小值，

t

m<2,

故答案为(-8,2).

【对点训练18](2023•上海徐汇•高三位育中学校考开学考试)已知函数/(x)=U是定

义域为R的奇函数.

⑴求实数6的值，并证明〃x)在R上单调递增；

(2)已知。>0且。工1,若对于任意的毛、”[1,3],都有〃xj+)十一2恒成立，求实数a

的取值范围.

【解析】(1)因为函数/("=1r子是定义域为R的奇函数，

则/(。)=彳=。，解得b=-l,止匕时/(x)=U=l一高，

2v73+13+1

对任意的xeR,3，+1>0,即函数〃x)的定义域为R,

3-13"3一「1)1_芋

/(r)=377Tl=3、(3-+1)=17F=_/(x),即函数为奇函数，合乎题意，

任取《、,©R且则0<3'Y3"，

所以，“GT"]】一回门)则/⑷<小)，

所以，函数/'(尤)在R上单调递增.

(2)由⑴可知,函数/(x)在[1,3]上为增函数,

3Q1

对于任意的a、％e[L3],都有则齐一了了⑴三，

*2<2,

因为马€[1,3],则苍-2右[-1,1].

当0<°<1时，则有/交，解得gva<l；

当0>1时，贝！|有aW2,止匕时l<aW2.

综上所述，实数0的取值范围是pl]0,2].

【解题总结】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

题型四：指数函数的综合问题

101

【例4】(2023•全国•合肥一中校联考模拟预测)已知函数/(力=丁+二1+1+―

2、+724x-4x-1

则不等式〃2x+3)>/■(£)的解集为()

A.(-2,1)51,—)B.(-l,l)U(3,+a))

C.1-川(3,+co)D.(-3,1)1(3,^)

【答案】B

【解析】依题意，xwl,f(x)=^—+^,

'/4x-4x-1

QX+l1QI-XIQX+1QX+1

故++—=—■—+1+-+-------+1——=—：—+-----+2=2,

v)'7L-4x41-4x4%+1-44-4川r

故函数“X)的图象关于(1,1)中心对称，

121

当x>l时，y=——j=——y=l+—；单调递减，

2+24-4x-1

故/（X）在（l,w）上单调递减，且〃尤）=歹—i+疝o三+1+白1>1，

乙"l乙T"T"人J.

函数/⑺的图象关于（1,1）中心对称，〃x）在（F,l）上单调递减，

而〃2了+3）>〃巧，故2%+3</<1或尤2<1<2%+3或1<2工+3</，

解得或无>3,故所求不等式的解集为（—1,1）（3,«»）,

故选：B.

【对点训练19］（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）设/（同=«5三+若

函数y=/（x）的定义域为（f』）（L-）,则关于x的不等式"2的解集为

【答案】［1,+8）

【解析】若。40,对任意的xeR,2*_°>0,则函数“X）的定义域为R,不合乎题意，

所以，a>0,由2”—可得xwlog?。，

因为函数y=/（x）的定义域为{x|xwl},所以，/暇0=1,解得a=2,

所以，A”"占+「，则〃力〃2）=23+22,

由a，2/（a）可得2工22，解得x21.

因此，不等式的解集为［1,+8）.

故答案为：［1,+8）.

2/7-1

【对点训练20］（2023・河南安阳・统考三模）已知函数/（%）=〃+正工（〃〉°）的图象关于坐

标原点对称，贝+.

【答案】13/1.5

【解析】依题意函数/（X）是一个奇函数，

又2,—。W0,所以xwlog2。，

所以/（尤）定义域为{xI尤Hlog2a},

因为/（x）的图象关于坐标原点对称，所以摩2。=。，解得a=L

又〃T）=X），所以6+=,

一〃—

Z—1'Z17

所以万一为=一.+4］，即26=2尤__12X-1

=1,

z_1kz_1)2X-1~2X-12X-1

13

所以b=所以。+6=

22

3

故答案为：—.

2

【对点训练21］（2023•江西景德镇•统考模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且当

xN。时，〃x）=e',则满足〃x+l）Nr（力的x的取值范围是.

【答案】」

【解析】由函数性质知尸（力=/（2力,

/（X+1）＞/2（X）=/（2X）,

.­./（|x+l|）＞/（|2x|）,|^+l|＞|2x|,

即（元+1）220x）2,解得--,1