陕西省某中学2024-2025学年高三年级上册开学摸底考试数学试题+答案

陕西省西安中学高2025届高三摸底考试

数学试题

（时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

L若集合4=卜[2*<4},5={xwN|-1<%<3},则Ac3=（）

A.{x|-l<x<2}B.{0,1}C.{1}D.{x|-l<x<3}

2.下列说法正确的是（）

A.若。>6>0,则/>be1B.若a>b,则a2>b2

D.^a<b,则工〉;

C.若a<b<0,则a?>">6。

ab

3.已知a,b&R,贝是“a2024〉/。24”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.随机变量片的分布列如下表：

-101

£

Pab

4

若E传）=0,则乃《）=（）

5.若命题“土田-1,3],f一2%-@0”为真命题，则实数。可取的最小整数值是（）

A.-1B.OC.1D.3

6.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步

2%,而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲

的“日能力直'是乙的20倍（参考数据：310282.0086,lg99«1.9956,lg2«0.3010）

A.85B.100C.150D.225

7.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一

位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（）

A.124B.246C.114D.108

Z7X+〃X1

8.已知函数〃x)=2'…，(a〉0且awl),若函数/⑴的值域为R,则实数a的取值

-+lax-a+3,x<1

范围是()

A.B.^1,-C.[2,+oo)D.[3,+co)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列运算结果为1的有()

A.B.1g2+1g5

21

c.8i_92D.log23xlog34xlog42

10.设a>0,b>0,a+2b=l,贝!J()

A.ab的最大值为zB./+452的最小值为:

o2

19

C.—+工的最小值为8D.2"+4〃的最小值为20

ab

n.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列正确的有()

A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为:

B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为卷

C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4

D.从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率

为令

14

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(2x+3)6二项式展开式中，常数项为.

13.已知样本不，X],七的平均数为2,方差为1,则x；,门，后的平均数为..

14.定义：N"(无)(8)ga)}表示不等式/(x)<g(x)的解集中的整数解之和.若/(%)=|log2%|,

g(x)=a(x-l)2+2,N{f(x)0g(x)}=6,则实数a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知二次函数，=/(%)的图象过点(-1,3),且不等式/(x)-7x<0的解集为&,1

⑴求/Xx)的解析式；

(2)设g(x)=/(X)-",若gQ)在(2,4)上是单调函数，求实数机的取值范围.

16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分

均为60分,两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p,乙答对每题的概率均为q(0<p<q<D,

31

且某道题两人都答对的概率为都答错的概率为丁

⑴求p,q的值；

⑵乙回答3题后，记乙的积分为X,求X的分布列和期望E(X).

17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健

身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情

况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：

周平均锻炼时间少于5小时周平均锻炼时间不少于5小时合计

50岁以下80120200

50岁以上(含50)50150200

合计130270400

⑴根据表中数据，依据c=0.01的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联?

⑵现从50岁以上(含50)的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8

人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于

5小时的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2

._『2n(ad-bc).

参考公式及数据：,=g+b)(c+d)(a+c)("d)，其中〃=a+>+°+d.

a0.0250.010.0050.001

Xa5.0246.6357.87910.828

18.己知函数/(x)=(2"+»i)2+I一病.

⑴当机=2时，求当功的值域;

⑵若/(%)最小值为-3,求m的值;

⑶在⑵的条件下，若不等式了⑴”2-8有实数解，求实数。的取值范围.

a

19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投

当x>17时，确定y与x满足的线性回归方程为：y^-OJx+a.

⑴根据下列表格中的数据，比较当。〈苍,17时模型①、②的决定系数尺2,并选择拟合精度更高、

更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为17亿元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1x+11.87=21.371-14.4

£7(%-犷

182.479.2

i=l

f（…产

（附：刻画回归效果的决定系数六=1-二一’一,717«4.1）决定系数数值越大，说明拟合效

Ea-y）2

1=1

果越好）

⑵为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方

程为预测依据，比较研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.

E%%一位,9E（%-丁）（》一9）

（附：5=个----------------------，a^y-bx）

，尤；沅2，（乙_君2

Z=1Z=1

⑶研发改造后，该公司R产品的效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52,0.0F）,公司对研发团

队的奖励方案如下:若R产品的效率不超过50%,不予奖励;若R产品的效率超过50%但不超过53%,

每件R产品奖励2万元；若R产品的效率超过53%,每件R产品奖励5万元.求每件斤产品获得

奖励的数学期望.

（附：随机变量J服从正态分布贝l]P（4—b<J<〃+cr）=0.6826,

尸(〃一2cr<J<〃+2cr)=0.9544)

陕西省西安中学高2025届高三摸底考试

数学参考答案

一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

题号12345678

答案BCDAABcB

二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

题号91011

答案BCDABDACD

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

三、解答题：（本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分）

15.（本小题满分13分）

解：（1）因为不等式〃x）-7x<0的解集为

所以:和1为关于x的方程〃x）-7x=0的两根，且二次函数y=/（x）的开口向上，

4

则可设/(x)-7x=a(«>0),IPf(x)=a(x-l)+7x,

由“X）的图象过点可得-j（-l-1）+7X（T）=3,解得。=4,

所以〃x)=4x(x-l)+7x,/(A:)=4X2+2X+1.

(2)因为g(%)=/(^)-mx=4x2+2x+l-mx=4x2+(2-m)x+l,对称轴犬=_^——

因为g（x）在（2,4）上是单调函数，所以一胃142或-军24,解得利W18或m234,

OO

即实数小的取值范围（—,18][34,+w）.13分

16.（本小题满分15分）

3

pq=一

101

(1-p)(F)=(,解得，P=3

解：（1）由题意得，，3；....................................6分

0<p<q<\q)

⑵由题意知，X的所有取值为0,40,80,120,

则P(X=0)=Cf(l-j)3=^,P(X=40)=C；,

3354327

P(x=80)=Cl-(-)2尸(X=120)=Cf(-)3=—,

故X的分布列为

X04080120

8365427....................................12分

P

125125125125

E(X)=0x—+40x—+80x—+120x—=72.....................................15分

125125125125

17.（本小题满分15分）

解：⑴零假设名：周平均锻炼时长与年龄无关联,

400x(150x80-120x50)2

由2x2列联表中的数据，可得/=»10.256>6.635=J;

~200x200x270x130~001

根据小概率值C=0.01的独立性检验，我们推断久不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联

....................................6分

⑵抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有8x老=2人,

不少于5小时的有8x罢=6人，

...................................8分

则X所有可能的取值为1,2,3,

所以尸（x=i）=警q，&x=2）=等=*噂=3）=袅q,

....................................12分

C8ZoC8ZoC8

所以随机变量X的分布列为:

X123

3155

P

282814

所以数学期望E（X）=lx卷+2x||+3xX

....................................15分

18.（本小题满分17分）

⑴设2工=/,m=2,：.y=（t+2）2-3,t>0,

其对称轴方程为/=-2,故函数在Q"）上单调递增，

当r=O时，y=1,故所求值域为（1,+°°）；....................................5分

⑵一函数f（x）=（2'+m）2+l-m2的最小值为-3,2r>0,

当机.0时，/（x）在R上单调递增，没有最小值；

当机<0时，可知2,=-加时，丁取得最小值1-疗；

即-3=1-加之,解得〃z=-2或加=2（舍去），

综上，m=-2-....................................10分

⑶由题意，/（X）,,——8有实数解，

a

>1Q

即（2、—2）2—3,,上—8,可得一.2+怖—4,

aa2X

要使此不等式有解，只需2'+41即可，

QILzmin

Q厂

2+f.2d=6（当且仅当x=log,3时取等号）,

9

••・（2、+吩一4）.=6—4=2,

.'.—■.2,解得0<6,q,

a2

即实数。的取值范围为（0,3.....................................17分

2

19.（本小题满分17分）

182.479.2

⑴由表格中的数据，W182.4>79.2,即瓦一"瓦_刃2,

Z=11=1

所以模型①的W小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，

所以当x=17亿元时，研发改造直接收益的预测值为

9=21.3x717-14.4合21.3x4.1-14.4=72.93（亿元），...............5分