2025年高考数学一轮复习：圆的方程（八大题型）讲义（原卷版）

第03讲圆的方程

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：圆的定义和圆的方程....................................................4

知识点2：点与圆的位置关系判断..................................................4

题型一：求圆多种方程的形式.....................................................5

题型二：直线系方程和圆系方程...................................................6

题型三：与圆有关的轨迹问题.....................................................7

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件...............................9

题型五：点与圆的位置关系判断...................................................9

题型六：数形结合思想的应用....................................................10

题型七：与圆有关的对称问题....................................................11

题型八：圆过定点问题..........................................................12

04真题练习•命题洞见............................................................13

05课本典例•高考素材............................................................13

06易错分析•答题模板............................................................15

易错点：忽视圆的一般方程成立的条件............................................15

答题模板：求圆的方程..........................................................15

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年北京卷第3题，5分高考对圆的方程的考查比较稳定，考查

（1）圆的方程2023年乙卷（文）第11题，5分内容、频率'题型难度均变化不大，备考时

（2）点与圆的位置关2023年上海卷第7题，5分应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求

系2022年甲卷（文）第14题，5分法，除了待定系数法外，要特别要重视利用

2022年乙卷（文）第15题，5分几何性质求解圆的方程.

复习目标；

（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.

（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

//二知识导图•思维引航\\

平面内到定点的距离等于

圆的定义定长的点的集合(轨迹)

叫圆.

圆的标准方程：代-4+①0'/,

圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0)

圆的一般方程：X:+J2+P.V+£：)+F=0(Z):+£:-4F>0),

周心坐标为(n费肯F)，半径片m+E'7F

2

圆的方程

圆的直径式方程：若yiCi.yjKwjj,

贝I］以线段45为直彳仝的圆的方程是(■rz1Xx-xJ+(lJji)Qr\)=O

x=o+rcos^^

圆的参数方程:(。为参数)

y=b+rsin3

圆外

点与圆的位置关系圆上

圆内

老占突曲・题理探密

-------------H-H-c

知识JJ

知识点1:圆的定义和圆的方程

1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

2、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(尤-。)？+(y-6)2=/,圆心坐标为(a,b),半径为厂(厂>0)

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为[，半径

A/O2+£2-4F

r=-----------------

2

(3)圆的直径式方程：若4(和％),3(肛％),则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-%1)(x-x2)+(j-j1)(y-y2)=0

(4)圆的参数方程：

①尤2+丁=/(厂>0)的参数方程为尸=rC0Sf(9为参数)；

[y=rsmu

②(x-a)2+(y-b)2=r"r>0)的参数方程为"+，cos。(。为参数).

[y=Z?+rsin^

【诊断自测】已知点A(T,—2),B(T,2),C(-2,2),则VABC外接圆的方程是().

A.W+0-3)2=20B.(x+3)?+y2=5

C.x2+(y+3)2=5D.(x-3)2+y2=20

知识点2：点与圆的位置关系判断

(1)点P(x(),%)与圆(尤-a)。+(y-b)2=/的位置关系:

①(尤-a?+(y-b)2>ro点尸在圆外；

®(x-a)2+(y-b)2=r2o点尸在圆上；

③(x-a)2+(y-b)2<-o点尸在圆内.

(2)点P(%,%)与圆龙2+/+。x+4+尸=0的位置关系：

①片+y；++E为+尸>0。点P在圆外；

②年+y；+£>无。+及y°+P=0o点P在圆上；

③X：+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>点尸在圆内.

【诊断自测】(2024•河北沧州•二模)若点4(2,1)在圆Y+y2-2〃a-2y+5=0(优为常数)外，则实数

m的取值范围为()

A.(—co,2)B.(2,+8)C.(一°°,—2)D.(―2,+co)

/------------l-H*k

\J

题型一：求圆多种方程的形式

【典例1-1］已知直线3尤+4y-4=0与圆C相切于点7(0,1),圆心C在直线无-y=。上，则圆C的方

程为()

A.(%-3)2+(J；-3)2=13B.(x-3y+(y+3)2=25

C.(x+3)2+(y-3)2=13D.(x+3)2+(y+3)2=25

【典例1-2］(2024•高三•北京•开学考试)圆心为(-L-2),且与>轴相切的圆的方程是()

A.(1)2+(,-2)2=4B.(1)2+0-2)2=1

C.(x+l)2+(y+2)2=1D.(%+l)2+(y+2)2=4

【方法技巧】

(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,6)

和半径厂；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.

(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，

半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

【变式1-1】过点尸(4,2)作圆/+丁=4的两条切线，切点分别为A,B,则W的外接圆方程是

()

A.(X-2)2+(J；-1)2=5B.(%-4)2+(j7-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

【变式1-2］圆心在直线/：尤-2y-3=0上，且经过点A(2,-3),8(-2,-5)的圆的方程为.

［变式1-3］(2024•陕西安康•模拟预测)已知直线1：2x+y_6=0与/2：2x+y+4=0均与।河相切,

点(2,2)在。/上，贝l|M的方程为.

【变式1-4］与直线和圆(x+l)2+(y_l)2=2都相切的半径最小的圆的方程是()

A.(尤+1了+(>+1)2=2B.(尤+1)2+(>+1)2=4

C.(x-l)2+(^+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=4

题型二：直线系方程和圆系方程

【典例2-1】过圆C［：/+,2+6,丫-4=0和圆G：/+；/+6,-28=0的交点，且圆心在直线

2x+y+4=0上的圆的方程为()

A.(x+l『+3+2)2=25B.(尤+iy+(y+2)2=20

C.(x-l)2+(y+6)2=25D.(x-1)2+(y+6)2=20

【典例2-2】圆C经过点(0,1),且经过两圆&:/+产-4尤-3=。和圆6：尤2+372-4>-3=。的交点，

则圆C的方程为.

【方法技巧】

求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交点，而是利用

它们的直线系方程(圆系方程).

(1)直线系方程：若直线/|：4x+qy+G=o与直线/2：4彳+5丁+6=0相交于点尸，则过点尸的直

线系方程为：4(A%+gy+G)+4(&x+4丁+C2)=o(#+在20)

简记为：4,+即2=0(4?+若片0)

当4wo时，简记为：—(不含4)

(2)圆系方程：若圆4：尤2+y2+£)M+E］y+K=0与圆C2：x2+y2+2x+E2y+B=0相交于A,B

2222

两点，则过A,2两点的圆系方程为：x+y+D1x+E1y+F1+A(x+y+D2x+E2y+F2)=0(A^-l)

简记为：C+XC2=0(九*一1),不含C2

当4=-1时，该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)/:(〃-。2)%+(耳-耳”+耳-&=。

注意：与圆C共根轴/的圆系C/：C+R=0

【变式2-1］经过直线尤-2y=0与圆一4x+2y-4=0的交点，且过点(1,0)的圆的方程为—.

【变式2-2】曲线3Y一产=3与》=/一2了一8的四个交点所在圆的方程是—.

【变式2-3】过圆/+/一苫+〉-2=0和f+y2=5的交点，且圆心在直线3元+今-1=。上的圆的方程

为()

A.x2+y2+2x-2y-11=0B.%2+y"—2x+2y-11=0.

C.x?+J—2x-2y-11=0D.尤？+y~+2x+2y—11=0

题型三：与圆有关的轨迹问题

【典例3-1】已知定点2(3,0),点A在圆元2+y2=i上运动，NAOB的平分线交线段于点M,则

点M的轨迹方程是.

【典例3-2】(2024•贵州毕节•三模)已知直线/|：x+£y-5=0,直线/2:及一y-3f+2=0,《与相交

于点4则点A的轨迹方程为.

【方法技巧】

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标尤，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或

转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

【变式3-1](2024•高三•青海西宁•期中)已知A(-l,0),3(1,0),C为平面内的一个动点，且满足

\AC\=y[2\BC\,则点C的轨迹方程为.

【变式3-2](2024•广东•二模)如图，在平面直角坐标系xOy中放置着一个边长为1的等边三角形

PAB,且满足PB与*轴平行，点A在x轴上.现将三角形沿x轴在平面直角坐标系》。了内滚动，设顶

点P(x,y)的轨迹方程是y=〃x),则/(%)的最小正周期为—；y=〃x)在其两个相邻零点间的图象与x

轴所围区域的面积为一.

【变式3-3】已知圆M:(X-2)2+V=4,过点N(LO)的直线/与圆M交于A,B两点，。是A3的中点,

则。点的轨迹方程为一.

【变式3-4]如图所示，已知圆。：N+y2=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过

点B作圆。的切线，切点为C,则△ABC的垂心//的轨迹方程为一.

【变式3-5】点P(l,o),点。是圆V+y2=4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是()

【变式3-6】已知动点M与两个定点4(2,0)的距离之比为1：2,则动点M的轨迹方程

为一

【变式3-7】已知尸(4,0)是圆/+/=36内的一点,A,B是圆上两动点，且满足NAP3=90°,求矩形

AP8Q顶点。的轨迹方程.

【变式3-8］在边长为1的正方形A8C。中，边A3、上分别有一个动点0、R,且忸。|=|CR|.求

直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.

【变式3-9］如图，已知点A(-l,0)与点8(1,0),C是圆N+y2=i上异于A,B两点的动点，连接BC

并延长至。，使得|CD|=|8C|,求线段AC与。。的交点P的轨迹方程.

【变式3-10］已知点4(2,0)是圆尤2+/=4上的定点，点*1,1)是圆内一点，P、Q为圆上的动点.

(1)求线段AP的中点"的轨迹方程.

⑵若ZPBQ=90°,求线段PQ中点N的轨迹方程.

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

【典例4-1］若方程V+V+»u-啊+2=0表示一个圆，则机可取的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【典例4-2】（2024•高三•全国•课后作业）关于x、y的方程42+2盯+32+£）尤+或+尸=0表示

一个圆的充要条件是（）.

A.B=0，且&=（7W0

B-5=1，且。2+£2-44尸>0

22

C.3=0，且4=C/0，D+E-4AF>0

D.B=0，=D2+E2-4AF>0

【方法技巧】

方程f+_/+八乂+或+尸=0表示圆的充要条件是4+"一4P>0,故在解决圆的一般式方程的有关

问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为半径r=1〃>2+序一4尸

k22J2

【变式4.1］若方程龙2+丁+以+2>+2=0表示圆，则实数〃的取值范围是（）

A.a<-2B.a>2

C.〃<一2或a>2D.a<-2^a>2

【变式4-2］（2024•贵州•模拟预测）已知曲线C的方程2炉+2短+4尤+8y+尸=0,则“产410”是

“曲线C是圆”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式4-3］已知方程/+/+向+2y+2=0表示圆，则实数机的取值范围为（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（3,+oo）D.（4,+oo）

题型五：点与圆的位置关系判断

【典例5-1］（2024•高三•广东•开学考试）“1<6<2”是“点3（0力）在圆。:（*-1）2+（、-2）2=2内”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【典例5-2］（2024•江西•模拟预测）若点（1,1）在圆/+/-工一。=0的外部，则。的取值范围为

A.B.C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【方法技巧】

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他

约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.

【变式5-1]（2024•贵州黔南•二模）已知直线了=尤+2%与直线y=的交点在圆下+口=4的内部,

则实数上的取值范围是（）

A.—1<Z<1B.—2<左<2C.—3（人<3D.--^2<k<A/2

【变式5-2]（2024•陕西西安•三模）若过点尸（0,1）可作圆好+>2-2-4>+°=0的两条切线，贝|。的

取值范围是（）

A.（3,+co）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+co）

【变式5-31点P在单位圆。。上（。为坐标原点），点A（—LT）,3（0,T）,AP=^iAO+AAB,贝|

〃十几的最大值为（）

3

A.-B.6C.2D.3

2

【变式5-4]（2024•高三•全国•课后作业）已知两直线y=x+2左与y=2x+上+1的交点在圆

f+尸=4的内部，则实数上的取值范围是（

A.--<k<-lB.——<k<l

55

C.--<^<1D.—2v左<2

3

题型六：数形结合思想的应用

【典例6-1】已知曲线丫=，一1+4》_3与直线履-丫+左-1=。有两个不同的交点,则实数%的取值范

围是（）

【典例6・2】若直线/:3-丁-2=0与曲线C：Jl—（y—l）2=1_1有两个不同的交点,则实数上的取值范

围是（）

C卜,-3生］D.

【方法技巧】

研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需

对代数式进行等价变形，以防出现错误.

【变式6-1］(多选题)关于曲线C：x2+/=2|x|+2|y|,下列说法正确的是()

A.曲线C围成图形的面积为4万+8

B.曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴

C.曲线C所表示的图形是中心对称图形

D.曲线C是以(1,1)为圆心，2为半径的圆

【变式6-2］已知直线/：质-y+2-左=0与曲线y=有两个交点，则实数上的取值范围为—.

【变式6-3】直线"+y-2=0与曲线(x+y_l)产7^=0的交点个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2

【变式6-4］若两条直线乙：y=x+m,l2,y=x+〃与圆/+y-2x-2y+f=。的四个交点能构成矩

形，则根+〃=()

A.0B.1C.2D.3

题型七：与圆有关的对称问题

【典例7-1】圆(x-3y+(y-l)2=5关于直线尸r对称的圆的方程为.

【典例7-2］已知圆G:炉+丁2=3关于直线/对称的圆为圆C2:(尤+2)2+(k1)2=3,则直线/的方程

为一

【方法技巧】

(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称

(2)圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点

(3)圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线

【变式7-1］(2024•辽宁•二模)已知圆/+/=4与圆/+/一版+4、+16=0关于直线/对称，贝I］直

线/的方程为()

A.2x+y-3=0B.x—2y—8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【变式7-2］(2024•高三•山西•期末)已知点A,2在圆C:/+y2+27nx+2〃y=0上，且A,B两

点关于直线y=x+2对称，则圆C的半径的最小值为()

A.2B.72C.1D.3

【变式7-3】已知直线/：◎+勿+1=0,圆。:炉+/+4%+2舛1=0,若圆C上存在两点关于直线/对

称，则("2)2+0-7)2的最小值是()

A.5B.V5C.26D.20

【变式7-4］如果圆/+丁+m+4+尸=0(斤+£2-4尸＞0)关于直线y=2x对称，那么()

A.D=2EB.E=2D

C.E+2O=0D.D=E

【变式7-5］圆C:(x-l)2+(y-iy=2关于直线/:丁尤-1对称后的圆的方程为()

A.(x-2)2+y2=2B.(x+2)2+y2=2

C.Y+(y-2)2=2D./+(y+2)2=2

题型八：圆过定点问题

【典例8-1】点尸(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【典例8-2］圆了2+;/+〃a-2'-"7=0恒过的定点是___.

【方法技巧】

特殊值法

【变式8-1】已知圆C:x2+y2=4,点M■(l,l),平面内一定点N(异于点M),对于圆C上的任意动

\AN\

点A，都有廿消为定值，定点N的坐标为一.

\AM\

【变式8-2］(2024•高三•上海闵行•期中)若抛物线y=Y+G+6与坐标轴分别交于三个不同的点

A、B、C,则VA3C的外接圆恒过的定点坐标为.

【变式8-3］对任意实数加，圆V+;/-27以-47町+6m-2=。恒过定点，则其坐标为___.

【变式8-4］设有一组圆C』(x-k+l)2+(y-3k)2=2k4,(keNt).下列四个命题其中真命题的序号是

①存在一条定直线与所有的圆均相切;

②存在一条定直线与所有的圆均相交;

③存在一条定直线与所有的圆均不相交;

④所有的圆均不经过原点.

1.(2024年北京高考数学真题)圆V+y2—2x+6y=()的圆心到直线尤->+2=。的距离为()

A.&B.2C.3D.372

2.(2022年新高考北京数学高考真题)若直线2x+y-1=0是圆(x-4)2+y2=i的一条对称轴，则。=()

A.—B.—C.1D.—1

22

3.(2020年山东省春季高考数学真题)已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(%+2)2+(y-l)2=4

C.(%-2)2+(y+l)2=lD.(尤_2了+"1)2=4

4.(2022年高考全国甲卷数学真题)设点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M

的方程为.

5.(2022年高考全国乙卷数学真题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4