人教版七年级上册期末考点梳理和例题详解解析版

人教版七年级上册期末考点分析

考点1.与有理数有关的概念

99

【例1】在一万，万，0.0333这四个数中有理数的个数（）

A.1个3.2个C.3个D.4个

,正整数

正有理数《

正分数

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数《o;按整数、分数

’负整数

负有理数《

负份数

'正整数

整数0

分类,有理数《.负整数；其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为兀=3.1415926…

'正分数

分数<

负分数

99

是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以左不是有理数，一了是分数0.0333是

无限循环小数可以化成分数形式,0是整数，所以都是有理数，故选C.

【例2】有一列数为一1,-1?-?］，…，找规律到第2。19个数是.

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规

律.击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数

的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正

数，所以第2019个数的分子也是1.分母是2019,并且是一个负数，故答案为-——

2019

【例3】若1+号的相反数是一3,则根的相反数是—.

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互

为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为

相反数，本题胃=-4,加=—8

【例4】4、b为有理数，且/?<0,\b\>a,则一〃,一b的大小顺序是（）

A.b<—a〈a<—bB.-a〈b〈a〈一bC.-b<a〈一a〈bD.-a<

a〈一b〈b

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示4的点到原点的

a(a>0)

距离，即|〃|,用式子表示为0=<0(。=0).本题注意数形结合思想，画一条数轴

-a(a<0)

【例5】已知|〃一4|+|/?—8|=0,则一匚的值.

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数。的绝对值都是非负数，

即㈤20.所以la—4|20,以一81N0.而两个非负数之和为0,则两数均为0.

解：因为|〃一4|20,|b-81^0,又|〃一41+|。一8|=0,|a—4|=0,|b~8\=0

口门123

即4=0,b-8=0,a=4,b=8.故一-=­

ab328

【例6】已知(加+九)？+|相|=根，且12根一〃一2|=0.求相〃的值.

【解法指导】本例关键是通过分析(祖+九产+|那的符号，挖掘出m的符号特征,从而把

问题转化为⑶+42=0,12加一〃一2|=0,找到解题途径.

解：V(m+n)2^0,\m\

(m+n)2+\m\^0,而(m+〃)2+|相|=相

/.m^O,/.(m+n)2+m=m,BP(m+n)2=0

.\m+n=O①

又・・,|2M—〃一2|=0

.".2m—n—2=0②

9

由①②得m=~,mn=—

考点2.有理数的加减法

【例1】.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为一的长方形，接

2

着把面积为-的长方形等分成两个面积为-的正方形，再把面积为-的正方形等分成

244

两个面积为工的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算

8

11111111

----1------1-----1-------1-------1--------1---------1--------=

248163264128256,

【例2】试看下面一列数：25、23、21、19-

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第w个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过

观察推理、猜想出第〃个数的规律，再用其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7,第〃个数为25—2("-1)

⑵：w=13时，25—2(13—1)=1,w=14时，25-2(14-1)=-1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,L其和=(25+1)+(23

+3)H----F(15+11)+13=26X6+13=169

【例】求工+(工21231234I2

3+—)+(—+—+—)+(—+—+—+—)+…+(—

23344455555050

+3)

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1,由此我

们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

II?123I

解:设S——+(—+—)+(—+—+—)++(—+2+…+竺+竺)

23344450505050

I?132149

则有S=—+(—+—)+(-+-+-)+…+(―

23344450505050

将原式和倒序再相加得

CC1,1,3,2,2,1,1,2,3,3,21,,

2S=—+—+(—+—+—+—)+(—+—+—+—+—+—)+…+(―+

22333344444450

2।48।49।49।48।21

—十t…十—十—十—十—十…十t—十t—)

50505050505050

即2s=l+2+3+4H----卜49=49x(49+1)=.25

2

1225

；.S=

考点3.有理数的乘除、乘方

ahoh

【例1】(茂名)若实数6满足片+4=0,则答

\a\\b\\ab\

【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出小b的取值范围，进一步代入结论得

出结果.

ab[2(^>0,/?>0)

解：当ab>0,--1—=<

|a||Z?|[―2(tz<0,Z?<0)

”.ab、ab

当abVO,ir=0,cibVO,从而i—r——1.

\a\\b\\ab\

【例2】已知/=(—2)2，V=—1

r3

⑴求孙2。19的值；⑵求上的值.

【解法指导】优表示〃个a相乘，根据乘方的符号法则，如果。为正数，正数的任何

次幕都是正数，如果a是负数，负数的奇次塞是负数，负数的偶次幕是正数.

解：2)2,9=—1

⑴当x=2,y=-4时，肛2。19=2x(—1『1°9=_2

当X=_2,y=_1时，肛2019=_2X(—1)2109=2

V323

⑵当x=2,y=-l时，=019=-8

X3(-2)3

当为=—2,丁=一1时,=8

y(I)2019

考点4整式

【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出

它的系数与次数.

1,3,

(l)x+l(2)—(3)行~(4)-一。”

x2

【解法指导】理解单项式的概念：由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个

字母也是单项式，数字的次数为0,X是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.

解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；

⑵不是，因为代数式是与尤的商；

⑶是，它的系数为次数为2；

⑷是，它的系数为-巳，次数为3.

2

【例2】如果与都是关于X、y的六次单项式，且系数相等，求

m、n的值.

【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有

区别的，该题是针对％与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母根无关，

此时将m看成一个要求的已知数.

解：由题意得n+4«=6.2♦|m-川=62=

:;m=-:2rn=2

4?

【例3】已知多项式一1/、2-孙+1

⑴这个多项式是几次几项式？

⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？

【解法指导】”个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最

高项的次数叫多项式的次数.

解：⑴这个多项式是七次四项式；

(2)最高次项是:二次项系数为一1,常数项是1.

【例4】多项式7x'"+Af-(3〃+l)x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数

为-7.求m+n~k的值

【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母

乘积中的数字因数.

解：因为3n+11+5是关于％的三次三项式，依三次知相=3,而一次项系

数为一7,即一(3/1+1)=—7,故"=2.已有三次项为7x»,一次项为一7x,常数项为5,又

原多项式为三次三项式，故二次项的系数上=0,故“什〃一左=3+2—0=5.

【例5】已知代数式3/—2x+6的值是8,求三V一x+i的值.

2

【解法指导】由3、；-入+6:8,现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体

代入法.

解：由3/-+6=8得由3/—2x=2

+r3xa-2x+2)=1x(2+2)=2

【例61证明代数式16+7篦—{8m-[m-9-(3-6m)]}的值与m的取值无关.

【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现

字母即可.

证明：原式=

16+m—8m+[n—9—(3—6m)]=16+m—8m+m—9—3+6m=4

・・.无论相的值为何，原式值都为4.

・,・原式的值与机的取值无关.

【例7】同时都含有〃、b、c,且系数为1的七次单项式共有()个

A.4B.12C.15D.25

【解法指导】首先写出符合题意的单项式心小y、z都是正整数，再依x+y+z=

7来确定无、y、z的值.

解:为所求的单项式,则x、y、z都是正整数,且x+y+z=7.当％=1时,y=1,2,3,4,5,z

=5,4,3,2,1.当x=2时，y=l,2,3,4,z=4,3,2,1.当x=3时，y=l,2,3,z=3,2,l.当x=4时，y=

l,2,z=2,l.当x=5时，y=z=l.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1=15,故选C

考点5整式的加减

【例1】如果和-3x3y2bT是同类项，那么小。的值分别是()

a=l=0[a=2[a=l

A.5B.5C.5D.5

b=2b=2b=lb=l

【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字

母，且相同字母的指数是否相同有关.

a+2=3a=l

解:由题意得<

2Z?-1=3'b=2

【例2】已知关于x的二次多项式cz(x3—X2+3X)+Z>(2X2+X)+x3—5,当尤=2时的值为

—17.求当x=—2时，该多项式的值.

【解法指导】设法求出“6的值，解题的突破口是根据多项式降嘉排列，多项式的次

数等概念，挖掘隐含a、b的等式.

解：M=ax—ax2+3ax-\-2bx2-\-bx-\-x—5

=(a+l)/+(26—a)x-\-(3a+6)x-5

V原式中的多项式是关于x的二次多项式

.<2+1=0

2b-

・•4=-1

又当x=2时，原式的值为一17.

(26+1)x2，+[3x(-l)+b]x2—5=—17,:.b=—1

/.原式=一式2-4尤一5

...当x=—2时，原式=—(-2)2-4X(-2)-5=—1

【例3】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.

【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.

证明：设此四位数为1000。+1006+10c+4则

1000a+1006+10c+d—(cz+b+c+d)=999a+99b+9c=9(llla+ll/?+c)

,.Tlla+llb+c为整数,1000a+100Z>+10c+rf—9(llla+llfe+c)+(a+6+c+d)

•二9(lll〃+llZ?+c)与(〃+/?+c+d)均能被9整除

・・・1000〃+100/?+10c+d也能被9整除

【例4】将(X，-x+l)6展开后得+...+。£+〃a+〃0,求〃12+Q1O+〃8+.......

+。4+〃2+〃0的值.

【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有X项，如何消去工项，可采用赋特殊值法.

角星：令X=1得〃12+〃11+.............+。1+。0=1

令X——1得。12一〃11+的0.....................〃i+〃o=729

两式相加得2(〃12+〃lo+〃8+..............+。2+〃0)—730

•・・〃12+〃lo+〃8+......+。2+。0=365

考点6一元一次方程与应用题

【例1】解方程：0-1^-0-2--=3

0.020.5

【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按

解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个

等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错.

解：原方程变形为：100(01x-02)—10(1)=3

100x0.0210x0.5

即50(0.lx-0.2)—2(x+l)=3

去括号，得5x—50—2x-2=3

移项，得5x-2x=3+10+2

合并，得3x=15

系数化为1,得x=5

01.已知=3x+则(64/+48x+9)20°9=

ab2九一4

02.对任意四个有理数〃、b、c、d,定义新运算：=ad-be,已知=18,

cdx1

则X=（）

A.-1B.2C.3D.4

【例2】若关于x的方程9尤—17=息的解为正整数，则/的值为％=

【解法指导】把尤的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值.

解：,.1%—17=日

（9—Qx=17

17

x=----

9-k

..•尤为正整数，，9一4为17的正整数因数

9T=1或9T=17

，k=8或k=-8故％=±8

01.a为何值，方程2+。=座—[x—6）有无数个解.

326

02.如果关于x的方程三七=之士的解不是负值，那么a与b的关系是（）

35

33

A.a>—bB.b>—aC.5a236D.5a=3b

55

【例3】（黄冈竞赛）某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有

一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每

隔多少分钟从起点站开出一辆？

【解法指导】根据“路程=速度X时间”，所以当路程相同时与时间成正比•

Y—412—x

解：设站点每隔尤分钟开出一辆根据题意，得^—=——解得x=6

412

答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆

【例4】（聊城）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元;

经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元・

当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜

进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式

不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，

为此公司研制三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工.

方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.

方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.

你认为选择哪种获利多？为什么？

【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较

三种利润的大小即可求解•

解：对方案一：获利为4500X140=630000（元）

对方案二：15天细加工：6X15=90（吨）说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可

获利7500X90+1000X50=725000（元）

对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则（140—x）吨进行粗加工，根据题意得

解得x=60140—％=140—60=80

故获利为7500><60+4500X80=810000（元）由此，选择方案三

【例5］（课本变形题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8

个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个

房间之外，还多刷了另外的40疗墙面•每名一级技工比二级技工一天多粉刷10序墙面，

求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？

【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量=工作效率x工作时间”关系探

求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1-

解：设每一名一级技工一天刷制"2的墙面，则每名二级技工一天刷（尤一10）切2的墙面.

根据题意得卫土地=5（XT。）-40

810

解得x=122则x—10=122—10=112

答：每一名一级技工一天刷122疗的墙面，则每名二级技工一天刷112疗的墙面.

【例6】京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直

达运行的时间为半小时•某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了

6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同•如果这次试车时，由天津返回北京比去

天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少

千米？

【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程=速度X时间”关系探求数量关系和相

等关系

解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均

速度是每小时（尤+40）千米

根据题意得里士（x+40）

602

解得x=200

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米•

01.（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是匕，回来的速度是岭，则他的

平均速度为（)

匕%匕+丫2

A.工DR.2CD.3

2匕+匕2vlv2匕+匕

考点7图形初步

【例11（山西）一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图

的形状，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）

A.19平方米B.21平方米C.33平方米D.34平方米

【解法指导】本题把涂上颜色的面积一块一块加起来计算很麻烦,应从整体角度出发，

把立体转化为平面，观察题图所给的几何体，从前、后、左、右四个方向都只能看到6个1

XI的正方形，从上面看可以看到一个3X3的大正方形轮廓，所以被涂上颜色的总面积应

为4X6X1X1+3X3X1X1=33（平方米），故选C.

01.如图，立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数的和都相等,

那么这三对数的总和是（）

A.76B.78C.80D.81

02.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，那么

搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）

从正面看从左面看从上面看

03.如图所示的是一个由白纸拼成的立体图形，但有两面刷上黑色，将该立体图形展开后应

该是（）

^YYY^

A.B.C.D.

04.如图所示是三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展

开图是（）

A.B.C.D.

【例2】（第21届江苏省竞赛题）设5cmX4cmX3cm长方体的一个表面展开图的周长为n

cm,则n的最小值是.

【解法指导】把展开图的周长用相应的代数式表示.长方体的展开图的周长为8c+46

+2a.故周长最小值为8X3+4X4+2X5

01.设有一个边长为1的正三角形，记作4,将4的每条边三等分，在中间的线段上向

外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2；将4的每条边三等分，重

复上述过程，所得到的图形记作4,现将4的每条边三等分，重复上述过程，所得到

的图形记作A4,则4的周长是多少？

考点8直线、射线、线段

【例1】已知：线段AB=10CM,M为AB的中点，在A8所在直线上有一点P,N为AP的

中点，若MN=T5cm,求AP的长.

【解法指导】题中已说明尸在A3所在直线上，即说明尸点可能在线段上，也可能

在A8的延长线上(不可能在胡的延长线上)，故应分类讨论.

解：⑴如图①，当点P在线段A8上时，点N在点M的左侧，则AP=2AN=2(AM-

MN)=2=2X(5-1.5)=7(cm)；

①.-----------------•-------------•——•-

ANMPB

⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP=2AN=2(AM

+MN)=2C^AB+MN^=2X(5+1.5)=13(cm)；

②----------------------------------------------------•——•—

AMNBP

所以AP的长为7cm或13cm

【例2】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问:

⑴要有多少种不同的票价?

⑵要准备多少种车票？

【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作

一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线

段.因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少

种车票即是求有多少条射线.

ABCDE

解：因为图中有10条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，