2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测二十第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测二十函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列四个函数中在(0,+∞)上单调递增的是 ()A.f(x)=8-x B.f(x)=(x-2)2C.f(x)=QUOTE+1 D.f(x)=x2+2x【解析】选D.A在R上为减函数,B在(0,2)上单调递减,C在(0,+∞)上单调递减.2.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上 ()A.递减 B.递增C.先减后增 D.先增后减【解析】选C.因为y=|x+2|=QUOTE作出y=|x+2|的图象,如图所示,易知在[-3,-2)上单调递减,在[-2,0]上单调递增.【补偿训练】函数f(x)=QUOTE的单调减区间是 ()A.(-∞,+∞) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由-2x+1≥0,得x≤QUOTE,又一次函数y=-2x+1为R上的减函数,故f(x)=QUOTE的单调减区间为QUOTE.3.(2024·宣城高一检测)已知函数y=ax和y=-QUOTE在(0,+∞)上都是单调递减的,则函数f(x)=bx+a在R上是 ()A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0【解析】选A.因为y=ax和y=-QUOTE在(0,+∞)上都是单调递减的,所以a<0,b<0,f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0.4.函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+12),则实数m的取值范围是()A.(-∞,-4)B.(0,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】选C.因为函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+12),所以2m>-m+12,即m>4.5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=QUOTE在区间[1,2]上都是单调递减的,则a的取值范围是 ()A.(-1,0)∪(0,1] B.(-1,0)∪(0,1)C.(0,1) D.(0,1]【解析】选D.f(x)=-(x-a)2+a2,当a≤1时,f(x)在[1,2]上是单调递减的;g(x)=QUOTE,当a>0时,g(x)在[1,2]上是单调递减的,则a的取值范围是0<a≤1.6.(多选题)函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是单调递增的,则下列选项正确的是 ()A.f(1)≥25 B.f(-1)≤-7C.f(1)≤25 D.f(-1)≥-7【解析】选A、B.因为函数f(x)的对称轴为x=QUOTE,所以f(x)在QUOTE上是单调递增的.所以QUOTE≤-2,所以m≤-16.则f(1)=4-m+5=9-m≥25.f(-1)=4+m+5=9+m≤-7.【补偿训练】假如f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间QUOTE上是单调递减的,则a的取值范围是()A.(0,1] B.[0,1)C.[0,1] D.(0,1)【解析】选C.a=0时,f(x)=-2x+1,在区间QUOTE上是单调递减的,符合题意;当a≠0时,假如f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间QUOTE上是单调递减的,必有QUOTE解得0<a≤1,综上所述,a的取值范围是[0,1].二、填空题(每小题5分,共10分)7.假如二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间QUOTE上是单调递增的,则实数a的取值范围为________.

【解析】因为二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5的图象的对称轴为直线x=QUOTE,又函数f(x)在区间QUOTE上是单调递增的,所以QUOTE≤QUOTE,解得a≤2.答案:(-∞,2]8.已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为________.

【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0.答案:(-3,0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.作出函数f(x)=QUOTE的图象,并指出函数的单调区间.【解析】f(x)=QUOTE的图象如图所示,由图象可知,函数的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞).10.已知函数f(x)=QUOTE.(1)求f(x)的定义域.(2)证明函数f(x)=QUOTE在[1,+∞)上是单调递增的.【解析】(1)由题意知x+1≠0,即x≠-1.所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).(2)∀x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为x1<x2,所以x2-x1>0.又因为x1,x2∈[1,+∞),所以x2+1>0,x1+1>0.所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1).所以函数f(x)=QUOTE在[1,+∞)上是单调递增的.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)关于函数y=-QUOTE的单调性的叙述正确的是 ()A.函数在(-∞,0)上是单调递增的B.函数在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调递增的C.函数在[0,+∞)上是单调递增的D.函数的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞)【解析】选A、D.结合函数y=-QUOTE的图象可知,其在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递增的.2.函数y=QUOTE的单调递增区间是 ()A.(-∞,-3] B.QUOTEC.(-∞,1) D.[-1,+∞)【解析】选B.由2x-3≥0,得x≥QUOTE.又因为t=2x-3在(-∞,+∞)上单调递增,y=QUOTE在定义域上是增函数,所以y=QUOTE的单调递增区间是QUOTE.3.已知f(x)为R上的减函数,则满意fQUOTE<f(1)的实数x的取值范围是()A.(-1,1) B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选C.由已知条件:QUOTE>1,不等式等价于QUOTE解得-1<x<1,且x≠0.4.已知函数f(x)=QUOTE是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.当x<0时,函数f(x)=x2-ax+1是减函数,解得a≥0,当x≥0时,函数f(x)=-x+3a是减函数,分段点0处的值应满意1≥3a,解得a≤QUOTE,所以0≤a≤QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+1在区间(-∞,3)上是单调递减的,则a的取值范围是________.若函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+1的单调减区间是(-∞,3),则a为________.

【解析】①当a=0时,f(x)=-12x+1在(-∞,3)上是单调递减的;②当a>0时,要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+1在区间(-∞,3)上是单调递减的,则对称轴x=QUOTE必在x=3的右边,即QUOTE≥3,故0<a≤QUOTE;③当a<0时,不行能在区间(-∞,3)上恒为单调递减的.综合知:a的取值范围是QUOTE.若函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+1的单调减区间是(-∞,3),则对称轴x=QUOTE=3,则a=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE6.已知函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是______.

【解析】f(x)=|x+a|=QUOTE所以f(x)在(-∞,-a]上单调递减;又f(x)在(-∞,1]上单调递减;所以-a≥1,所以a≤-1.答案:(-∞,-1]7.已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数,则满意不等式f(1-2a)-f(3-a)>0的实数a的取值范围为________.

【解析】由题意,可得f(1-2a)>f(3-a).因为f(x)在定义域[1,4]上单调递减,所以QUOTE解得-1≤a≤0,所以实数a的取值范围为[-1,0].答案:[-1,0]8.已知函数f(x)=QUOTE则满意不等式f(1-x2)>f(2x)的x的范围是________.

【解析】f(x)=QUOTE的图象如图所示,不等式f(1-x2)>f(2x)等价于QUOTE或QUOTE解得-1<x<QUOTE-1.答案:(-1,QUOTE-1)三、解答题(每小题10分,共30分)9.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出该函数的单调区间.【解析】x≥0时,y=-x2+2x+3;x<0时,y=-x2-2x+3.所以y=QUOTE画出该函数的图象如图所示,由图象知,该函数的单调递增区间是(-∞,-1],(0,1];单调递减区间是(-1,0],(1,+∞).10.已知函数f(x)=x-QUOTE+QUOTE在(1,+∞)上是单调递增的,求实数a的取值范围.【解析】设1<x1<x2,所以x1x2>1.因为函数f(x)在(1,+∞)上是单调递增的,所以f(x1)-f(x2)=x1-QUOTE+QUOTE-QUOTE=(x1-x2)·QUOTE<0.因为x1-x2<0,所以1+QUOTE>0,即a>-x1x2.因为1<x1<x2,x1x2>1,所以-x1x2<-1,所以a≥-1.所以a的取值范围是[-1,+∞).11.设f(x)=x2+1,g(x)=f(f(x)),F(x)=g(x)-λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间QUOTE上是单调递减的且在区间QUOTE上是单调递增的?【解析】假设存在这样的实数λ,则由f(x)=x2+1,g(x)=f(f(x)),得g(x)=(x2+1)2+1,所以F(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)·x2+2-λ.令t=x2,则t=x2在(-∞,0)上单调递减,且当x∈QUOTE时,t>QUOTE