河北省唐山市遵化市2024-2025学年高二数学上学期期中试题含解析

PAGE20-河北省唐山市遵化市2024-2025学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.单项选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角．【详解】由直线方程知直角斜率为，在上正切值为1的角为，即为倾斜角．故选：B．2.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图，确定三棱锥的高与底面，及底面面积后可得体积．【详解】由三视图知三棱锥中，与底面垂直，底面是等腰三角形，，，∴．故选：A．3.圆的圆心坐标和半径分别为（）A.，5 B.， C.，5 D.，【答案】D【解析】【分析】依据圆的标准方程即可求解.【详解】由圆的方程为：，则圆心坐标为，半径为.故选：D【点睛】本题考查了干脆求圆的圆心与半径，考查了基本学问的驾驭状况，属于基础题.4.如图所示，将无盖正方体纸盒绽开，直线，在原正方体中的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.相交成【答案】D【解析】分析】将原正方体盒子的绽开图还原成直观图，再推断的位置关系.【详解】原正方体盒子的直观图如图所示：则与相交，连接，有为等边三角形,故选：D【点睛】本题考查空间中直线位置关系的推断，考查正方体侧面开展图与原几何体的关系，比较简洁，只需画出直观图即可解决问题.5.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圆心坐标为，依据斜率公式求得，再由依据圆的弦的性质，得到，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可得，所以圆心坐标为，半径为，又由斜率公式，可得，依据圆的弦的性质，可得，所以，所以弦所在直线方程为，即，所以弦所在直线方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中娴熟应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算实力.6.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为36，求出半径，即可求出球的表面积．【详解】解：如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选：．【点睛】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大是关键，属于中档题．7.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：如图所示：曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b距离等于半径2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得≤b≤3故答案为C8.在正方体中，直线与面所成角的正弦为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合题意，构造该直线与平面所成夹角，计算正弦值，即可．【详解】连接AC交BD于点O，连接，因为，得到，所以为直线与面所成角，设，则，所以，故选B．【点睛】本道题考查了计算直线与平面所成角，考查了直线与平面垂直的判定，难度中等．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系（）A平行 B.垂直 C.异面 D.重合【答案】ABC【解析】【分析】依据空间两条直线的位置关系推断．可以用模型说明．【详解】视察正方体中与一条棱垂直的棱可知，ABC均可能，故选：ABC．10.设､是两条不同的直线，､､是三个不同的平面．下列四个命题中正确命题是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】AB【解析】【分析】直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对选项进行逐一推断，推出结果即可．【详解】解：若，，则，是直线和平面垂直的判定，A正确；若，，，则，推出，满意直线和平面垂直的判定，B正确；若，，则，两条直线可能相交，也可能异面，C不正确．若，，则中与可能相交或异面．考虑长方体的顶点，与可以相交．D不正确．故选：AB．【点睛】本题考查线线平行与垂直的判定，线面垂直的判定，面面平行的判定，是基础题.11.已知圆上有且仅有两个点到直线3415=0的距离为1，则实数a的可能取值（）A.15 B.6 C.0 D.1【答案】BC【解析】【分析】确定圆心不过已知直线，与已知直线平行且距离为1的直线有两条，这两条直线一条与圆相交，一条与圆相离即可得．由此求出的范围后可推断各选项．【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为（），圆心到已知直线的距离为，则圆心到与直线平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，由题意，解得．只有BC满意．故选：BC．【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法的得出是由于到已知直线距离为1的点在两条平行线上，与已知直线的距离是1，要满意题意，则这两条直线一条圆相交，一条与圆相离（圆心不在直线上）．由直线与圆的位置关系求解．12.如图，在正方体ABCD中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题，则其中正确的命题的是（）A.平面B.C.平面PD⊥平面D.三棱锥体积不变【答案】ACD【解析】【分析】确定平面平面，可推断A，取特别点可推断B，证明平面后得面面垂直，可推断C，由棱锥体积公式可推断D．【详解】如下图，正方体中，由线面平行的判定定理，得平面，同理平面，因此可得平面平面，从而平面内的直线平面，A正确；如下图，当是与交点时，是锐角，B错；如下图，由正方体中，可得平面，从而，同理有，因此有平面，∴平面平面，C正确；如上图，的面积是矩形面积的一半，不变，到平面的距离不变是，因此三棱锥即三棱锥的体积不变，D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面关系，棱锥的体积，驾驭线面平行的判定，线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系是解题关键．解题时对三个垂直的间相互转化需娴熟驾驭．三.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）13.已知正四棱锥的高为4，侧棱长为3，则该棱锥的侧面积为___________.【答案】【解析】【分析】由高和侧棱求侧棱在底面射影长，得底面边长，从而可求得斜高，可得侧面积．【详解】如图，正四棱锥，是高，是中点，则是斜高，由已知，，则，是正方形，∴，，，侧面积为侧．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求正棱锥的侧面积．在正棱锥计算中，解题关键是驾驭四个直角三角形：如解析中图中，正棱锥的几乎全部量在这四个直角三角形中都有反应．14.经过点作圆的切线，则切线的方程为___________.【答案】【解析】【分析】依据题中条件，先求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得．故答案为：.15.正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1【答案】45°【解析】【详解】试题分析：解：如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴=(0，1，0)，=(-1，1，1)，设面ABC1的法向量为=(x，y，z)，∵•=0，•=0，∴y=0，-x+y+z=0，∴=(1，0，1)，∵面ABC的法向量=(0，0，1)，设二面角C1-AB-C的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜，＞|=，∴θ=45°，答案为45°．考点：二面角的平面角点评：本题考查二面角的平面角及求法，是基础题．解题时要仔细审题，留意向量法的合理运用16.当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是________________.【答案】【解析】【分析】设动点，，的中点，由中点坐标公式可解出，，将点点的坐标代入已知圆的方程，化简可得到所求中点的轨迹方程.【详解】解：设动点，，的中点，由题意可得：，，解得：，，又点在圆上运动，，化简得：，即为所求的轨迹方程.故答案为：.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设是轨迹上的随意一点；②找寻动点所满意的条件；③用坐标表示条件，列出方程；④化简方程为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，留意验证.四.解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知直线和直线，（1）当时，求的值；（2）当与平行时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据两直线垂直，列出方程，即可求出结果；（2）依据题意，先得到，求出，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】（1）由题意，若，则，解得；（2）若与平行，则，解得或，当时，与重合，不满意题意；当时，和平行，满意题意.故.18.如图正方形中，证明：（1）；（2）平面【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质可得；（2）由线面垂直的判定定理证明平面，从而得出，再由，得出平面.【详解】（1）连接在正方体中底面，底面为正方形又底面，又平面，平面，平面又平面（2）连接在正方体中,侧面，侧面为正方形又侧面,，又平面，平面，平面,又平面,由（1）可知.，平面，平面平面【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及证明线面垂直，属于中档题.19.已知的顶点，，，求（1）边上的中线所在直线的方程；（2）求点关于直线对称点坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的中点的坐标，从而可求的直线方程.（2）求出直线的方程，设所求对称点的坐标为，依据中点和垂直两个关系得到关于的方程组，求解后可得所求的对称点的坐标.【详解】（1）由题设有，故，故直线的方程为：即.（2），故直线的方程为：，设点关于直线对称点坐标为，则，解得，故点关于直线对称点坐标.【点睛】本题考查直线方程以及点关于直线的对称点的求法，后者留意利用中点和垂直来构建关于对称点的坐标的方程组，本题属于基础题.20.如图，在三棱柱ABC中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点.（1）求证：BD⊥平面AC；（2）求证：直线A平面BD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，，则证得线面垂直；（2）设，连接DO，由中位线定理得，从而可得线面平行．【详解】(1)证明:由三棱柱ABC中，各个侧面均是边长为2的正方形可知三棱柱为正三棱柱由D为线段AC的中点，可知BD⊥AC，因为BD⊥A，，所以BD⊥平面AC(2)证明:连接，且，连接DO在中为中点，为中点，所以DO平面BD，A平面BD所以A平面BD．【点睛】关键点点睛：本题考查证明线面垂直与线面平行，解题关键是驾驭线面平行与线面垂直的判定定理．解题时留意要满意定理的全部条件，缺一不行，在全部条件满意的状况下可由定理得出结论．21.如图，圆与圆(点在点的右侧)与轴分别相切于，两点，另两圆外切且与直线分别相切于，两点，若.（1）求圆与圆的标准方程；（2）过B作直线EF的垂线L，求直线L被圆E截得的弦的长度.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先由题意，得到圆的半径为，进而可得的方程；再由题意，得到、、三点共线，设圆的半径为，由题意，得到，再求出，即可得出圆的方程；（2）先由题意，联立直线与圆的方程求出，以及直线L的方程，依据几何法，即可求出圆的弦长.【详解】（1）因为点，圆与轴分别相切于，所以，即圆的半径为，所以圆；因为圆与圆(点在点的右侧)与轴分别相切于，两点，与直线分别相切于，两点，且两圆外切，所以、、三点共线，设圆的半径为，则有，即，解得，即，则又在直线上，所以，即，因此，圆；(2).联立，解得，所以，又；所以过点且与垂直的直线L为:，即，因为点E到直线L的距离所以直线L被圆截得弦长.【点睛】方法点睛：求圆的弦长的方法：（1）代数法：联立直线与圆的方程，依据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；（2）几何法：先求圆心到直线的距离，依据圆心到直线距离的平方与弦长一半的平方之和等于半径的平方，即可求出弦长.22.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1（1）平面AB1F1∥平面C1BF（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由棱柱的性质及中点得B1F1∥BF，AF1∥C1F（2）先证明B1F1⊥平面ACC1A【详解】