江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）总分150分时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.复数的虚部是 ()A. B. C. D.2.化简= ()A. B.C. D.3.在中,为角的对边,且,则的取值范围是 ()A. B.C. D.4.的三边长分别为,则的值为 ()A. B. C. D.5.在中,角的对边分别为,向量,,若,且,则角的大小为 ()A. B.C. D.6.已知正三角形的边长为,设,那么的值是 ()A. B. C. D.7.我国古代人民早在几千年以前就已经发觉并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若,为的中点,则()A. B.C. D.8.下列关于函数的说法错误的是 ()A.最小正周期为B.最大值为,最小值为C.函数图象关于直线对称D.函数图象关于点对称二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知是锐角,那么下列各值中不能取得的值是 ()A. B. C. D.10.设向量,则下列叙述错误的是 ()A.若,则与的夹角为钝角B.的最小值为C.与共线的单位向量只有一个为D.若,则或11.下面关于复数的四个说法中,结论正确的是 ()A.若复数,则B.若复数满意,则C.若复数满意,则D.若复数满意,则12.在三角形中,下列说法正确的有 ()A.若,则三角形有两解B.若,则肯定是钝角三角形C.若,则肯定是等边三角形D.若,则肯定是等腰三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在中,若,三角形的面积,则三角形外接圆的半径为________.14.在中,设边所对的角为,若,则的最大值为________.15.若点是所在平面内的一点,且满意,则与的面积之比为________.

16.我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设的三个内角的对边分别为,面积为,则“三斜求积”公式为__________________________.若,,则用“三斜求积”公式求得的面积_____.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数,当取何值时复数是:(1)实数;(2)纯虚数;(3).18.已知的内角的对边分别为,向量.(1)当时,求的值;(2)当且时,求的值.19.在中,.(1)求的大小;(2)求的最大值.20.在中,角的对边分别为,已知.(1)求的值;(2)在边上取一点,使得,求的值.21.在某次地震时,震中(产生振动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市.已知两城市相距,两城市相距,市在两市之间,如图所示,某时刻市感到地表振动,后市感到地表振动,后市感到地表振动,已知震波在地表传播的速度为每秒.求震中到三市的距离.22.在①;②;③的面积为,且,这三个条件中随意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角中,角所对的边分别为,________,函数的最小正周期为,为在上的最大值,求的取值范围.

注:假如选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.泰兴市第三高级中学虹桥校区2024-2025高一数学期中试卷答案总分150分时间120分钟20240426一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.复数11A.-310 B.-110 C.110【解析】选D.因为11-3i=1+3i(1-32.化简2cos8+2-2A.2sin4 B.-2sin4C.2cos4 D.-2cos4【解析】选A.原式=4cos2因为π<4<3π所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.3.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 ()A.0,π3 C.0,π6 【解析】选A.cosB=a2+c2-b22ac4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为 ()A.19 B.14 C.-18 D.-19【解析】选D.由余弦定理的推论知cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=1935,所以·=||·5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(3,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小为 ()A.π6,π3 B.2C.π3,π6 D.π【解析】选C.因为m⊥n,所以3cosA-sinA=0,所以tanA=3,则A=π3sinAcosB+sinBcosA=sin2C所以sin(A+B)=sin2C,所以sinC=sin2因为0<C<π,sinC≠0,所以sinC=1,所以C=π2,所以B=π6.已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是 ()A.32 B.-32QUOTE12 C.12 D.-【解析】选B.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-327.我国古代人民早在几千年以前就已经发觉并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则= ()A.45a+25b B.25aC.43a+23b D.23a【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.利用勾股定理可得x,通过Rt△ABE的边角关系,可得E的坐标,设=m+n,通过坐标运算性质即可得出.【解析】选A.如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.所以x2+4x2=1,解得x=55设∠BAE=θ,则sinθ=55,cosθ=2所以xE=255cosθ=45,yE=255设=m+n,则45所以m=45,n=25.所以=45a+28.下列关于函数f(x)=1-2sin2x-π4的说法错误的是A.最小正周期为πB.最大值为1,最小值为-1C.函数图象关于直线x=0对称D.函数图象关于点π2【解析】选C.函数f(x)=1-2sin2x-π4=cos2最大值为1,最小值为-1,B正确.由2x=kπ+π2⇒x=kπ2+π4,k∈Z,得函数图象关于直线x=kπ2+由2x=kπ⇒x=kπ2,k∈Z,得函数图象关于点kπ2,二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知θ是锐角,那么下列各值中sinθ+cosθ不能取得的值是 ()A.43 B.34 C.5【解析】选BCD.因为0<θ<π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以22<sinθ+π4≤1,又sinθ+cos10.设向量a=k,2,b=A.若k<2,则a与b的夹角为钝角B.a的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为2D.若a=2b,则k=22或-22【解析】选ACD.对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故选项A不正确,符合题意;对于选项B,a=k2+4对于选项C,b=2,与b共线的单位向量为±bb,即与b共线的单位向量为22,-对于选项D,a=2b=22,即k2+4=22,解得k=11.下面关于复数的四个说法中,结论正确的是 ()A.若复数z∈R,则z-B.若复数z满意z2∈R,则z∈RC.若复数z满意1zD.若复数z1,z2满意z1z2∈R,则z1=z【解析】选AC.A选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则z-=a-bi(a,b∈R),因为z∈R,所以b=0,因此z-=a∈R,即A正确;B选项,设复数z=a+bi(a,b∈R)则z2=a+bi2因为z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,则z∉R,故B错;C选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则1z=1a+bi=a-因为1z∈R,所以ba2+b2=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正确;D选项,设复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=因为z1z2∈R,所以ad+bc=0,若a=1,b=1,12.在三角形ABC中,下列说法正确的有 ()A.若A=30°,b=4,a=5,则三角形ABC有两解B.若0<tanA·tanB<1,则△ABC肯定是钝角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC肯定是等边三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,则△ABC肯定是等腰三角形【解析】选BC.因为A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=bsinAa=2所以B只有一个解,故A错误.由0<tanA·tanB<1,得0<sinAsinBcosAcosB所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<π2所以C=π-A-B>π2故△ABC肯定是钝角三角形,故B正确.因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正确.因为a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=π2或所以△ABC的形态是等腰或直角三角形.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第1个空2分，第2个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=3,则三角形外接圆的半径为________.

【解析】在△ABC中,因为b=2,A=120°,三角形的面积S=3=12bc·sinA=c·3所以c=2=b,故B=C=12(180°-A)=30°再由正弦定理可得bsinB=2R=2所以三角形外接圆的半径R=2.答案:214.在△ABC中,设边a,b,c所对的角为A,B,C,若cosA=12,a=6,则bc的最大值为________【解析】依据题意,在△ABC中,若cosA=12a=6,则a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)2≥4bc,则有4bc-3bc=bc≤6,即bc的最大值为6.答案:615.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满意3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.

【解析】如图,D为BC边的中点,则=12(+).因为3--=0,所以3=2,所以=23,所以S△ABM=23S△ABD=13S△答案:1∶316.我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为________.若a2sinC=2sinA,(a+c)2=4+23+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.

【解析】由余弦定理得cosB=c2所以sinB=1-cos2所以S△ABC=12acsinB=12ac=14因为a2sinC=2sinA,所以a2c=2a又因为(a+c)2=4+23+b2,所以c2+a2-b2=23,S=14c2a2答案:S=14c四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数z:m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何值时复数z是:(1)实数;(2)纯虚数;(3)z=2+5i.【解析】(1)因为z为实数,所以m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1,所以当m=-3或m=1时,z为实数;(2)由z为纯虚数,可得m(m-(3)因为z=2+5i,所以m(m-1)+(m2+2m-3)i=2+5i,所以m(18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,a),n=(1,sinB).(1)当m·n=2sinA时,求b的值;(2)当m∥n且cosC=12【解析】(1)由题意得m·n=sinA+asinB=2sinA,即asinA=1sinB.由正弦定理得asinA(2)由平行条件得a=sinA·sinB,cosC=-cosA+B=sinAsinB-cosAcosB=则可得到cosAcosB=12a,所以tanAtanB=sinAsinB19.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.【解析】(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB.代入已知得,cosB=22.因为B∈(0,π),所以B=π(2)2cosA+cosC=2cosA+cos(π-B-A)=2cosA+cos3=22cosA+22sinA=sin因为B=π4,所以A∈0,3π4当A+π4=π2,即A=π4时,sinA20.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45【解析】(1)由余弦定理,得cosB=cos45°=a2+c2-因此b2=5,即b=5,由正弦定理csinC=bsinB,得2sinC=5(2)因为cos∠ADC=-45所以sin∠ADC=1-cos2因为∠ADC∈π2,π,所以C所以cosC=1-sin2所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC=25因为∠DAC∈0,π2,所以cos∠DAC=1故tan∠DAC=sin∠DACcos21.在某次地震时,震中A(产生振动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两城市相距20km,C,D两城市相距34km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表振动,8s后B市感到地表振动,20s后D市感到地表振动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B,C,D三市的距离.【解析】在△ABC中,由题意得AB-AC=1.5×8=12(km).在△ACD中,由题意得AD-AC=1.5×20=30(km).设AC=xkm,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在△ABC中,cos∠ACB=x2+400-(12+x在△ACD中,cos∠ACD=x2+1156-(因为B,C,D在一条直线上,所以64-15x17x=-32解得x=487.所以AB=1327km,AD=即震中A到B,C,D三市的距离分别为1327km,487km,22.在①acosB+bcosA=2ccosC;②2asinAcosB+bsin2A=3a;③△ABC的面积为S,且4S=3(a2+b2-c2),这三个条件中随意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,________,函数fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx的最