九年级数学相似三角形的性质培优教程

九年级数学相似三角形的性质培优教程考点·方法·破译1.理解相似三角形的性质，并能灵活应用；2.能根据相似三角形周长、面积与相似比的关系解决实际问题；3.会根据定义判别两图形是否为位似图形，能运用位似性质解实际问题.经典·考题·赏析【例1】（成都）已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1【解法指导】由题意可知两三角形的相似比为1：2，根据性质知它们的面积之比为1：4.本题应选B.【变式题组】1.（重庆）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1：4B.1：2C.2：1D.1：2.（本溪）如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在若△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于.【例2】（大连）原点O是△ABC与△A/B/C/的位似中心，点A（1，0）与点A/（-2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A/B/C/的面积是.【解法指导】由位似性质可知：△ABC∽△A/B/C/，且相似比k=OA：OA/=，∴△A/B/C/的面积是×4=6.【变式题组】3.（滨州）在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A/B/C/，使△ABC与△A/B/C/的相似比等于，则点A/的坐标为.4.（宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A.△AOM和△AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形5.（南宁）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得OA=20cm,OA/=50cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是.【例3】（上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A.=B.=C.=D.=【解法指导】本题要弄清对应线段的含义，设AF，BE交点为O，A选项中线段对应成比例，正确；B选项中BC与AD、CE与DF相对应，不正确；C选项中CD、EF与OC、OE及OD、OF相对应，不正确；同理D也不正确.本题应选A.【变式题组】6.（重庆）锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形PQ，设其边长为x，正方形PQ与公共部分的面积为y（y＞0），当x=，公共部分面积y最大，y最大值=.7.（孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）面积分别是4、9和49.则△ABC的面积是.8.（吉林）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果CB=1，那么OE的长为.【例4】（包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(1,0)，B(2,0)，C(0,-2)，直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．【解法指导】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分.解：(1)根据题意，得，解得∴y=-x2+3x-2(2)当ΔEDB∽ΔAOC时，得或。∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当时，得，∴.∵点E在第四象限，∴，当时，得，∴，∵点E在第四象限，∴(3)假设抛物线上存在一点这P，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1,当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴∴(舍去)∴，∴当点的坐标为时，点的坐标为，∵点F2在抛物线的图象上，∴∴∴∴(舍去)，∴∴.【变式题组】9.(长春)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．AABCDEF10.（临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．OOxyABC41【例5】(山东省竞赛题)如图，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF.【解法指导】∵AB∥EF∥CD，∴==①，==②，①+②，得==，=，CF=80.【变式题组】11.（河北竞赛）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=.12.（山东竞赛）如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长脚CD于点F.（1）求证：（1）求证：EF∥BD；（2）设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF=S，求n的值.演练巩固反馈提高1.（娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米2.（衢州、舟山）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）BB′A′-1x1O-11yBACA． B．C． D．3.（衢州、舟山）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）CCBDAEFCBD(A)AA．9.5 B．10.5C．11 D．15.54.（济宁）如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A． B． C． D．5.（福州）如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG=2∶3，则下列结论正确的是（）HHMGFNNCBAEDA．2DE=3MNB．3DE=2MNC．3∠A=2∠FD．2∠A=3∠F6.（宁德）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为____．CCODEFAB7.（日照）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．8.（泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD.（1）求证：DB∥CF；（2）当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB.9.(潍坊)已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点．（1）求的值；（2）若，求的长．AABFECD培优升级奥赛检测1.（杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个2.（湖州）如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（）DDCEFABA．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶33.（山西）如图，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．xxOABC12345678910111212345678910114.（威海）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则________．CCOAB5.（牡丹江）如图，中，直线交于点交于点交于点若则．AAEFDGCB6.（希望杯竞赛）如图，三个含30°角的直角三角形从小到大依次排列，彼此有一条边相等，AB=A/B/=B/C/，在这三个三角形中，BC：B/C/：B//C//=3：：.7.（美国邀请赛）如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC的三条边平行的直线，这样所得的3个三角形t1、t2、t3的面积分别为4、9和49，求△ABC的面积.8.（全国联赛）如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB上的点，∠1=∠2=∠3∠，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是m、m1、m2,证明：≤.9.（山西）在△ABC中，D为BC的中点，