2024-2025学年陕西某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高三(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合a={-1,1,2,4},B={x||x-l|W1},则力CB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.设a,b&R,贝ij“a3=b3”是“2。=26”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知命题p：VxeR,x+|x|>0；命题q：>0,5依=久，贝!|()

A.p和q都是真命题B.p和rq都是真命题

C.->p和q都是真命题D.-ip和rq都是真命题

4.已知函数/(%)=3上然花，二°在R上单调，则a的取值范围是()

A.(—8,0]B.[0,+8)C.[-1,1]D.[—1,0]

5.函数/(x)=装苧的图象大致为()

6.若m为函数/（%）=6（%-租）2（九一%）（其中znW0）的极小值点，贝女）

A.m>nB.mn>m2C.m<nD.mn<m2

7.已知函数/（%）=x2-2x+a（e》T+?一久+1）有唯一零点，则。=（）

A.B.C.~D.1

8.设a=21nl.01,b=lnl,O2,c=*则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.旅，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生

S衰变，其半衰期是12.43年样本中氤的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足可=N(r2一心，其中N。

表示瓶原有的质量，贝！1(参考数据：lg2«0.301)()

N

A.t=1243log2M

B.经过24.86年后，样本中的晁元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的笳元素变为原来的专

D.若久年后，样本中旅元素的含量为0.4N。，贝k>16

10.已知函数/(%)=x3-2x2+x+1,下列说法正确的是()

A.f(x+l)+f(-x+|)=2/(|)

B.方程n>)=|有3个解

C.当x6[0,2],f(x)£[1,3]

D.过点(0,1)作y=/(久)的切线，有且仅有一条

11.已知定义在R上不为常数的函数/'(%)满足/'(2x)+f(x+y)/(x-y)=0,贝!|()

A./(0)=-1B./(3)=[7(1)]3

C.=2D./(x)+/(-%)<-2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/'(%)=•3"-3—*)是偶函数，贝抽=.

11q

13.已知a>1,研一印=一5，则a=-------

14.若函数/'(X)=(bur-2)(ax-bi久)在(0,e)单调递增，贝!|a的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/'(X)=lnx+x2+ax+2在点(2,/(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.

(1)求a；

(2)求/(乃的单调区间和极值.

16.(本小题12分)

设函数/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,

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(1)判断函数/(X)的奇偶性；

(2)解不等式/(。2+D+f(-4)>0

17.(本小题12分)

已知函数/(%)=a(ex+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，f(x)>21na+|.

18.(本小题12分)

已知函数/'(X)=ln^^+ax+b(x—I)3.

(1)若b=0,且((x)>0,求a的最小值；

(2)证明：曲线y=/(久)是中心对称图形；

(3)若/(X)〉—2,当且仅当1<%<2,求b的取值范围.

19.(本小题12分)

若函数f(x)在区间/上有定义，且VxGI,/(x)e1,则称/是/(*)的一个“封闭区间”.

(1)已知函数/(x)=X+sinx,区间/=[0,r](r>0)是/(%)的一个"封闭区间”,求r的取值集合;

(2)已知函数。(久)=ln(x+1)+|x3,设集合P={x|g(x)=x}.

⑴求集合P中元素的个数；

(ii)用b-a表示区间[a,6](a<6)的长度，设机为集合P中的最大元素.

证明：存在唯一长度为根的闭区间。，使得。是9。)的一个“封闭区间”.

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参考答案

1.5

2.C

3.C

4.D

5.4

6.B

7.C

8.B

9.CD

10.AC

11.ABD

12.1

13.64

14.(-8月

15.解：(1)尸0)=|+2x+a,r(2)=5+a,

直线2x+3y=0的斜率-*/(%)在(2/(2))处的切线与直线2尤+3y=0垂直,

则弓+砌(一|)=-1,

得a——3；

(2)由a=-3,故/(%)=Inx+x2-3x+2,定义域为(0,+8),

令((%)=；+2%-3=+1=(2%?(%—1)一0,x>o,

解得％=寺或1,

所以当0<%，时，f(x)>0,/(%)单调递增；

当2V%<1时，/'(%)<0,/(%)单调递减；

当%>1时，/'(%)>0,/(%)单调递增，

故/(久)的单调递增区间为(0,3、(l,+8),f(x)的单调递减区间为6,1),

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所以f⑺极大值=6)=峙+(界-1+2=%-ln2,

〃式)极小值=/(1)=lnl+12-3+2=0.

16.解：(1)函数/(约为奇函数，证明如下：

由题意可得：伯:["。。，解得尤7士a

1

所以函数“%)的定义域为｛%|%±-),

又因为/(%)+/(_%)=ln|2x+1|-ln|2x-1|+ln|-2x+1|—ln|—2x-1|

=ln|2x+1|—ln|2x-1|+ln|2x-1|—ln|2x+1|=0,

即"%)=-所以函数/(%)为奇函数.

(2)当％Gg+8)时，/(%)=ln|2x+1|—ln|2x-1|=ln(2%+1)—ln(2x—1),

所以—-_____-——2久—1―(23+1)--------△-------VQ

历"/W-2x+l2%-1-(2%+1)(2%-1)-(2x+1)(2%-1)U,

所以/(X)在9+8)上单调递减，

因为函数人久)为奇函数.，所以不等式/(a2+l)+/(—4)>0等价于f(a2+l)〉/(4),

由于4>|,函数f(x)在8+8)上单调递减，

所以/S2+1)>/(4)等价于。2+1<4,解得：—4<a<避，

所以不等式/(。2+1)+/(-4)>0的解集为(一道，4).

17.1?：(1)/(久)=aex-l,

当。=0时尸(%)=-1<0,/(%)在(-8,+8)单调递减，

当aVO时Qe%V0,f'(x)<0,/(%)在(―8,+8)单调递减，

当a〉0时，令/(X)=0,%=-Ina,%C(-8,-lna)时，/<%)<0,/(%)单调递减.

%E(—Ina,+8)时>(%)>0,/(%)单调递增，

故当Q<0时/(%)在(-8,+8)单调递减，

当。>0时，/(%)在区间(-8,-lna)单调递减，在区间(-Ina,+8)单调递增.

(2)由⑴知当a>0时，/(%)在区间(-8,-1迎)单调递减，在区间(-Ina,+8)单调递增.故/(%)min=/(-Ina)

=小+Ina+1,

令g(a)=(a2+Ina+1)—(21na+|)=a2—Ina-

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g'(a)=2a：T,令g'(a)=0,因为a>0,故(1=乎，g(a)在区间(0,孝)单调递减，在区间(孝,+8)单调

递增，g(a)min=9(¥)=Tn#>0,即a>0时,g(a)>0恒成立，即/(x)min〉21na+|,即当a>0时，

/(%)>21na+

x

18.(1)解：当b=0时，/(x)=\ny—~+ax,xE(0,2),

2

由题意知Vxe(0,2),/(x)=x(2_x)+a20恒成立，

所以一a<■石]min，

因为Xe(0,2),所以久>0,2-%>0,

一22

所以工(2乃之(+2-y=2,当且仅当％=1时，取等号•

所以一a<2,则Qmin=—2.

(2)证明:因为-2—x)=ln号+a(2-r)+/>(l-x)3

■X

=—[h巧二;+ax+b(x—I)3]+2a=—/(%)+2a,

所以曲线y=f(x)关于点(l,a)成中心对称图形.

(3)解:因为/'(1)=a4—2,否则解集中含有x=1:又由(1)知。>-2,否则/'(1)<0,从而a=-2,

由题意知V%G(1,2),/(x)=ln^^-2x+h(x-l)3>-2,且f(l)=-2,

,(久)=x(2-xj~2+3^(x-1)2=(%-1)2[3&f'(l)=0,

令g(x)=f'(x)=(x-l)2[3/>+X(22_X)=

11

又。'(久)=一衰+©一支下+66(久-1),g'(l)=0,

11

令h(x)=g'(x)=一杀+(2_久)2+6b(x-l),

72

又"(久)=或+(2r)3+66,h'(l)=4+66,

令〃⑴=4+6b20,得b>-1,

此时.。)=0-1)2[思石+302(久一1)2匕含厂2]=靠著20,

故/(%)在(1,2)上单调递增,所以对V%£(1,2),f(x)>一2恒成立，

综上所述，b的取值范围为[—|,+8).

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19.解:⑴由于/'(%)=1+cosx>0且只在%=(2k+1)兀(忆为整数)处取到0,

故/(%)在R上单调递增，

所以％e[0用时，/(x)e[/(0)/(r)],

即f(%)W[。，丫+sinr],

所以命题等价于/(厂)<r,即丁+sinr<r,BPsinr<0,

所以厂的取值集合是仁耳2々初，kEN*；

(2)(。即求九(%)=ln(x+1)+擀%3_%(%>一1)的零点个数，

〃(x)=++*L

设t(X)=/l'(x)=Ny+｝：2-1,

g1

则t'(x)=/-(久+1)2在(T,+8)上单调递增，

因为y(0)=-1<0,%)=^-|>0,

所以存在%oW(0,1")，使得力'(%0)=。，

故当％e(-Lx。)时，«%)<0,函数「(%),即"(%)单调递减；

当%e(%。,+8)时,"%)>o,函数t(%)，即”(%)单调递增，

所以"(%)min="(%0)，

因为"(0)=0,所以》(孙)</1'(0)=0,

又+8时，//(%)7+00,

故存在％1£(%0,+8),使得“(%1)=