人教版初中九年级数学上册同步讲义-与旋转有关的计算（30题）（解析版）

专题第01讲与旋转有关的计算

1.(2023春•秦都区期末)如图，△48C是等边三角形，点E在/C边上，连接将绕点8逆时针

旋转60°得到AD,连接。£、AD.

(1)求证：4D=CE；

(2)若3c=8cm,BE=7cm,求的周长.

【分析】(1)利用等边三角形的性质和判定和旋转的性质，证明△C2E且即可得解；

(2)由3C=8c%，BE=lcm,结合(1)的结论，等线段转化，得到的周长.

【解答】(1)证明：•••△/3C是等边三角形，

：.BC=BA,ZABC=60°.

,:BD是由BE绕点B逆时针旋转60°得到，

：.BD=BE,NEBD=60°,

...△8DE是等边三角形，

：.ZCBE=ZABD,

.'.△CBE乌AABD(&4S),

：.AD=CE；

(2)解：,.,△45C和△RED都是等边三角形，

.".AE+AD=AE+CE=AC=BC=^cm,DE=BE=1cm,

AADE的周长为AD+AE+DE=8+7=l5cm.

2.(2023春•北林区期末)如图，在正方形/BCD中，E,尸是对角线8。上两点，且/=45°,将4

尸绕点/顺时针旋转90°后，得至！连接£。.

(1)求证：EF=EQ；

(2)求证：EF2=BE2+DF2.

【分析】(1)直接利用旋转的性质得出之△/FE(&4S),进而得出即可得出答

案；

（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案.

【解答】证明：（1）:将/绕点/顺时针旋转90°后，得到△42。，

：.QB=DF,4Q=AF,NB4Q=/DAF,

:NEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=45a,

，/Q4E=45°,

：.ZQAE=ZE4E,

在△NQE和△4FE中

，AQ=AF

<ZQAE=ZFAE-

,AE=AE

:.AAQE咨AAFE（SAS）.

：.EF=EQ；

（2）由（1）得AAQE咨AAFE,

：.QE=EF,

由旋转的性质，得NABQ=ZADF,

ZADF+ZABD^90°,

则ZQBE=ZABQ+ZABD=90°,

在RtZXQBE中，

QB2+BE1=QE1,

又,：QB=DF,

：.EF2=BE2+DF2.

3.（2022秋•同心县期末）如图，△A8C是等边三角形，点。在4C边上，将△BCD绕点C旋转得到44CE.

（1）求证：△CDE是等边三角形；

（2）若45=8,BD=7,求的周长.

【分析】（1）由旋转的性质可得CO=CE,/ACB=/ACE=60°,可得NCDE=60°=ZACB,可证

DE//BC-,

（2）由旋转的性质可得4&=5。=7,即可求△/£）£1的周长.

【解答】（1）证明：：△NBC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=60°,

:将△BCD绕点C旋转得到△，《£1.

：.CD=CE,NACB=NDCE=6Q°,

.♦.△COE是等边三角形；

(2)解：：将△BCD绕点C旋转得到△NCE.

：.AE=BD=1,

"：/\ADE的周长=/E+DE+4D=/E+DC+AD=NE+NC,

AADE的周长=7+8=15.

4.(2023春•清远期末)如图，在△/8C中，点£在3c边上，AE=AB,将线段/C绕N点旋转到/歹的位

置，使得NC4F=NB4E,连接跖，EF与AC交于点、G.

(1)求证：BC=EF；

(2)若//8C=64°,ZACB=25°,求/4GE的度数.

【分析】(1)由旋转的性质可得/C=4F,利用&4s证明△NBC也△/",根据全等三角形的对应边相等

即可得出EF=BC；

(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出NA4E=180°-64°X2=52°,那么NK4G=

52°.由得出/尸=NC=25°,再根据三角形外角的性质即可求出N4GE=N/GC=

ZE4G+ZF=77°.

【解答】(1)证明："：ZCAF=ZBAE,

：.NBAC=ZEAF.

:将线段/C绕/点旋转到/尸的位置，

：.AC=AF.

在△NBC与尸中，

'AB=AE

<ZBAC=ZEAF-

.AC=AF

:.AABC沿AAEF(SAS),

:.BC=EF；

(2)解：:AB=AE,ZABC=64°,

/.ZBAE=lS00-64°X2=52°,

/.ZFAG=ZBAE=52°.

,：4ABC咨AAEF,

：.ZF=ZC=25°,

:./FGC=NFAG+NF=52°+25°=77°,

:./AGE=17°.

5.（2023春•白银期中）如图，在四边形48CD中，N3CD=120°,BC=CD,AC±BD,点£在对角线

B。上,将线段CE绕点。顺时针旋转120°,得到线段CF,连接。足

（1）求证：BE=DF；

（2）若EB=EC,求证：ACLCF.

【分析】(1)首先根据旋转的性质得到N8CD=N£CF=/120°,CE=CF,然后证明出△BECg△。尸C

(.SAS),即可得到

(2)根据等边对等角得到NCAD=NCD3,然后利用全等三角形的性质得到NCDP=NCa),进而证明

CF//BD,最后利用平行线的性质求解即可.

【解答】证明：(1)由旋转性质得：ZBCD=ZECF=nO°,CE=CF,

/BCE=ZDCF,

又,：BC=CD,

:.△BEC妾4DFC(&4S),

：.BE=DF；

(2)'：BC=CD,

：.ZCBD=ZCDB,

若EB=EC,则ZCBD=ZBCE=ZCDB,

■:△BEC迫ADFC(SAS),

：.ZCDF=ZCBD,

：.ZDCF^ZCDB,

C.CF//BD,

'JACLBD,

J.ACYCF.

6.(2023春•南城县期中)如图，点。是等边三角形/8C内一点，将CO绕点。顺时针旋转60°得到CD,

连接O£>,AO,BO,AD.

(1)求证：BO=AD；

(2)若。/=10,08=8,OC=6,求。的度数.

【分析】(1)由旋转的性质就可以证明△8CO四

(2)先证出△0CD是等边三角形，又根据△BC。丝得出40=08=8,NBOC=NADC,再根

据勾股定理的逆定理得出//。。=90°,等量代换得出N8OC=150°.

【解答】(1)证明：：CO绕点C顺时针旋转60。得到CZ),

：.CO=CD,NOCD=60°,

:LABC是等边三角形，

；.CA=CB,NBCA=NOCD=60°,

：.ZBCA=ZOCD,ZBCO=ZACD,

在△BC。和△/CD中，CA=CB,NBCO=NACD,CO=CD,

：./\BCO^/\ACD(SAS),

：.BO=AD.

(2)解：'：CO=CD,ZOCD=60°,

...△OCD是等边三角形，

：.OD=OC=6,ZODC=60°,

；ABCO沿LACD,

.\AD=OB=8,ZBOC=ZADC,

■：OA=10,

：.OA2=AD2+OD2,

：.ZADO^90°,

/.ZADC=ZADO+ZODC^90°+60°=150°,

AZBOC^ZADC^150°.

7.(2023春•罗源县校级期中)如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△£＞口?,再将线段。E绕点

。顺时针旋转90°得到。G,连接BE、BG、AD,且/C=4.

(1)若//BC=135°.B、E、。三点在同一条直线上，求3G的长；

(2)若//8C=90°,NC=2CE,点尸在边48上，求线段尸〃的最小值.

A

G

CD

【分析】（1）由旋转的性质可得N/CD=90°=ZBCE,AB=DE,BC=CE,AC=CD,ZABC=ZDEC

=135°,由等腰三角形的性质可得/AE'C=45°=NCBE,可证NBEC+/CED=180°,通过证明四边

形/BAG是矩形，可得/D=8G,由等腰直角三角形的性质可求解；

（2）由垂线段最短可得当尸时，尸。的长度有最小值，先证点尸，点£,点。三点共线，由勾股

定理可求。£的长，由正方形的性质可得8C=P£=2,即可求解.

【解答】解：（1）如图，连接/G,

:将△ASC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,

:.AABC咨ADEC,N/CD=90°=NBCE,

：.AB=DE,BC=CE,AC=CD,

NABC=NDEC=135°,

：.ZBEC=450=NCBE,

:.NBEC+NCED=180°,

:.B、E、。三点共线；

:将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG,

：.DE=DG,NEDG=90°

：.AB=DE=DG,

VZABE=AABC-ZCBE=90Q,

：.ZABE+ZEDG=1SO°,

：.AB//DG,

，四边形/ADG是平行四边形，

又,:NBDG=90°

，四边形/2DG是矩形，

：.AD=BG,

：/C=CD=4,ZACD=90°,

:.AD=aAC=4e,

BG=442,

(2):点尸在边上，

/.当PD工AB时，PD的长度有最小值,

由旋转的性质可得：

/ABC=/CED=NBCE=90°,

C.BC//DE,

；N4BC+/BPD=180°,

：.DP//BC,

...点P,点E,点。三点共线，

'：AC=2CE,

：.BC=CE=2,

又：NABC=/BPE=/BCE=9Q°,

四边形3P£C是正方形，

：.BC=PE=2,

\S=/C=4,CE=2,NCED=90°,

£>£=VCD2-CE2=V16-4=273'

；.£>尸=2娟+2,

，线段PD的最小值为273+2.

8.(2023春•成武县期中)已知AB=AC,AB>BC.

F

(1)如图(1),CB平分/4CD,求证：四边形/ADC是菱形；

(2)如图(2),将(1)中的△(7£)£绕点C逆时针旋转(旋转角小于/3/C),BC,的延长线相交

于点R用等式表示N4CE与NEFC之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到ZC=QC,根据角平分线的定义得到NOC8=N4C3,证明四

边形45C。为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；

(2)根据全等三角形的性质得到N45C=NZ)EC,根据三角形内角和定理证明即可.

【解答】(1)证明：•：AABC"4DEC,

：,AC=DC,

*：AB=AC,

:・/ABC=/ACB,AB=DC,

•・・C5平分NZC。，

・•・/DCB=/ACB,

：./ABC=/DCB,

：.AB//CD,

・・・四边形ABDC为平行四边形，

U：AB=AC,

・・・平行四边形45。。为菱形；

(2)解：ZACE+ZEFC=\SO°,

理由如下：VAABC^ADEC,

：.NABC=/DEC,

：./ACB=/DEC,

•：/ACB+NACF=NDEC+/CEF=180°,

；・NCEF=/ACF,

■:/CEF+/ECF+NEFC=180°,

AZACF+ZECF+ZEFC=\SO°,

AZACE+ZEFC=\SO°.

9.(2023春•九江期末)如图，在RtZ\/5C中，ZBCA=90°,将△NBC绕点4逆时针旋转至处，

分别延长与瓦＞交于点R连接ZRCE.

(1)求证：E4平分NCFE；

(2)若S四边形/BFD=12,AC—4,求CE的长.

【分析】⑴根据旋转的性质知NC=/£,/ACB=NAED=9Q。，再利用角平分线的判定可得结论；

(2)根据旋转前后三角形全等可得S四边形/c尸E=12,再说明S△〃尸=S.EF=6,则CF=3,最后利用面

积法求出CE的长即可.

【解答】(1)证明：：将A/BC绕点/逆时针旋转至△4DE处，分别延长3C与皮)交于点R

；.AC=AE,NACB=/AED=90°,

:.AF平分NCFE；

(2)解：,:S四边形45FZ)=12,

••S四边形44方7)=S四边形4CFD+S445CM12,

・*S四边形4CFE=12，

•・・£4平分NCFE,ZACF=ZAEF=90°,

AZCAF=/EAF,

U：AC=AE,

・・・//垂直平分CE,

：.CF=EF,

S^ACF=S丛AEF=6，

：.CF=3,

在RtZX/CF中，由勾股定理得，AF=5,

・G—2X1224

AF5

10.(2023春•吁胎县期末)如图，将矩形/BCD绕点C旋转得到矩形FECG,点£在4D上，延长助交

FG于点、H.连接BE、CH.

(1)四边形3E//C是怎样的特殊四边形？证明你的结论；

(2)若3C长为2,则的长为时，四边形3EHC为菱形.

【分析】(1)依据题意可得到FE=N2=OC,NF=NEDC=90°,FH//EC,利用平行线的性质可证明

ZFHE=ZCED,然后依据44s证明△EDC且△处E,由全等三角形的性质可知EC,由旋转的性

质可得到8C=EC,从而可证明E8=2C,最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；

(2)连接2E.可证明△E2C为等边三角形，则N/8E=30°,利用特殊锐角三角函数值可得到答案.

【解答】解：(1)四边形8EHC是平行四边形.

证明：•.•四边形尾CG是矩形，

J.FG//EC,

：.ZCED=ZEHF,

;四边形厂ECG是矩形，

:.NEDC=/F=90°,DC=FE,

在AEDC和△毋E中，

，ZCED=ZEHF

<ZEDC=ZF，

.DC=FE

：./\EDC^/\HFECAAS),

:.EH=EC,

,：矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，

:.EH=EC=BC,EH//BC,

...四边形BEHC为平行四边形；

(2)当/8=正时，四边形是菱形,

连接AE.

•..四边形3瓦C为菱形，

:.BE=BC.

由旋转的性质可知BC=EC.

：.BE=EC=BC.

：.A£SC为等边三角形.

/.ZE5C=60°.

；.N4BE=30°.

：.AB：BE=M：2.

又,：BE=CB=2,

:.AB=M.

故答案为：Vs-

11.（2023春•平山县期末）如图，PQ//MN,A、2分别为直线血W、P。上两点，且NB/N=45°,若射线

绕点/顺时针旋转至/N后立即回转，射线3。绕点3逆时针旋转至3P后立即回转，两射线分别绕

点/、点2不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线3。转动的速度是//秒，且°、6满足

\a-5|+(6-1)2=0.(友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向)

(1)a—,b=；

(2)若射线NM、射线3。同时旋转，间至少旋转多少秒时，射线/M、射线8。互相垂直.

(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之

(2)依据/480+/8/。=90°,N/2Q+NR4M=180°,即可得到射线/“、射线8。第一次互相垂直

的时间；

(3)分两种情况讨论，依据〃时，BQ//AM",列出方程即可得到射线/“、射线2。

互相平行时的时间.

【解答】解：(1)|0-5|+(6-1)2=0,

'.a-5=0,b-1=0,

••6Z=5,6=1,

故答案为：5,1；

(2)设至少旋转方秒时，射线4M、射线5。互相垂直.

如图，设旋转后的射线ZM、射线5。交于点O,贝IJ50L40,

AZABO+ZBAO=90°,

9：PQ//MN,

：.ZABQ+ZBAM=180°,

：.ZOBQ+ZOAM=90°,

又•：/OBQ=t°,ZOAM=5t°,

：.t°+5t°=90°,

.'.t=15(s)；

(3)设射线再转动f秒时，射线//、射线5。互相平行.

如图，射线绕点/顺时针先转动18秒后，4W转动至4W1的位置，/M4Af=18X5=90°,

分两种情况：

①当9</<18时，NQBQ'=t°,/MAM"=5t°,

VZBAN=45°=ZABQ,

：.ZABQ'=45°-t°,NBAM"=/M4M"-ZMAB=5t-45

当NABQ'=NBAM"时，BQ'//AM",

此时，45°-1°=5f-45°,

解得f=15；

②当18c/<27时，ZQBQ'=t°,ZNAM"=5t°-90°,

■:NBAN=45°=/ABQ,

：.ZABQ'=45°-t°,ZBAM"=45°-(5?°-90°)=135°-5t°,

当NABQ=NBAM"时，BQ'//AM",

此时，45°-f=135°-5t,

解得1=225；

综上所述，射线4"再转动15秒或22.5秒时，射线4W、射线3。互相平行.

12.(2023春•振兴区校级期中)如图(1),在△NBC中，AB=AC=2,ZABC=30°,射线于点

C,动点。从点2出发沿射线3M方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为/秒；

(1)以点/为旋转中心，将4D逆时针旋转120°,得到线段NE,连接BE,BE是否存在最小值，不存

在，则说明理由，存在则求出3E最小时的/值及8E的最小值；

(2)若射线为/4B”的平分线，当点。从2点出发时，点厂从点/向3点与点。同时同速运动(0

W/W2),连接ED交8N于点G,当ABG9为等腰三角形时，直接写出所有可能的/值.

【分析】（1）根据“垂线段最短”可知：当时，BE为最小.过点N作于点H先证

ZDAH=ZE,进而可依据“44S”判定和4即/全等，从而得4H=BE,DH=AB=2,然后再

求出8〃=1,AH=V3,进而可得出答案；

（2）先求出MBN=NABN=30°,BD=AF=t,根据ABG尸为等腰三角形，有以下三种情况：①当G尸

时，则/用6=//68=/。86=30°,故此种情况不存在；②当8尸=3G时，则/G3P=NGFS

=30°,贝1]/2。尸=90°,据此得8/=22。=23则尸田尸=汁2f=2,由此即可求出f的值；③当

时，则N8GF=NB尸G=L（180°-30°）=75°,过点G作G7_L3。于点7,先证△GD7

2

为等腰直角三角形，谊DT=GT=x,则8G=2x,BT=43x,BD=BT+DT=（73+1）x=t,由此得

x=（愿”t,则①7=BG=2X=（V3-1）再由/8=5P+NF=2得（a-l）t+t=2，由此即可求

出f的值，综上所述即可得出答案.

【解答】解：（1）存在最小值.

根据“垂线段最短”可知：当时，BE为最小.

"：BELAB,

AZE+ZBAE=90°,

过点/作2M于点X,如图：

U：MBLBC,

：.AH//BC,

：.ZHAB=ZABC=30°,

由旋转的性质得：ZDAE=120°,AD=AE,

：.ZDAH+ZHAB+ZBAE=120°,

AZDAH+ZBAE=120°-ZHAB=nO°-30°=90°,

・•・ZDAH=NE,

■:AHLBM,BELAB,

：.ZAHD=ZEBA=90°,

在和中，

<ZAHD=ZEBA=90°

<ZDAH=ZE，

AD=AE

：・dAHD沿/\EBA(AAS)f

：・AH=BE,DH=AB=2,

":BMLBC,ZABC=30°,

AZABD=60°,

在中，ZABH=60°,AB=2,

AZBAH=30°,

；・BH=LB=LX2=1,

22

由勾股定理得：AH=7AB2-BH2=722-12=V3,

BE=AH=V3^BD=DH+BH=2+\=3,

・•・运动的时间£=3+1=3秒，BE的最小值为

(2)由(1)可知：ZABM=60°,

：8N为//AWr的平分线，

：.MBN=ZABN=30°,

:当点。从8点出发时，点/从点/向8点与点。同时同速运动,

速度每秒1个单位长度，时间为/秒，

：.BD=AF=t,

当ABG尸为等腰三角形时，有以下三种情况：

■:/DBG=30°,

:.NFGB=NDBG=30°,这与三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的一个内角相矛盾，此种情况

不存在；

VZDBF^60°,

:./BDF=90°,

在RtZkBD尸中，NBFD=3Q°,

：.BF=2BD=2t,

：.AB=AF+BF=t+2t=2,

解得：

3

③当2G=2尸时，则尸G=/(180°-30°)=75°,过点G作GT_L2。于点T,如图:

Mi

BC

,/ZBGF=ZDBG+ZGDT,

：.ZGDT^ZBGF-ZDBG=15°-30°=45°,

.•.△GDT为等腰直角三角形，

设DT=GT=x,

在RtZ\8TG中，/TBG=30°,TG=x,则8G=2x,

由勾股定理得：BT=7BG2-TG2=V3X,

•••BD=BT+DT=V3x+x=(V3+1)x=t，

•_-i)t

"x=2

：.BF=BG=2x=(5/3-1)/,

:.AB=BF+AF=2,

即：(娟-l)t+t=2，

解得：

3

综上所述：当△5GF为等腰三角形时，/的值为2或国2.

33

13.(2023春•迁安市期中)老师在黑板上出示题目：

如图1,在中，//=32°,ZC=

55°,线段CB'与C8边重合，CB，从现

在的位置绕着点C按逆时针方向旋转一周

回到原来的位置是否有一位置使CB'//

AB?如果有这样的位置，请画出示意图，并

求出/3C2'的度数，如果没有说明理由

（1）（如图2）嘉嘉认为：有这样一个位置，使得C夕//AB,如图.请你按照嘉嘉的做法，求出/8CZT

的度数.

（2）（如图3）琪琪认为：嘉嘉的想法不全面，还存在另外一种情况使得C3'〃/8你是否同意琪琪的

说法？如果同意，请画出图形，并求出此时夕的度数；如果不同意，请说明理由.

图1图2图3

【分析】(1)由C5'可得乙4+N4C8'=180°,再由乙4=32°,得到//C8'=148°,最后求

出N8C2'的度数即可；

(2)由C5'//AB可得//CA=ZA=32°,再求出/3CB'度数.

【解答】解：(1)如图1当CB'//AB,

所以N/+N/C8'=180°,

因为N/=32°,

所以N/C8'=148°,

因为N4C3=55°,

所以/8C5'=148°-55°=93°,

(2)同意，

所以/次CA=ZA=32°,

所以/8CB'=/B'G4+N4=87°,

14.(2022秋•青山湖区期末)阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边△/BC内有一点P,若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求NAP8的度数.

为了解决本题，我们可以将△48P绕顶点N旋转到△NCP处，此时出AABP,这样就可以利

用旋转变换，将三条线段以、PB、尸C转化到一个三角形中，从而求出入4尸3=；

(2)基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，△48C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、歹为3C上的点且/ENF=45°,求证：EF2=

BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在RtzX/BC中，ZC=90°,/C=l,/48C=30°,点。为RtZ\/2C内一点，连接/。，BO,

CO,且N/OC=/COB=/2CM=120°,求。/+03+0C的值.

【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以

及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把A/BE1绕点/逆时针旋转90°得到△4CE',根据旋转的性质可得4E'=AE,CE'=CE,Z

CAE'=NBAE,NACE'=ZB,ZEAE'=90°,再求出/E'AF=45°,从而得到AF,

然后利用“边角边”证明△£//和△£'/斤全等，根据全等三角形对应边相等可得0F=EF,再利用

勾股定理列式即可得证.

（3）将△NO8绕点8顺时针旋转60°至△⑷O'B处,连接O。'，根据直角三角形30°角所对的直

角边等于斜边的一半求出N3=2ZC,即/2的长，再根据旋转的性质求出△80。'是等边三角形，根

据等边三角形的三条边都相等可得20=00,，等边三角形三个角都是60°求出N2。。'=ZBO'。=

60°,然后求出C、。、/'、O'四点共线，再利用勾股定理列式求出HC,从而得到。N+08+0C=H

C.

【解答】解：（1）v/\ACP'咨AABP,

：.AP'=/尸=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由题意知旋转角/为P=60°,

：./\APP'为等边三角形，

PP'=/P=3,ZAP'P=60°,

易证△尸尸'。为直角三角形，且/尸PC=90",

/.ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案为：150°；

(2)如图2,把△ZAE1绕点/逆时针旋转90°得到△/(?£1',

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,ACAE'=ZBAE,AACE'=/B,AEAE'=90°,

:NEAF=45°,

：./E'AF=NCAE'+NCAF=/BAE+/CAF=/BAC-NEAF=9Q°-45°=45°

/.ZEAF=ZE'AF,

在△£/尸和△£1'4F中，

'AE=AE'

-ZEAF=ZEyAF

.AF=AF

/\EAF^/\E'AF(S4S),

：.E'F=EF,

,：ZCAB^90°,AB=AC,

：./B=/ACB=45°,

：.ZE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F?=CE'2+FC2,

即EF2^BE2+FC2.

：・4B=2,

A5C=VAB2-AC2=V3?

:△/OB绕点5顺时针方向旋转60°,

O'5如图所示；

NHBC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=\,ZABC=30°,

：.AB=2AC=2,

绕点5顺时针方向旋转60°,得到O'B,

：.A'B=AB=2,BO=BO,,A'O'=40,

：./\BOO'是等边三角形，

：.80=00',ABOO'=ZBO'0=60°,

VAAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

：.ZCOB+ZBOO'=/BO'A'+ZBOOf=120°+60°=180°,

・・・C、0、4，、O'四点共线，

在RtzXH中，A'C=7BC2+A'B2=V(V3)2+22=V7-

：.OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=板.

15.(2023春•清江浦区期末)如图1,点N在直线MN上，点8在直线P0上，射线NC绕点/

顺时针从射线旋转至射线NN后便立即回转；射线BD绕点B顺时针从射线BP旋转至射线BQ后便

立即回转：射线ZC、射线3。不停地来回旋转.若射线/C转动的速度是a度/秒，射线转动的速度

是b度/秒，且a、6是方程a+3b=6的正整数解.

Q-----------------------------P

M―-------------------------N

A

备用图

(1)a=,b=；

(2)如图2,若/BAN=45。,两条射线同时转动，在射线NC到达NN之前，若两条射线交于点E,过

E作交P。于R若NBEF=20°,求NA4c的度数；

(3)若射线AD先转动30秒，射线/C才开始转动，在射线AD到达2。之前，射线/C转动几秒，射

线/C与射线互相平行？

【分析】(1)根据二元一次方程的解，a,6为正整数，即可求解；

(2)设运动时间为7,依题意，ZMAC=3t,则NE/N=180°-ZM4£=180°-3/，ZPBE=t0,

过点E作EH//PQ,则EH//MN,根据平行线的性质得出180°-If,根据已知条件得出ZBEM

=70°,建立方程求得/,进而得出/E/N=15°,根据NA4N=45°,进而即可求解；

(3)依题意，线3。先转动30秒，射线/C才开始转动，当NC到达NN之前，当/C从NN返回且到

达前，根据平行线的性质，列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：(1)：。+36=6,a,b为正整数，

.,.。=3,b—1；

(2)设运动时间为,，

依题意，/MAC=3t,则NE4N=180°-NM4E=180°-3t°,ZPBE=t°,

过点E作〃尸Q,贝〃肠V,

,:EH〃PQ,

：.ZPBE=/BEH,

■:EH〃MN,

：./HEM=/EAN,

:・/BEM=/BEH+/MEH=/PBE+/NAE=\80°-3t°+t°=180°-2t°,

\UEF±AC,

：.ZAEF=90°,

VZBEF=20°,

:・/BEM=70°,

.,.70°=180°-2t°,

解得：f=55,

AZEAN=lS0°-3°X55=15°,

：.ZBAC=ZBAN-ZEAN=45°-15°=30°；

（3）依题意，线8。先转动30秒，射线NC才开始转动，

当4C到达/N之前，当时，则NM4C=N尸3。，

.*.3Z=30+6

解得：，=15；

当4C从ZN返回且到达4M前，当时，则NC4N+N尸180°,

：.3t-180+（30+力=180,

解得:£=82.5.

16.（2023春•蒸湘区期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中NO=45°,ZC=30°）,PA,PB

与直线AW重合，且三角板以C,三角板尸均可以绕点尸逆时针旋转.

（1）在图1中，ZDPC=；

（2）①如图2,若三角板尸AD保持不动，三角板Q4C绕点尸逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周

三角板以。就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC〃DB成立;

②如图3,在图1基础上，若三角板B4C的边刃从尸N处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3°/秒，同

时三角板尸AD的边尸3从W处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PW位置重合时,

两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？

【分析】(1)根据平角的定义即可得到结论；

(2)①如图1,根据平行线的性质得到/CPN=ND3P=90°,求得N/PN=30°,于是得到结论；如

图2,根据平行线的性质得到NCP3=/£>3P=90°,根据三角形的内角和得到/CB4=60°,求得//尸”

=30°,于是得到结论;

②设旋转的时间为，秒，由题知，/APN=3t°,尸M=2/°,根据周角的定义得到/。尸。=360°-

ZBPD-ZBPN-ZAPN-ZAPC=360°-45(180°-If)-(3f)-60°=75°-t°,列方

程即可得到结论.

【解答】解：(1):NBPD=ND=45°,/4PC=60°,

AZDPC=180°-45°-60°=75°,

故答案为：75。；

(2)①如图1,此时，BD〃PC成立,

,:PC〃BD,ZDBP=90°,

：.NCPN=NDBP=90°,

：NC=30°,

.\ZCB4=60°,

:./APN=30°,

:转速为10°/秒，

...旋转时间为3秒；

如图2,PC//BD,

'：PC//BD,NPBD=90°,

：.ZCPB=ZDBP=90°,

VZC=30°,

：.ZCPA=60°,

AZAPM^30°,

:三角板以C绕点尸逆时针旋转。的角度为180°+30°=210°,

:转速为10°/秒，

旋转时间为21秒,

综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC〃DB成立;

②设旋转的时间为/秒，由题知，NAPN=3t°,NBPM=2t°,

:.NBPN=18Q°-Z5m=180°-If,

：.ZCPD=3600-ZBPD-ZBPN-ZAPN-ZAPC=360°-45°-(180°-2t°)-(3f°)-60°

=75°-t°,

当/CPD=/BPM,即2/=75°-t°,

解得：f=25,

当ZCPD=ZBPM,求旋转的时间是25秒.

17.(2023春•雄县期中)教材中有这样一道题：如图1,四边形/BCD是正方形，G是BC上的任意一点,

OE_L4G于点E,BF//DE,且交ZG于点?求证：AF-BF=EF.

图1图2图3

小明通过证明△/即2△3E4解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答.

(1)若图1中的点G为C2延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时//，BF,斯之间

的数量关系，并证明你的结论.

(2)将图1中的尸绕点/逆时针旋转，使得与重合，记此时点尸的对应点为点尸，如图3

所示，若正方形的边长为3,求防的长度.

【分析】由四边形/8CO为正方形，可得出为90°,AB=AD,进而得到NB/G与NE/。互余,

又垂直于/G,得到NE4D与N/OE互余，根据同角的余角相等可得出乙8/凡禾！］用44s

可得出三角形N8/与三角形/£)£全等，得出8尸=4£,由4尸-/£=£■等量代换可得证；

a)利用AAS证明△/£。g八8。/,推出BF=AE,即可得到AF+BF=EF-,

(2)利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形ZED尸是矩形，根据矩形的性质即可求解.

【解答】证明：如图，△NAF绕点/逆时针旋转，使得A5与4D重合，记此时点尸的对应点为点尸，

连接EF、DF',

:正方形NBC。，

:.AB=AD,ABAD=ZBAG+ZEAD=90°,

"：DELAG,

：.ZAED=90°,

ZEAD+ZADE=90,

：.NADE=ZBAF,

又,：BFHDE,

：.NAFB=NAED=90

在和△出％中，

，ZAED=ZAFB

<NADE=/BAF，

1AD=AB

:.AAED咨ABE4(A4S)；

:.BF=AE,

,：AF-AE=EF,

：.AF-BF=EF；

解：⑴AF+BF=EF.证明如下：

•正方形/BCD,

：.AB=AD,NBAD=NBAG+NEAD=90°.

\'DE±AG,

：.ZAED=90°.

：.ZEAD+ZADE=9Q°.

：.ZADE=NBAF.

又,：BF//DE,

：.ZAFB=ZAED=90°.

在A4ED和△瓦弘中，

VZAFB=ZAED,NADE=NBAF,AB=AD.

：.AAED^ABDA(AAS).

：.BF=AE.

"：AF+AE=EF,

：.AF+BF=EF.

(2)如图,

A

B

由题设得,

：.AF=DE,

由旋转的性质知：/E4F=90°,DE=AF=AF,

；./FAE=NAED=90°,

：.AF//ED.

...四边形尸为平行四边形.

又,：NAED=90°,

，四边形/皮>尸是矩形.

：.EF=AD=3.

18.（2023春•长垣市期末）综合与实践

数学社团的同学以“两条平行线43,CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（NEFG=90°）”为主题

开展数学活动，已知点£,厂不可能同时落在直线和CD之间.

探究：（1）如图1,把三角尺的45°角的顶点£,G分别放在48,CD上,若N8EG=150°,求/少GC

的度数;

类比：（2）如图2,把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点£恰好落在和CD之间,

且与所所夹锐角为25°,求乙FGC的度数;

迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在/FGC=5/DG£（/

DGE<45°）,直接写出射线GF与A3所夹锐角的度数.

A----------------------------B

C-----------------D

G

图1图2备用图

【分析】(1)根据平行线的性质可得N5EG=NEGC,即可求解.

(2)先求出NEGC的度数即可求解.

(3)根据题意分两种情况进行讨论，点E在。。上方和在CD下方两种情况求解即可.

【解答】解：(1)-AB//CD,

：.ZBEG=ZEGC=150°,

VZFGE=45°,

AZFGC=150°-45°=105°；

(2)过点E作瓦/〃45,如图，

AZBME=ZFEH=25°,ZDGE=ZHEG.

：.ZFEG=ZFEH+ZGEH=ZBME+ZDGE=45°,

AZDGE=45°-25°=20°,

AZFGC=180°-45°-20°=115°；

(3)存在，有两种情况；

①②当点E在CD上方时，如图；

ZFGC=5ZDGE,

：.ZDGE+5ZDGEU5°=180°,

：./DGE=225°,

・•・射线Gb与45所夹锐角的度数为45°+22.5°=67.5°；

②当点E在。。上方时，如图；

ZFGC=5ZDGE,

：.ZFGC+ZFGZ)=180°,

即5/DGE+45。-ZDG£=180°,

AZZ>GE=43.75°,

二射线GF与48所夹锐角=/FGD=45°-43.75°=11.25°,

综上所述射线G尸与N3所夹锐角的度数为67.5°或11.25°.

19.(2023春•阳城县期末)如图1,将一副