2025高考数学一轮复习讲义-椭圆

§8.5椭圆

【课标要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质(范围、对

称性、顶点、离心率)3掌握椭圆的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点Fi,凡的距离的和等于(大于固/2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两

个定点叫做椭圆的两焦点间的距离叫做椭圆的.

注意：⑴当动点M满足+IM6I=常数＞|BB|时，动点M的轨迹为椭圆；

(2)当动点M满足+\MF2\=常数=旧1BI时，动点M的轨迹为以Fi4为两端点的线段；

(3)当动点M满足眼碎+幽外|=常数＜旧码时，动点M的轨迹不存在.

2.椭圆的简单几何性质

焦点

焦点在X轴上焦点在y轴上

的位置

册

图形

X2££『,

小=1/+讲=1

标准方程

(a>b>0)(a>b>Q)

范围

顶点

轴长短轴长为_________长轴长为_________

焦点

焦距|F1F2|=________

对称性对称轴：____________,对称中心：_________

离心率

a,b,c

的关系

【常用结论】

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（xo，刃）与两焦点构成的叫做焦点三角形.如图所示，设/F"=e.

⑴当P为短轴端点时，。最大,sAFiPF：最大.

（2）|PQ|max=〃+C,1PHlmin=。一。.

⑶IPEMP^IW曾母㈣}=a2_

22

（4）4c=1PBi2+|PF2|-21PBl|尸尸21cosQ.

（5）焦点三角形的周长为2m+c）.

【自主诊断】

1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

⑴设后（一4,0）,尸2（4,0）为定点，动点M满足照人|+阿尸2|=8,则动点M的轨迹是椭圆.（）

（2）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（）

77

（3）。+5=1（机/九）表示焦点在》轴上的椭圆.（）

（4）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）

2.（选择性必修第一册P109T1改编）若椭圆卷+去=1上一点尸与焦点E的距离为4,则点

尸与另一个焦点B的距离为（）

A.6B.3C.4D.2

3.已知椭圆C：?+?=1的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为（）

1「啦-2啦

AAqB，2C.2D.^―

4.（选择性必修第一册P116T12改编）若椭圆C：j+f=l,则该椭圆上的点到焦点距离的最

大值为（）

A.3B.2+小

C.2D币+1

■探究核心题型

题型一椭圆的定义及其应用

例1⑴已知圆C1：Q+1）2+尸=25,圆C2：（X-1）2+y=1,动圆M与圆C2外切,同时与圆

Ci内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A.y+/=1B.y+^-=1

C-f+/=1D-f+f=1

（2）（2023•眉山模拟）已知P是椭圆点+5=1上的点,Fi，F?分别是椭圆的左、右焦点，若

PFvPF--,则△尸的面积为.

|PF1||PF2|

跟踪训练1（1）（2023•郑州模拟）若F1,巳分别为椭圆C去+需=1的左、右焦点，A,8为C

上两动点，且A,3,B三点共线，则△ABB的周长为（）

A.4B.8C.10D.20

⑵（2024•哈尔滨模拟）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国

源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如

图）.

步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点，标记为F；

步骤2:把纸片折叠，使圆周正好经过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4:不停重复步骤2和步骤3,就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条

曲线，记为C.

现有半径为4的圆形纸片，定点尸到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点

M,。为线段跖的中点，则QM的最小值为.

题型二椭圆的标准方程

例2⑴过点(3,2)且与椭圆3/+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()

A-l+w=1B-w+il=1

厚+S=1D4+f=1

_y22

(2)已知过椭圆/+v/=l(a>b>0)的左焦点网-1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A,8,与y

轴交于点C,点C,尸是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是()

八x2/,%2

A%+M=IB.5+了=1

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a,6.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，

72

一般可设所求椭圆的方程为川^+九y2=](加>o,〃>o,与椭圆U+$=共焦点

2272

的椭圆方程可设为标；/力=1(。泌,m>—/?2);与椭圆方=1(。泌>。)有相同离心率

7222

的椭圆方程可设为或方+层V=4a>b>0,2>0).

跟踪训练2(1)(2024.南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为Fi(0,2),F2(0,-2),P为椭圆上

任意一点，若⑻是I尸为I,IP码的等差中项，则此椭圆的标准方程为()

A-M+65=1B.舌+焉1

谆+*iD-fl+n=1

⑵已知椭圆E：泉号1（办6>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,过坐标原点的直线交E于P,

。两点，目PBLE。，且5"佻=4,|尸尸2|+|6。|=6,则椭圆E的标准方程为（）

A2芷X2

A-4+3=1B-T+4=1

C*?=lD-f+f=1

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例3（1）（2023•太原模拟）设西，B是椭圆E：《+%=13b>0）的左、右焦点，过点为且斜率

为害的直线交椭圆于点尸，若2/PFg=ZPF2FI,则椭圆E的离心率为（）

A.2-小B币-1

C坐D坐

（2）（2022.全国甲卷）椭圆C号+Q1（a>6>0）的左顶点为A,点尸，。均在C上，且关于y轴

对称.若直线AP,AQ的斜率之积为（,则C的离心率为（）

AmC1nl

2D.2•3

命题点2与椭圆有关的范围（最值）问题

例4（多选）已知椭圆京+?=1历，E为左、右焦点方为上顶点，尸为椭圆上任一点，则（）

A.的最大值为4小

B.|尸碎的取值范围是[4-2小，4+26]

C.不存在点P使PFI±PF2

D.|P6的最大值为2小

跟踪训练3⑴已知M,N是椭圆C：5+营=1（。>6>0）上关于原点O对称的两点，尸是椭圆C

上异于M,N的点，且前•丽的最大值是:层，则椭圆c的离心率是（）

A.gB.g

⑵已知椭圆旗+方=1的左顶点为A,右焦点为F,M是椭圆上任意一点，则日V加的取值

范围为()

A.[-16,0]B.[-8,0]

C.[0,8]D.[0,1]

§8.5椭圆答案

落实主干知识

知识梳理

1.常数焦点焦距

2.-且--bWxWb且-Ai(-。,0),A2(〃,0),9(0,-b),历(0,

b)Ai(0,-a),A2(0,a),Bi(-b,0),B2(b,0)2b

2aFi(-c,0),F2(C,0)FI(0,-c),F2(0,c)2cx轴和y轴原点

e-^(0<e<l)a2-b2+c2

自主诊断

1.(1)X(2)V(3)X(4)X

2.A3,C4.A

探究核心题型

例1(1)D[如图，由题意得，|GM=5TMQ|,

|C2M|=1+|MP|,

其中|MQ|=|MP|,

所以IGM+IC2M=5—IMQI+1+IM尸|=6>2=|C1C2|,

72

由椭圆定义可知，动圆圆心M的轨迹为以Cl,C2为焦点且长轴长为6的椭圆，设，+5=1,

贝I2〃=6,c=lf

解得〃=3,〃=/_02=9_1=8,

22

故动圆圆心M的轨迹方程为(•+^•=1」

yo

(2)3小

跟踪训练1(1)D⑵小

例2⑴C

(2)B［不妨设4用，师)在第一象限，由椭圆的左焦点E(—1,0),点C,尸是线段A8的三等

分点，

12

则C为A厂的中点，尸为5C的中点，所以以=1,所以^+浸=1,

则划="，即A。，勺，

所以m，&,4-2,一纵

将点8的坐标代入椭圆方程得

即4+五一1

“2十/一1,即十4a2—1,

又〃2—从=1,所以Q2=5,b2=4,

72

所以椭圆的标准方程是方+；=L］

跟踪训练2(1)D

(2)C［如图，连接PB,QFi,

由椭圆的对称性得四边形PRQF2为平行四边形,

所以|PBl+|BQI=|PBl+|PQI=2a=6,得a=3.

又因为PF21F2Q,

所以四边形PQ。尸2为矩形,

设|尸尸2|=加，下2。|="，

品〃=4,

贝!|S2PF?。

[m+n=6,[m=4,[m=2,

所以O得c或4

[mn=S,[n=2E=4,

则「/2|=24，

则c=小，b2=a2—c2=4,

72

椭圆E的标准方程为尹：=L]

例3⑴B(2)A

例4AB［依题意知，a=4,6=2,c=2事,当尸为短轴顶点时，(5A小居)max=3x2cXb=

4小，故A正确；

由椭圆的性质知|PFi|的取值范围是［a—c,a+c］,即［4—2小，4+2-\/3］,故B正确；

对于C,sin/F28O=5=半，所以/尸23。=字所以/尸18/2=争，即/尸1尸巳的最大值为竽,

最小为0,所以存在点P使尸西，/7"故C错误；

对于D,设P