2024年中考数学试题分类训练：等腰三角形与直角三角形

专题19等腰三角形与直角三角形（28题）

一、单选题

1.（2024・广东广州•中考真题）如图，在“WC中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边3c的中点，点E,

b分别在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AED厂的面积为（）

A.18B.9A/2C.9D.6航

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VADE咨VCDF,将四边形AED厂的

面积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【解析】连接AD,如图：

VZBAC=9Q°,AB=AC=6,点。是3。中点，AE=CF：.ZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC：.

NADE^/CDF,S四边形=$△的+=S^CFD+S^ADF=S^ADC=-S^ABC又：5AAsc=6x6x5=18

S四边形AEDF=5'.c=9故选，C

2.(2024.青海•中考真题)如图，在RtzXABC中，。是AC的中点，NBDC=60。,AC=6,则BC的长是

()

B.6C.73D.3A/3

【答案】A

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质.根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△血）C等边三角形，据此求解即可.

【解析】：在RtZXABC中，NABC=90。，。是AC的中点，，BD=gAC=C£）,：/5£>。=60。，ABDC

等边三角形，ABC=Cr>=iAC=|x6=3.故选，A.

3.（2024.四川广元・中考真题）如图，将AABC绕点A顺时针旋转90。得到VADE,点8,C的对应点分别

为点、D,E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若8=3,BC=1,则AD的长为（）

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE,NCAE=90。,

DE=BC=l,推出"CE是等腰直角三角形，CE=4,过点A作于点X,得到HD=1,利用勾

股定理求出AO的长.

【解析】由旋转得△ABC/△ADE,ZCAE=90°,：.AC=AE,ZCAE=90°,DE=BC=1,AACE1是

等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,过点A作AHLCE于点H,AX=gcE=CH=HE=2,

HD=HE—DE=2—l=l,：.AD=VAH2+HD2=A/22+12=，故选，A.

4.（2024.内蒙古包头•中考真题）如图，在扇形中，ZAOB=80°,半径。4=3,C是上一点，连

接OC,。是OC上一点，且8=£>C,连接3Z>.若BDLOC,则AC的长为（）

C

OlB

,兀

A.—7D.兀

6

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接3C,根据8=OC，

BDA.OC,易证△O8C是等腰三角形，再根据O8=OC,推出△O3C是等边三角形，得到NBOC=60。,

即可求出NAOC=20。，再根据弧长公式计算即可.

【解析】连接3C,OD=DC,BD±OC,:.OB=BC,，△O8C是等腰三角形，/OB=OC,

OB=OC=BC,△OBC是等边三角形，二N30c=60。，；ZAOB=80°,---ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

5.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片AB8,A£>=12cm,CD=10cm,他进

行了如下操作：

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与8c重合，得到折痕肱V,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△"双沿AN折叠得到△ADW,交折痕于点E,则线段

EN的长为（）

24248

【答案】B

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

根据矩形的性质和折叠的性质推出=进而得出E4=4V,设E4=AN=xcm,贝!!

£M=（12-x）cm,根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE^列出方程求解即可.

【解析】••,四边形ABCD是矩形，.;AB=CD=10cm,由折叠可得：AMAB=5cm,AD=AD,=12cm,

MN_LAB,ZZM7V=ZD'A7V,四边形TW®是矩形，AD,MN=AD=\2cm,：.ZDAN=ZANM,

:.ZANM=NDAN,：.EA=EN,设E4=E7V=xcm,贝I」=(12-x)cm,在Rt/XAME中，根据勾股定

169169

理可得：AM-+ME2=AE2,即52+(127)0-=/，解得：x=詈，即硒=詈而，故选，B.

6.(2024・福建・中考真题)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中AW

与AODC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,b分别是底边A3,8的中点，OEVOF.下

列推断错误的是()

A.OBVODB.Z.BOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得NAO3=NDOC,由等腰三角形的性质得NBOE=；NAOB,ZDOF=^ZDOC,即可

判断;

B.N30c不一定等于NAO3,即可判断；

C.由对称的性质得^OAB^ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GA7_L,可得NGOD=ZBOH,由对称性质得NBOH=NCOH同理可证ZAOM=ZBOH,

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【解析】A.；OE_LO尸，.•.NBOE+NBO=90。，由对称得NAO3=NDOC,1•点E,P分别是底边A3,

8的中点，与AODC都是等腰三角形，.•./反出=工/4。8,ZDOF=-ZDOC,

22

.-.ZBOF+ZDOF=90°,:.OB±OD,结论正确，故不符合题意；B.N8OC不一定等于NAQB,结论错

误，故符合题意；C.由对称得组AODC,：点E,尸分别是底边AB,CD的中点，二OE=O尸，结

论正确，故不符合题意；过。作GAf_LOH,ZGOD+ZDOH=90°,ZBOH+ZDOH=90°,

Z.GOD=Z.BOH,由对称得NBOH=NCOH,/./GOD=Z.COH,同理可证ZAOM=Z.BOH,

^AOD+^BOC=ZAOD+ZAOM+Z.DOG=180°,结论正确，故不符合题意；故选，B.

7.（2024.内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程9_10芯+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得%=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【解析】由方程炉-10欠+21=0得，占=3,%=7,•；3+3<7,...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,故选，C.

8.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，适当长为

半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交

于点P,连接”并延长交5c于点£>.若AACD的面积为8,则的面积是（）

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平

分/BAD,则可求Na4Z>=NZMB=3O。，利用含30。的直角三角形的性质得出CD=gAO,利用等角对

等边得出A£>=9,进而得出8=38。，然后利用面积公式即可求解.

【解析】VZC=90°,ZB=30°,：.ZCAB=60°,由作图知：AD平分々AD,NOW=NZMB=30。，

.]S5CD,ACCD]

•*.CD=-AD,ZB=ZBAD,：.AD=BD,：.CD=-BD,=[-------=一=一,

BD

22乂.LBD.AC2

2

又AACD的面积为8,...△ABD的面积是2x8=16,故选B.

9.（2024・安徽・中考真题）如图，在RtZXABC中，AC=3C=2,点。在AB的延长线上，且CD=AB,

则的长是（）

C.20-2D.2V2-V6

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作上LCB的延长

线于点E,则N8£E>=90。，由NACB=90。，AC=BC=2,可得45=20，ZA=ZABC=45°,进而得

到CD=2及，ZDBE=45°,即得为等腰直角三角形，得到=设DE=BE=x,由勾股定理

得（2+X『+X2=（2&『，求出X即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【解析】过点。作DE_LC8的延长线于点E,则NBED=9O。，VZACB=90°,AC=BC=2,：.

AB2+展=20，ZA=ZABC=45°,:.CD=2五,"BE=45。,ZkBDE为等腰直角三角形，

DE=BE,^DE=BE=x,贝！］CE=2+x,在Rt^CDE中，CE2+DE2=CD',，（2+xp+Y=（20『，解

得玉=石-1,x2=-43-1（舍去），DE=BE=S\,：.80=若-=瓜_五,故选，B.

10.（2024・四川自贡•中考真题）如图，等边AA5c钢架的立柱CDLAB于点。，A3长12m.现将钢架立

柱缩短成DE,NBED=60°.则新钢架减少用钢（）

A.（24-125/3）mB.（24-8括）mC.（24-6^）mD.（24-4^）m

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得DE=2石,

BE==AE,CD=6^3,利用新钢架减少用钢=AC+3C+GD-AE-3E-DE,代入数据计算即可求

解.

【解析】•.,等边AABC,CD_LAB于点。，A3长12m,/.AD=BD=-AB=6m,,：ZBED=60°,：.

—2

tan60°==邪>>••DE=26,••BE=y]DE2+BD~=4-\/3=AE，,NCBD=60°,..

ZJzi

CD=BD-tanNCBD=®D=6如m,BC=AC=AB=11m,.•.新钢架减少用钢

=AC+fiC+CD-AE-=24+6A/3-8A/3-2A/3=（24-4>/3）m,故选，D.

11.（2024.天津中考真题）如图，"C中，ZB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60。得到△£>£C,点A,3

的对应点分别为。,E,延长刚交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得NBCE=NACD=60。，结合/B=30°，即可得证3CE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【解析】记即与CE相交于一点氏如图所示。：AABC中，将AABC绕点C顺时针旋转60。得到△£>£右，

NBCE=ZACD=60°:ZB=30°在ABHC中，ZBHC=180O-ZBCE-AB=90°；.BFLCE故D选项

是正确的，符合题意；设ZACH=X。；.ZACB=60°-x。,：NB=30°

ZEDC=ABAC=180°-30°-（60°-X°）=90°+X°：.ZEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°•/X。不一定等

于30。；.NEDC+NACr（不一定等于180。；.AC〃DE'不一定成立，故B选项不正确，不符合题意；：

ZAC5=60°ZACD=60°,X。不一定等于0。；.NACB=NACD不一定成立，故A选项不正确，不符合

题意；：将AABC绕点C顺时针旋转60°得到ADEC,：.AB=ED=EF+FD：.BA>EF&C选项不正确，

不符合题意；故选，D

E、

二、填空题

12.（2024•浙江・中考真题）如图，D,E分别是AABC边A3,AC的中点，连接BE,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,则BE的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出/C=NAED=NBEC,得出BE=3C=4

【解析】E分别是“8C边A3,AC的中点，...OE是44BC的中位线，.•.DE〃3C,3c=2。石=4,

NAED=ZC,•/ZAED=ZBEC,：.ZC=ZBEC,：.BE=BC=4,故答案为：4

13.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系X0Y中，已知A（3,0）,B（0,2）,过点3作V轴

的垂线/,尸为直线/上一动点，连接尸。，PA,则尸。+”的最小值为.

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线I的对称点A,

连4。交直线/于点C,连AC,得到AC=4C,A'Arl,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短,

得到当O,P,A'三点共线时，PO+PA的最小值为40,再利用勾股定理求4。即可.

【解析】取点A关于直线/的对称点A,连4。交直线/于点C,连AC,则可知AC=AC,AA^l,：.

PO+PA=PO+PA:>AO,即当。,P,A'三点共线时，尸0+24的最小值为HO,：直线/垂直于y轴，，

轴，VA（3,0）,B（0,2）,AO=3,A4'=4,.•.在RtAAN。中，=y/o^+AA'-=732+42=5-

故答案为：5

14.(2024・天津•中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

(1)线段AG的长为；

(2)点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,AF

的延长线相交于点3,C,AABC中，点〃在边3c上，点N在边A3上，点P在边AC上.请用无刻度

的直尺，在如图所示的网格中，画出点〃，N,尸，使△A/A下的周长最短，并简要说明点N,P的

位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】72图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作点M关于A3、AC的对称点M2,连接“%、MXM2,分别与A3、AC相交于点E、P,

△AEVP的周长等于的长，等腰三角形的腰长为AM，当AM的值最小时，的值最小，

此时M是切点，由此作图即可.

【解析】(1)由勾股定理可知，AG=VFTF=e，故答案为：也(2)如图，根据题意，切点为

连接ME并延长，与网格线相交于点取圆与网格线的交点。和格点连接QH并延长，与网格线相

交于点22；连接Mi"?，分别与A3,AC相交于点N,P,则点N,尸即为所求.

15.（2024.甘肃临夏.中考真题）如图，等腰AABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,将AABC沿其底边中

线AD向下平移，使A的对应点A满足则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一,根据平移的性质，推出AA'EFS状B'C,

根据对应边上的中线比等于相似比，求出E尸的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可.

【解析】•.,等腰AABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,：.ZABC=3O°,：AD为中线，AAD±BC,

BD=CD,AD=^AB=1,BD=^AD=M,：.BC=^,,将AABC沿其底边中线AD向下平移，

EFA!DI

rrf

ABC//BC,BC=BC=273,AG=AD=19：.------=——,VAA=-AD,

BCAG3

门4，_2._22.EF_A'D_22”4也.

DA=3AD=3AG=3,•■^C=^=3,"EF^3BC^~r，

S阴.二工=逑x2二生8；故答案为：述.

阴影223399

16.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）矩形AB8的面积是90,对角线AC,交于点。，点E是5c边的

三等分点，连接OE,点尸是DE的中点，OP=3,连接CP,则尸C+尸石的值为.

【答案】13或血位

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理.当CE＞彼时，利用三角形中位线定理

求得CE=12,再求得矩形的边长，利用勾股定理求得OE的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当

CEcBE时，同理求解即可.

【解析】当CE>3E时，如图,

•.,矩形ABCD,.•.点。是的中点，：点P是DE的中点，，3E=2OP=6,CP=PE=PD,，：点、E是

3c边的三等分点，；.CE=2BE=12,BC=3BE=18,:矩形的面积是90,/.BCxCD=90,：.

CD=5,DE=6+122=13,:.PC+PE=DE=13；当时，如图，

•.,矩形ABCD,.•.点。是BD的中点，：点P是DE的中点，，BE=2OP=6,CP=PE=PD,二•点E是

3c边的三等分点，ACE=-BE=3,8c=3+6=9,•矩形ABCD的面积是90,；.BCxCD=90,：.

2

CD=1O,：.DE=y/32+102=V109»PC+PE=DE=y/109；故答案为：13或TH后.

17.（2024.山东.中考真题）如图，已知上A£4N,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与4欣、AN

相交于点3,C；分别以3,C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在4S4N内部相交于点尸，

作射线AP.分别以A,3为圆心，以大于343的长为半径作弧，两弧相交于点。，E,作直线OE分别

与AB,AP相交于点/，Q.若AB=4,/PQE=67.5。，则歹到4V的距离为.

【答案】6

【分析】如图，过尸作尸H-LAC于证明NBAP=NCAP,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,再证明

ZFAH=45°,再结合勾股定理可得答案.

【解析】如图，过歹作”_LAC于H,由作图可得：ZBAP=ZCAP,DEJ.AB,AF=BF=\AB=2,

2

,/ZPQE=67.5°,/.ZAQF=67.5°,Z.BAP=Z.CAP=90°-67.5°=22.5°,AZFAH=45°,：.

AH=F〃=^AF=&,.,.尸到AN的距离为也；故答案为：也

2

18.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）已知矩形纸片ABC。，AB=5,18c=4,点尸在边3c上，连接AP,

将AAB尸沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B',把纸片展平，连接8?,CB',当V3C方为直角三角

形时，线段CP的长为.

3

【答案】!■或2

【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进

行讨论：当NBCB，=90。时，当NBB'C=90。,分别画出图形，求出结果即可.

【解析厂••四边形AB8为矩形，NBCD=4DC=NABC=NR4r>=90。，AB=CD=5,AD=BC=4,

当NBCB，=90。时，如图所示：

,/ZBCD=90。，...点B'在8上，根据折叠可知：AB'=AB=5,3尸=UP,设CP=x，则8P=37=4—x,

•*-DB'-y/AB'2-AD2=752-42=3-CB'=DC-DB'=5-3=2,在RbCBP中，根据勾股定理得：

B'P2=B'C2+CP2,BP（4-X）2=22+X2,解得：x=j,BPCP=|；

当NBBC=90。，如图所示：

根据折叠可知：BP=B'P,：.ZPBB'=ZPB'B,XPBB'+ZBCB'=90°,XPB'B+ZPB'C=90°,：.

3

NBCB，=NCB，P,:.PC=PB,：.PC=PB,•；BC=BP+PC=4,：.CP=2；综上分析可知：CP.

3

或2.故答案为：1^2,

19.（2024・四川内江•中考真题）如图，在44BC中，ZABC=60°,BC=8,E是5c边上一点，且3E=2,

点/是AA5C的内心，口的延长线交AC于点。，尸是3。上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小

值为.

【答案】2A

【分析】在A3取点R使斯=3E=2,连接尸尸，CF,过点尸作ML8c于X,利用三角形内心的

定义可得出NA8r>=NCBZ）,利用SAS证明A&7NAB£P,得出PF=PE,则尸E+PC=PF+PCNC尸，当

C、P、尸三点共线时，尸E+尸C最小，最小值为C/，利用含30。的直角三角形的性质求出神，利用勾

股定理求出FH,。产即可.

【解析】在A3取点E使BF=BE=2,连接P/，CF,过点/作加1_3C于X,是AABC的内心，

BI平分^ABC,：.ZABD=NCBD,又BP=BP,/.ABFP^ABEP（SAS）,/.PF=PE,：.

尸E+PC=P尸+尸CWCF,当C、P、歹三点共线时，尸E+产C最小，最小值为。尸，：FH±BC,ZABC=6O°,

：.ZBFH=30°,：.BH=^BF=1,；-FH=《BF?-BH?=也，CH=BC-BH=1,：.CF=^CH2+FH2=2713-

PE+PC的最小值为2jB.故答案为：2岳.

20.（2024・四川广元・中考真题）如图，在AABC中，AB=5,tanNC=2,则AC+的最大值为

5

c

【答案】572

【分析】过点3作8D_LAC,垂足为。，如图所示，利用三角函数定义得到AC+或BC=AC+DC,延

5

长。。到E,使£C=CD=尤，连接跖，如图所示，从而确定AC+占BC=AC+Z)C=AC+CEuAE,

5

ZE=45°,再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在。。上运动，AE是。。的弦，求AC+好3c的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【解析】过点3作3D，AC,垂足为£),如图所示:

tanZC=2,•一.在RtA^CD中，设OC=x,则BD=2x,由勾股定理可得BC=6r，，生=；=g,

BCy/5x5

即好8C=£)C,---AC+—BC=AC+DC,延长。。到E,使EC=CD=x,连接班，如图所示:

55

---AC+—BC=AC+DC=AC+CE=AE,--BD±DE,DE=2x=BD,.•.△友宏是等腰直角三角形,

5一

则NE=45。，在AABE中，AB=5,NE=45°,由辅助圆-定弦定角模型，作AABE的外接圆，如图所示:

二由圆周角定理可知，点E1在＜3。上运动，AE是。。的弦，求AC+好BC的最大值就是求弦AE的最大

5

值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心。，即AE是直径时，弦最大，如图所示：

//7\

//\\

\0/\\

1/1/

八"一JB

•.•AE是。。的直径，---ZABE=90°,-.-ZE=45°,二△ABE是等腰直角三角形，；AB=5,:.BE=AB=5,

则由勾股定理可得AE=FFT^F=5直，即AC+^BC的最大值为5&，故答案为：5叵.

三、解答题

21.（2024•陕西・中考真题）如图，已知直线/和/外一点A,请用尺规作图法，求作一个等腰直角AABC,

使得顶点B和顶点C都在直线/上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作

法）

A

*

【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图.过点A作相，/,垂足为3,再在直线/上截取

点C,使3C=AB,连接AC,则AABC是所求作的等腰直角三角形.

解：等腰直角如图所示：

22.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在中,

ZACB=90°,ABAC=30。，点。在直线3c上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E

作E尸〃3C,交直线AB于点尸.

（1）当点。在线段3。上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在A3上截取AM=EF,

连接DM,通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题:

（2）当点。在线段3c的延长线上时，如图②：当点。在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接

写出线段3。，EF,A3之间的数量关系;

拓展思考：

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=66,CD=2BD,则EF=

【分析】（1）在A3边上截取AM=EF,连接ZW,根据题意证明出△ZMMZAAE*SAS）,得到AF=DM,

然后证明出是等边三角形，得到==进而求解即可；

⑵图②:在3D上取点H,使BH=AB,连接AH并延长到点G使AG=AF,连接DG,首先证明出AABH

是等边三角形，得到44H=60。，然后求出NR4H=ND4E,然后证明出AE4£2AG4D（SAS）,得到

EF=DG,ZAFE=NG,然后证明出△OHG是等边三角形，得到DH=OG=EF,进而求解即可；

图③：在E尸上取点H使AH=AF,同理证明出△E4H0A4DB（AAS）,得到3£>=A”，AB=EH,进而

求解即可；

（3）根据勾股定理和含30。角直角三角形的性质求出3c=6,AB=12,然后结合8=2皿，分别（1）

（2）的条件下求出3D的长度，进而求解即可.

解：（1）证明：在边上截取=连接DM.

在Rt^ABC中，ZB=90°-ZBAC=90°-30°=60°.

EF||BC,

NEFB=NB=60°.

又；NEAD=60°,

:.NEFB=NEAD.

y.\ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

:.ZBAD=ZAEF.

又AD=A瓦AM二麻，

/.△ZMM^AAEF(SAS).

.\AF=DM.

/.ZAMD=ZEFA=180。—ZEFB=180。-60°=120°.

/.ZBMD=180°-ZAMD=180°-120°=60°.

vZB=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

:.^BMD是等边三角形.

:.BD=BM=DM,

AB=EF+BD；

(2)图②：当点。在线段6C的延长线上时，AB=BD-EF,证明如下：

如图所示，在6。上取点H,使BH=AB,连接AH并延长到点G使AG=AF,连接。G,

*.•ZABC=60°,

**•^ABH是等边三角形，

ZBAH=60°,

・・,线段AO绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,

AZDAE=60°,AE=AD,

；・ZBAH=ZDAE,

AZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,ZBAE=ZHAD,

又「AG=AF,

：.AE4E^AG4D(SAS),

:.EF=DG,ZAFE=ZG,

,:BD〃EF,

ZABC=ZF=ZG=60°,

丁ZDHG=ZAHB=60°,

・•・△OHG是等边三角形，

:.DH=DG=EF,

：.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

图③：当点。在线段C3的延长线上时，AB=EF-BD,证明如下：

如图所示，在石尸上取点〃使AH=AF,

•:EF//BC,

：./F=ZABC=60。,

'：AH=AF,

八47m是等边三角形，

ZAHF=ZHAF=60°,

ZAHE=120°,

•・,将线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,

AAD=AE,ZDAE=60°,

：.ADAB+AEAH=180°-AEAD-AHAF=60°,

Z£>+/DAB=ZABC=60°,

:.ZD;NEAH,

*：ZDBA=180。—ZABC=120°=ZEHA,

又•・•=

・・・△E4H^AADB（AAS）,

:・BD=AH,AB=EH,

•：AH=FH,

：.BD=HF,

:.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

（3）如图所示，

A

E

F/

M//

B^DC

图①

ZBAC=30°,ZC=90°,

；・AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

A（2BC）2=BC2+（6A/3）2,

BC=6,

：.AB=2BC=12,

CD=2BD,BC=BD+CD,

：.CD=-BC=2,

3

由（1）可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如图所示，当点。在线段6c的延长线上时,

VCD<BD,与CD=26£>矛盾，

1・不符合题意；

如图所示，当点。在线段C5的延长线上时,

•:CD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

;AB=2BC=12,

EF=AB+B£>=12+6=18.

综上所述，£F=10或18.

23.(2024•江西・中考真题)追本溯源：

题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).

(1)如图1,在AABC中，3。平分/ABC,交AC于点，过点。作3c的平行线，交于点E,请

判断△8DE的形状，并说明理由.

方法应用：

(2)如图2,在YABCD中，BE平分NABC,交边AD于点E,过点A作交。。的延长线于点尸，

交3c于点G.

①图中一定是等腰三角形的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知AB=3,BC=5,求CF的长.

【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和

等腰三角形的判定是解题的关键；

(1)利用角平分线的定义得到NAB£>=NCB£>,禾I」用平行线的性质得到N3£>E=NCB£>,推出

ZBDE=ZABD,再等角对等边即可证明ABOE是等腰三角形；

(2)①同(1)利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；

②由①得〃4=小，利用平行四边形的性质即可求解.

解：(1)ABDE是等腰三角形；理由如下：

,/RD平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

,/DE//BC,

：.ZBDE=ZCBD,

ZBDE=ZABD,

：.EB=ED,

/.ABDE是等腰三角形；

(2)①：YABCD中，

AE//BC,AB//CD,

AED

F

同⑴ZABE=ZCBE=ZAEB,

AB=AE,

,：AFY.BE,

/.NBAF=NEAF,

'：AE//BC,AB//CD,

：.NBGA=NEAF,ZBAF=AF,

,：NBGA=NCGF,

：.ZBGA=ABAG,NDAF=NF,4CGF=NF,

：.AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即AME、AABG、AADF,△CGE是等腰三角形；共有四个，故选，B.

②：YABCD中，AB=3,BC=5,

：.AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得ZM=Z)F,

CF=DF-CD=5-3=2.

24.(2024・山东威海・中考真题)感悟

如图1,在AABE中，点C,。在边跖上，AB=AE,BC=DE.求证：ZBAC=AEAD.

图1

应用

（1）如图2,用直尺和圆规在直线3C上取点。，点E（点。在点E的左侧），使得NEAD=NA4C,且

DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）;

A

图2

(2)如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点。，在直线3c上取一点E,使得NCE>E=NBAC,且

DE=AB(不写作法，保留作图痕迹).

图3

【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：

证明,即可求得ABAC=Z.EAD；

应用(1)：以点A为圆心，以A3长度为半径作弧，交直线3c于一点，该点即为点E,以点A为圆心，

以AC长度为半径作弧，交直线3C于一点，该点即为点。，连接AD,AE；

应用(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点。，以点C为圆心，

以3C长为半径作弧，交直线3c于一点，该点即为点E,连接DE.

解：感悟：

,/AB=AE,

：.ZB=ZE.

在AABC和△AED中

AB=AE

<NB=NE

BC=DE

：.Z^ABC^/\AED.

：.ZBAC=ZEAD.

应用：

(D：以点A为圆心，以A3长度为半径作弧，交直线3c于一点，该点即为点E,以点A为圆心，以AC

长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点O,连接A£>,AE,图形如图所示.

A

BCD7E

(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点D,以点C为圆心，以5c

长为半径作弧，交直线3。于一点，该点即为点E,连接DE,图形如图所示.

根据作图可得：CD=AC,CE=BC,

又ZACB=NDCE,

^ACB=^DCE,

:・NCDE=ZBAC,DE=AB.

25.(2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题)已知AABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/MAN

在NA4C的内部，点M、N在3C上，点M在点N的左侧，探究线段初/、NC、之间的数量关系.

由ZBAC=90。，AB=AC可知，将AAC2V绕点4顺时针旋转90°,得到^ABP，则CW=3尸且NPBM=90°,

连接尸易证△AMP乌△4WN,可得VP=V7V,在RtAP3M中，BM?+BP?=M产,则有

BM2+NC2^MN2.

(2)当ZBAC=60。时，如图②：当NBAC=120。时，如图③，分别写出线段8"、NC、MN之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明.

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一

半，勾股定理等知识，选②，以点B为顶点在AABC外作NABK=60。，在BK上截取BQ=CN,连接QAQM,

过点。作。HLBC,垂足为X,构造全等三角形，得出AN=AQ,/CAN=NQAB,再证明

/\AQM^AANM,得到肱V=QM；在RtZ\QHM中由勾股定理得QH2+HA"=,即

、22

BQ+\BM+^BQ\=QM\整理可得结论；选③方法同②

7

解：图②的结论是：BM2+NC2+BM-NC=MN2

证明：AB=AC,ZBAC=60°,

「・ziASC是等边二角形,

ZABC=ZACB=60°,

以点8为顶点在AABC外作NABK=60。，在