指数与指数函数-2025年高考数学复习讲义及练习解析

2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节指数与指数函数

课标解读考向预测

1.了解指数幕的拓展过

指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概

程，掌握指数幕的运算

念、图象和单调性等常考知识点.在近三年的高考中，考查了指数

性质.

型函数的图象和性质，或与分段函数结合，以选择题或填空题的形

2.了解指数函数的实际

式出现.

意义，理解指数函数的

预计2025年高考可能会考查利用指数函数的性质比较大小、指数

概念.

型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用，题型为选

3.会画指数函数的图象，

择题或填空题，难度中档；也可能会以指数或指数函数为载体，结

探索并理解指数函数的

合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大.

单调性与特殊点.

必备知识——强基础

知识梳理

1.根式

(1)如果x"=a,那么工叫做a的"次方根，其中心1,且"WN*.

(2)式子心叫做02根式,其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

n03

a.

当力为奇数时，\04

'a1a；

M_a,Q20,

当〃为偶数时，而=|M=

~a,a<0.

2.分数指数幕

m〃

正数的正分数指数累，=而1(a>0,m,〃£N*,n>V).

%J_]

正数的负分数指数累,a~n==~(«>0,m,〃WN*,n>Y).

an0m

0的正分数指数幕等于■。，0的负分数指数幕没有意义.

3.指数幕的运算性质

废废=幽亡；(/)S=L2Z]Q；(a&y=跄。，方(a>0,b>0,r,sWR).

1

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4.指数函数及其性质

⑴概念：函数>=或(°>(),且aWl)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R,。是

底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>\0<a<l

V1y=axy=«'\『

四，――y=>一…1Dg

图象

o\1~~X0|~~1~~*

定义域R

值域^^(0,+0°)

图象过一点同(0,1),即当x=0时，y=l

当x>0时，Tv>k

性质当x〈0时,回归；当x>0时,同Ovyvl

当x<0时，S3Q<V<1

在(一8,+8)上是［JH］增函数

在(一8,十8)上是减函数

常用

(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数.

(2)画指数函数尸〃(心0,且内)的图象，应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),t1,a\

(3)如图是指数函数①®y=bx,③歹二^,④y=/的图象，底数a,b,c,4与1之间

的大小关系为c>d>l>a>6>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数歹=〃(0

>0,aWl)的图象越高，底数越大.

(4)指数函数了=〃与y=］)(a>0,且的图象关于y轴对称.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打y”，错误的打“X”)

4____

(l)VF4)4=-4.()

2

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(2)2"2=2叫()

［

(3)H后I—=(f3l―)"=。.()

6,----1

(4)^F3)2=(—3)3.()

(5)函数是指数函数.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x(5)x

2.小题热身

(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()

A.yJ(2—it)2=2—nB.a,\J=\/--a

1_32

C.(m4/?8)8=勺D.(x3~y^)3+-\^=x9

n3

答案c

解析对于A,因为2—7i<0,所以1(2—7i)2=n—2,故A错误；对于B,因为一1>(),所以

a

I~i1_31_3

a<0f则八/=-(—a)-I——=—a,故B错误；对于C,因为(加4〃8)8=(加4)8.(几8)8

\la\—a

2

=F，故C正确；对于D,因为(炉-巾)3+让=X9-2=/，故D错误.

n$

(2)已知指数函数y=/(x)的图象经过点(一1,2),那么这个函数也必定经过点()

C.(1,2)

答案D

(3)函数y=2"i的图象是()

答案A

(4)若函数y=/(a>0,且aWl)在区间［0,1］上的最大值与最小值之和为3,则。的值为.

答案2

考点探究——提素养

3

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考点一指数事的运算

31

例x,y>0,

答案一IQy

31

3x~4y2

解析原式=31=-

力于

(2)计算：图10.752+6-2x*j3=.

答案1

解析原式4呼+工@31=3—d+U)，3-+L9=L

36236216364

【通性通法】

有括号的先算括号里的，无括号的先

算指数运算

先乘除后加减，负指数暴化成正指数

赛的倒数

指

数底数是负数，先确定符号；底数是小

¥

一般数，先化成分数；底数是带分数，先化

的成假分数

运原则

算若是根式，应化为分数指数累，尽可

能用嘉的形式表示，运用指数嘉的运

算性质来解答

运算结果不能同时含有根号和分数指

数，也不能既有分母又含有负指数，

形式力求统一

【巩固迁移】

因」-4班-1)3

IUJ2-](心0,b>0)=

(0.1)-1,(tZ3-/73)2

答案I

4

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33_3

2・42q2b2

解析原式=—rr

10a2b2

1_1

2.若N+x2=3,则N+h2=.

答案47

1］

解析由落+%2=3,得、+%-1=7,再平方得12+工-2=47.

考点二指数函数的图象及其应用

例2（1）（2024•安徽合肥八中月考）函数①y=〃；©y=bx；©y=cx；④歹二砂的图象如图所示，a,

b,c,d分别是下列四个数:j3g中的一个，则a,b,c,d的值分别是（）

答案C

解析由题图，直线x=l与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为小心小人而他.」」,

423

故选C.

（2）（2024•江苏南京金陵高三期末）若直线y=3a与函数〉=炉一1|（°>0,且°W1）的图象有两个

公共点，则。的取值范围为.

答案I3J

解析当0<。<1时，了=|出一1］的图象如图1所示，由已知得0<3a<l,A0<a<1;当d>\时，

了=|出一1］的图象如图2所示，由已知可得0<3。<1,；.0va<g,结合a>l可得a无解.综上可

知，a的取值范围为1°，

5

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【通性通法】

(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线X=1与图象的交点进行判断.

(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别

地，当底数。与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足

则排除.

【巩固迁移】

3.(2024•广东深圳中学高三摸底)函数y=e-N(e是自然对数的底数)的大致图象是()

答案C

解析y=e-N=x20,易得函数>=「同为偶函数，且图象过(0,1),>=钎恸>0,函数

e",x<0,

在(一8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，故c符合题意.故选C.

4.(多选)若实数x,y满足半+5%=9+4乃则下列关系式中可能成立的是()

A.l<x<yB.x=y

C.0<x<y<lD.j^<x<0

答案BCD

解析设兀r)=4*+5x,g(x)—5x+4x,则兀r),g(x)都是增函数，画出函数於)，g(x)的图象，

如图所示，根据图象可知，当x=0时，/(0)=g(0)=l；当x=l时，/(l)=g(l)=9,依题意，

不妨设/(x)=g(y)=/,则x,y分别是直线y=/与函数y=/(x),y=g(x)图象的交点的横坐标.当

69时，若兀v)=g(j),则故A不正确；当t=9或，=1时，若/(x)=g(y),则x=y=l

或x=y=0,故B正确；当1«<9时，若/(x)=ge),则0<x勺<1,故C正确；当/〈I时，若

»=g(y)>则yq<0，故D正确•故选BCD.

6

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考点三指数函数的性质及其应用（多考向探究）

考向1比较指数式的大小

例3（2023•天津高考）若0=1.01%6=1.01。.6,c=005,则0,b,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.d>b>cD.b>a>c

答案D

解析解法一：因为函数兀0=1.0"是增函数*且0.6>0.5>0,所以1.010-6>1.01°-5>1,即析A1.

因为函数3（x）=06是减函数，且0.5>0,所以0.6。5<0,6。=1,即c<l.综上，6>a>c.故选D.

解法二：因为函数加）=1.0产是增函数,且0.6>0.5,所以1.0汰6>1.01%即6>a.因为函数九（尤）

=好5在（0,+8）上单调递增，且1.01>0.6>0,所以1,01。5>0.6。.5,即0>c.综上，6>介<?.故选

D.

【通性通法】

比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指.

（1）当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小.

（2）当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幕函数，

然后利用募函数的性质比较大小.

（3）当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较.

【巩固迁移】

5.（2023•福建泉州高三质检）已知a=Q6=0Mc=[k则（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.b>a>c

答案c

中岛®用在

解析因为R上是增函数，所以

所以玳

即c>a>b.

考向2解简单的指数方程或不等式

7

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例4⑴侈选)若4」平<5--5一，，则下列关系式正确的是()

A.x<yB.尸

C.4>心D曰。)

答案AD

解析由中一4'<5r—5方，得4*-5"<4丫一5-乙令於)=4工一5二，则於)矶V).因为g(x)=4l

/x)=一5、在R上都是增函数，所以人月在R上是增函数，所以x勺，故A正确；因为G(x)

=芯-3在(0,十8)和(一8,0)上都单调递减，所以当x<y<0时，x~3>y~3,故B错误；当x<0,

尸0时，也，心无意义，故C错误；因为y=0-'在R上是减函数，且x勺，所以

即Q1<3r,故D正确.故选AD.

彳xXQ

(2)已知实数函数於)=,''若Hl—a)=Aa—1),则。的值为

2「工，X<0,

答案1

2

解析当时，41一。=21,解得。=1；当。>1时，无解.故。的值为1.

22

【通性通法】

x)g(x)

(1)解指数方程的依据：a^=a(a>0f且aWl)u次x)=g(x).

(2)解指数不等式的思路方法：对于形如优>/(Q>0,且aWl)的不等式，需借助函数>=出的

单调性求解，如果Q的取值不确定，则需分Q>1与0VQV1两种情况讨论；而对于形如优>人

的不等式，需先将6转化为以。为底的指数幕的形式，再借助函数歹=〃的单调性求解.

【巩固迁移】

1

6.函数歹=(0.5、一8)-2的定义域为.

答案(一8,—3)

--1

解析因为>=(0.5%—8)2=丁一，所以OS—8>0,贝I12r>23,即一%>3,解得％v—3,故

40.5、一8

1

函数y=(0.5%—8)2的定义域为(一8,—3).

7.当0令2时，方程/=1(a>0,且aWl)有解，则实数a的取值范围是________.

2x

答案(4,+°°)

解析依题意，当xet0'力时，y=成与y=l的图象有交点，作出y=L的部分图象，如图所

XX

8

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例5(1)函数的值域为

答案(0,3］

解析设，=—x2+1,则|%<1,所以0<3W3,故函数/(x)的值域为(0,3］.

⑵函数尸眇-gD+17的单调递增区间为.

答案[-2,+8)

设/K3-2+1在(。,w调递减，在(……

解析

由Q}W4,得X\—2,,得x<~2,而函数/=0"在R上单调递减，所以函

递增.

数8-L1+17的单调递增区间为［—2,+-).

【通性通法】

涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，

涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

【巩固迁移】

8.(多选)已知定义在［―1,1］上的函数人工)=-2・尹+4-3，，则下列结论中正确的是()

A.段)的单调递减区间是［0,1］

B.兀0的单调递增区间是［―1,1］

C.加)的最大值是｛0)=2

D./)的最小值是｛1)=一6

答案ACD

1

解析设E=33xE［—1,1］,贝卜=3%是增函数，且/£|_33」，又函数>=—21+4/=—2。

1J

—1)2+2在bf」上单调递增，在口，3］上单调递减，因此於)在［—1,0］上单调递增，在［0,

1］上单调递减，故A正确，B错误；/(x)max=A0)=2,故C正确；火-1)=；,h1)=一6,因

9

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此人劝的最小值是{1）=—6,故D正确.故选ACD.

fXlox2+2x+3CAX

9.若函数於）=13j的值域是〔’9」，则人x）的单调递增区间是.

答案（-8,-1]

解析,.,7=@是减函数，且加0的值域是10'%,；./=ax2+2x+3有最小值2,则a>0且

=2,解得4=1,因此f=N+2x+3的单调递减区间是（一8,-1],故人月的单调递

4a

增区间是（一8,-1].

课时作业

基础巩面素

一、单项选择题

1.（2024•内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末）已知集合N={x|3旷i》l},5={x|6x2-x-2<0},

贝U/U8=（）

答案D

1,+8]

解析集合/={x|3"i》l}=L2J,5={x|6x2-x-2<0}={x|(3x-2)(2x+1)<0}=

f-i21f-1ool

I23j,所以/U8=〔2+J.故选D.

2.（2024•山东枣庄高三模拟）已知指数函数y=〃的图象如图所示，则y=aN+x的图象顶点横

坐标的取值范围是（）

解析由图可知，<?G（0,1）,而歹="2+》=°["2«J—L（a=0）,其顶点横坐标为了=一^

4。2a

10

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—8,一］故选A.

所以大

3.已知函数人对=/丁，则对任意实数x,有（）

A.X-x)+/x)=0B.A-x)-/x)=0

D-火一x)-/(x)=g

C.A-x)+Xx)=i

答案c

112X.1=1,故A错误,C正确;八一x)—/W=]12>

解析八―x)+/(x)=

l+2-x1+2X1+2X1+2x

12X12X~17

1一—­,不是常数，故B,D错误.故选C.

1+211+2%1+2%2X+12*+1

421

4.已知4=23,6=45,c=53,则（)

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

答案A

422222

解析因为0=23=43,6=45,所以Q=43>45=6,因为6=45=(46)15=409615,c=53=(55)

15=3125凡所以综上所述,q>6>c.故选A.

5.（2024•江苏连云港海滨中学高三学情检测）若函数外）=处心0,且aWl）在［—1,2］上的最

大值为4,最小值为%,则实数加的值为（）

栏B-^

D.1或工

*216

答案D

解析当。>1时，兀0=出在［—1,2］上单调递增，则/（x）max=/（2）=q2=4,解得4=2,此时

/）=21机=/（X）min=2—1=金；当0<0<1时，加0="在［―1,2］上单调递减，所以火X）max=/（一

1）=屋1=4,解得°=；,此时y（x）=Q，加=/（X）min=/（2）=0=工.综上所述，实数加的值

16

为",故选D

6.（2023•新课标I卷）设函数加）=2小丁）在区间（0,1）上单调递减，则〃的取值范围是（）

B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+8)

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答案D

解析函数了=2工在R上单调递增，而函数兀0=2/1)在区间(0,1)上单调递减，则函数y=

x(x—0)=(^—J'—］在区间(0,1)上单调递减，因此;三1,解得所以°的取值范围是［2,

+°°).故选D.

2x—2^>0

7.(2023•辽宁名校联盟联考)已知函数次x)满足於)=•J'若/(a)次一a),则实数a

2Tx,x<0,

的取值范围是()

A.(-1,0)U(0,1)

B.(-1,0)U(l,+°°)

C.(-8,-1)U(1,+8)

D.(—8,-l)U(0,1)

答案B

解析当x>0时，~x<0,八一£)=2_2*=_(2*_2)=—/)；当x<0时，一x>0,八一乃=2二

—2=一(2—2「)=—段)，则函数作)为奇函数，所以丸a)次—a)=-/(a),即人0>0,作出函

数作)的图象，如图所示，由图象可得，实数。的取值范围为(一1,0)U(l,+°°).故选B.

m-ifii-ira-i

8.（2024•福建漳州四校期末）已知正数a,b,c满足2a+LJa=4,36+3=6,4c+U

=8,则下列判断正确的是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

答案A

解析由已知可得Q+D=2,b+D=2,c+口=2,则a,b,c可分别看作直线歹=2—

x和歹=D\》=日\歹=［1的图象的交点的横坐标，画出直线》=2—］和歹=日，

y=D的大致图象，如图所示，由图象可知avXc故选A.

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二、多项选择题

9.下列各式中成立的是（）

A.LwJ="7疝（">0,m>0）

B.」行=]

D.[3）2（62）3]—；=0-26-2（心0,6>0）

答案BCD

解析U=%=〃7m—7（〃>0,别>o）,故A错误；一月孕=-312=—33='口，故B正确；

nv

=、/^=\/31=的，故C正确；[（人白扶>]3=3656）^=a~2b~2（a>0,Z?>0）,故D正确.故

选BCD.

10.已知函数4）=£石，下列说法正确的是（）

A.段）的图象关于原点对称

B.40的图象关于直线x=l对称

C./）的值域为（一1,1）

D.V.xi,xzGR,且xi#X2,兀⑴人必）<0

Xi—X2

答案AC

尸―1V—1

解析由人―力=不有=一1"=—段），可得函数人劝为奇函数，所以A正确；因为人0）

=0,八2）=37（0）差42）,所以B错误；设V：31匚，可得3%=吐=所以1±2>0,即上匕<0,

5八八3叶1l~yl~yy-1

解得一1勺<1,即函数於）的值域为（-1,1）,所以c正确；4）=31%—=11—二?为增函数,

所以D错误.故选AC.

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三、填空题

121

11.0.25-2-(-2X16O)2X(2-3)3+^2X(4-3)-I=.

答案3

.1-m-1

解析原式=[(0.5)2]2—(—2x1)2x2-2+23x23=12)-4、,+2=2—1+2=3.

4

12.不等式的解集为.

答案[1,+°°)

解析由1C—6工一3工三1,可得[io)+。+[io)W1.令於)=(jo)+[5]+[10],因为尸

[ld，y=Q｝,y=[lJ均为R上的减函数，则大x)在R上单调递减，且五1)=1,所以｛工)勺(1),

所以故不等式10'—6、一的解集为[1,+8).

13.若函数〃)=|2*—a|—1的值域为[-1,+8),则实数。的取值范围为.

答案(0,+°°)

解析令g(x)=Rx—a],由题意得g(x)的值域为[0,+8),又>=2工的值域为(0,+8),所以

—Q〈0,解得a>0.

2^x~a

14.已知函数人x)=,+'''关于x的不等式/)W/(2)的解集为/,若/(—8,2],则

2Xa,x>0,

实数a的取值范围是.

答案(一8,—1)

解析当时，结合图象可得人x)A/(2)的解集是(一8,2],不符合题意.当a<0时，2"

。>2。，由于危)在区间(一8,0]和(0,2]上单调递增，所以要使"c)《/(2)的解集/满足/(一

8,2],则2一。次2)=22+。，解得a<—1.综上，实数a的取值范围是(-8,-1).

四、解答题

15.(2024•辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数｛x)是定义在R上的奇函数，且函数g(x)

=Xx)+e"是定义在R上的偶函数.

(1)求函数段)的解析式；

(2)求不等式八的解集.

解(l)；g(x)=/(x)+ex是定义在R上的偶函数，

，g(—x)=g(x)，即八一》)+—工=/3)+守，

V#x)是定义在R上的奇函数，

:•卜4=一及)，

-AQ+er=A的+e1，

14

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P~X_pxa

(2)由(1),知------》工得2er一2^—320,

24

即2(ex)2+3d—2W0,

令t=ex,t>0,则2/2+3/-2W0,

解得OvwL

2

.•.0<收1,

2

二•xW—In2,

a

・••不等式於)2：的解集为(一8,-In2].

16.(2024・山东荷泽高三期中)已知函数/(x)=〔2j.

(Xp+kH

(1)解关于％的不等式，Q£R；

(2)若左£(1,3),VmG(l,2),filmnx—4)~f[x2+nx)+x2~\~nx—2mnx+4^0,求实数〃的取

值范围.

[lL3+ax+l

解⑴由U>(2j,得好+烧炉+办+匕即(1—Q)X<1.

当1—4=0,即4=1时，不等式怛成立，

|l|x3+ax+l

则加户⑸的解集为R；

当1—〃>0,即a<\时，x<----，

1—a

fXlx3+^+l«Ix<——-——,

则於)>3的解集为hl1-4；

当1—〃<0,即a>\时，x>----，

1—a

pX3+ar+l,I—-—.

则於)>匕)的解集为卜I1—a.

综上所述，当。=1时，不等式的解集是R；

当时1时，不等式的解集是hii-j；

当a>\时，不等式的解集是bI\-a.

(2)因为>=工3和歹=%均为增函数,

所以y=/+x是增函数，

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2025年高考数学复习讲义及练习解析

因为了=吩是减函数，

所以火X)是减函数，则g(x)=«r)—X是减函数.

由filmnx—4)—fix1+nx)+x2+nx—2mnx+4^0可得，

g(2mnx-4)=fi2mnx—4)—(2mnx—4)^/(x2+nx)—(x2+nx)=g(x2+nx),

所以2加内一42N十几x,

所以2冽九一〃三%+"能成立，

x

又X+422\/X--=4,当且仅当%=-,

X\1XX

即x=2时，不等式取等号，即V冽£(1,2),2冽九一恒成立，

2n—九24,

由一次函数性质可知，・解得〃》4,

4〃一〃24,

所以实数〃的取值范围是［4,+-).

面圈素养提演

17.(多选)已知函数次x)=a-12j+6的图象经过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直

线相交，则下列说法正确的是()

A.a+b=0

B.若加)=%)，且x壬