2024-2025学年江苏省淮阴区高三实验A班小题专项训练2（含解析）

2024-2025学年江苏省淮阴区高三实验A班小题专项训练2

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数满足z+目=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知正方体ABC。-AgGR的体积为丫，点以，N分别在棱8月，CG上，满足AM++最小，则四

面体的体积为()

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

'x+y>2,

3.若实数乂丁满足不等式组3x-y<6,则3x+y的最小值等于()

x-y>0,

A.4B.5C.6D.7

4.若复数网电(aeR)是纯虚数，则复数2a+2,在复平面内对应的点位于()

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知集合&={尤|卜一1|43,X£2},3=卜£2|2，£4},则集合3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

V21-1

A.—B.J2C.1D.-

24

7.设〃=0.82。5,人二sinl,c=lg3,则〃，b,。三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

8.已知定义在R上函数/(X)的图象关于原点对称，且〃l+x)+/(2—力=0,若/⑴=1,则

〃1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

9.已知集合乂={丫Iy=1,x>0},N={xIy=lg(2x一二，)},则MAN为()

A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)

22

10.已知F]、K是双曲线当=1(。>0/>0)的左右焦点，过点工与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另

ab

一条渐近线于点若点M在以线段耳工为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(V3,2)C.(A/2,73)D.(1,72)

11.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学

科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图,

八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10根，阴阳太极图的半径为4根，则每块八卦田的面积

约为()

A.47.79m2B.54.07m2

C.57.21m2D.114.43m2

12.若直线y=Ax+l与圆丫2+产=1相交于产、。两点，且NPOQ=120。(其中。为坐标原点)，则上的值为()

A.V3B.72C.或一6D.应和一遮

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=cosx-log2(2*+l)+依(aeH)为偶函数，则。=.

14.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P-A5CD为

阳马，侧棱底面ABC。，且上4=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r，则

R

15.若复数z=l—3i(i是虚数单位)，贝(Iz&-10)=

+2,n=2k—l,ksN*

16.已知数列(｛。“｝的前几项和为S〃吗=1,〃2=2,4+2=",,*，贝！|满足2019<S,”<3000的正整

[2an,n=2k,kGN

数机的所有取值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)AABC的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,已知(a—旷=°2_曲.

(1)求角C；

(2)若《ccoslA+^l+bsinCuO,a=l,求AABC的面积.

18.(12分)已知A是抛物线E：V=2pxg>0)上的一点，以点A和点3(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于M,

N两点.

(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程；

(2)若0<p<l,抛物线E与圆(*-5)2+产=9在x轴上方的交点为尸，Q,点G为尸。的中点，O为坐标原点，求直

线OG斜率的取值范围.

19.(12分)已知在四棱锥尸—ABCD中，平面ABC。，R4=AB,在四边形ABC。中，DA±AB,ADIIBC,

AB=AD=2BC=2,E为必的中点，连接£>E,歹为。石的中点，连接AF.

D

(1)求证：AF±PB.

(2)求二面角A—EC—。的余弦值.

20.(12分)如图，在直角AAOB中，OA=OB=2,AAOC通过AAOB以直线OA为轴顺时针旋转120。得到

(ZB(9C=120°).点。为斜边AB上一点.点〃为线段上一点，且上出=逑

3

（1）证明：平面AOB；

（2）当直线加。与平面A08所成的角取最大值时，求二面角5-CD-O的正弦值.

21.（12分）已知数列｛4｝的前“项和为S“，且满足4=_1，4〉0（〃22）,5'='"+1—9〃—1,“6力*,各项均为正

数的等比数列也｝满足4=。2/3=%

（1）求数列｛%｝,｛%｝的通项公式；

（2）若c“=gajb”,求数列｛%｝的前〃项和1

22

22.（10分）已知椭圆C：.+/=l（a〉5〉0）,左、右焦点为耳、F2,点P为C上任意一点，若归国的最大值为

3,最小值为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）动直线/过点工与。交于P、Q两点，在X轴上是否存在定点A，使NP4月=NQAE成立，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

设z=a+bi(a,人eR),则z+忖=a+bi+y/a2+b2=4+,可得一+‘/+/=’,即可得到工，进而找到对应的点所

b=8

在象限.

【详解】

设z=a+6•(a,beH)，则z+\z\=a+bi+y]a2+b2=4+8z,

.a+sla2+b2=4\a=-6

•.4,..s...Z——0+ol,

Ib=8lb=8

所以复数z在复平面内所对应的点为(-6,8),在第二象限.

故选:B

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.

2.D

【解析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面，可得当8M=g§4，GN=gGC时

：V

A/+MN+N2最小，设正方体AG的棱长为3a,得a=力，进一步求出四面体的体积即可.

【详解】

•.•点M,N分别在棱331,CG上，要AM+MN+NR最小，将MN,NR所在的面延它们的交线展开到与40所在的面

共面，AM,即V,NR三线共线时，AM+MN+ND、最八、,

设正方体AG的棱长为3a,则27d=v,

•*.a3=――.

27

^BG=^BC,连接NG,则AGNR共面,

在AAN，中，设N到AD1的距离为此,

22

ADX=7(3tz)+(3tz)=3^2a,

D[N=J(3a¥+/=y/lQa,

AN=而缶¥+(2a¥=叵a,

10a2+22a2-18a27

cosND[NA=

2.Ma-叵a_2底'

sinND[NA=^^=

2455

.•.S=-D.NANsmZD.NA=-AD.-h=^^-a2

ZAL>IIVA2ii2ii2

设M到平面AGND］的距离为h2,

13屈/6aV_

♦V—X---------

..VAMND132~9

故选D.

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

3.A

【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值.

【详解】

x+y>2

解：作出实数x,V满足不等式组上x-yV6表示的平面区域（如图示：阴影部分）

x-y>0

x+y-2=0

由得

[x-y=oO

由z=3x+y得y=-3x+z,平移y=-3龙，

易知过点A时直线在V上截距最小，

所以J加=3xl+l=4.

故选：A.

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题.

4.B

【解析】

化简复数」一■由它是纯虚数，求得从而确定2a+2,对应的点的坐标.

1+i

【详解】

2a+2i2(a+z)(l-z)<2+1=0

=a+l+(l-a)z是纯虚数,则Cl——1,

1+i(1+0(1-01—aH0

2a+2i=-2+2i,对应点为(-2,2),在第二象限.

故选：B.

本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.

5.D

【解析】

弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合4且2、也是集合A的元素.

【详解】

因|x—1区3,所以—2W%<4,故4={—2,—1,0,123,4},又xeZ,2"eA，则x=0,l,2,

故集合3={0,L2}.

故选：D.

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

6.A

【解析】

•2020

利用复数的乘方和除法法则将复数—化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

1-Z

【详解】

;202011,•11

严2°=（六户=15。5=i,一:♦

\'1-z1-z+22

故选：A.

本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

7.C

【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将。，b,c与J上,工比较即可.

\52

【详解】

由a=0.82°5>O.8O5=J|,

c=lg3<1gVio=-|lgio=,

所以有c</?<a.选C.

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

8.B

【解析】

由题知为奇函数，且〃l+x)+/(2—力=0可得函数/(龙)的周期为3,分别求出

/(0)=0,/(1)=L/(2)=—1,知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.

【详解】

因为/(九)为奇函数，故"0)=0；

因为〃1+力+〃2—力=0,故〃l+x)=—y(2—x)=/(x—2),

可知函数/(%)的周期为3；

在/(l+x)+/(2—x)=0中,令x=l,故〃2)=-〃1)=-L,

故函数/(x)在一个周期内的函数值和为0,

故/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=/(1)=1.

故选：B.

本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇

偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

9.B

【解析】

二=〔二IZi=2二，二>0}={二I二>力，

~=(二।二=18a二।-二；)}={二二一二/>0)

={z|二；一：二<0=［二v□5

.••二C二=

故选4

10.A

【解析】

Y2-V2

双曲线j-4=1的渐近线方程为y=±-bX,

a-b1a

b

不妨设过点Fi与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-(x-c),

a

与丫=-thx联立，可得交点Mc,-h-e),

a22a

•..点M在以线段FiFi为直径的圆外，

2b22

.,.|OM|>|OFi|,即有一c+—c->c',

44/

.*--->3,即N>3ai,

a-

Ac1-a1>33^即c>la.

则e=->l.

a

...双曲线离心率的取值范围是(1,+00).

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,

c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的

坐标的范围等.

11.B

【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的,，两面积作差即可求解.

8

【详解】

由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为幽=45，

8

设三角形的腰为。，

a_10ru

由正弦定理可得.135—sin45，解得a=10后sin至

所以三角形的面积为:

o1（-I-135-ACK1—COS135

S二—x10,2sm----sin45=5012----------=25（V2+1）,

222

所以每块八卦田的面积约为：25(0+1)—■1X%X42土54.07.

故选：B

本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.

12.C

【解析】

直线过定点，直线y=kx+l与圆x?+y2=l相交于p、Q两点，且NPOQ=120。(其中O为原点)，可以发现NQOx的大小,

求得结果.

【详解】

如图，直线过定点(0,1),

ZPOQ=120°ZOPQ=30°,nN1=120°,Z2=60°,

由对称性可知k=±百.

故选C.

本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.一

2

【解析】

根据偶函数的定义列方程，化简求得。的值.

【详解】

由于/(%)为偶函数，所以/(—X)=/(%)，

XV

即cos(-x)-log2(2T+1)-ax=cosx-log2+l)+ax,

BPcosx-log2（2-*+1）-at=cosx-log2（2"+l）+av,

rx

即log2（2+l）-log2（2-+l）-2ax=0,

2X+1（2*+l）2—2ax=0,即logI------）------2ax=0，即

即log2——--2ax=0,即log?

（2-+1）2a2X+1

X

log22_2依=九-2or=（1—2〃）％=0,所以1-20=0,0=5.

故答案为：一

2

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.

14.叵

2

【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R=内切球。।在侧面B4D内的正视图是

2

AR4D的内切圆，从而内切球半径为厂=|,由此能求出«.

r

【详解】

四棱锥P—ABCD为阳马，侧棱底面ABCD,

且上4=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,

,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，

,-.（27?）2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41,

侧棱底面ABCD，且底面为正方形,

..•内切球。1在侧面PAD内的正视图是△R4D的内切圆,

,内切球半径为笆坦=1，

故£=叵.

r2

故答案为画.

2

p.

/少-----、——少"

BC

本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解

决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有

很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心

垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则

球心一定在垂线上.

15.35

【解析】

直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.

【详解】

-z=l+3i，z（z—10）=（1—3z）（l+3z-10）=30z.

本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.

16.20,21

【解析】

由题意知数列｛?｝奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据〃为奇数和九为偶数分别算出求和公式,代入数

值检验即可.

【详解】

解：由题意知数列｛an｝的奇数项构成公差为2的等差数列，

偶数项构成公比为2的等比数列，

则邑「=”+1+2（"1）咋2（1-犷）=2«+/_2；

2121-2

口+1+2（左-1）]%2（1-2）+1

=---------------1--------=2+k—2•

2k21-2

102

当上=10时，S[9=2+IO?-2=1122,S20=2"+10-2=2146.

112122

当上=11时，S21=2+11-2=2167,S22=2+11-2=4215.

由此可知，满足2019<Sm<3000的正整数机的所有取值为20,21.

故答案为:20,21

本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式，是综合题，分清奇数项和偶数项是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)-

3

(2)V3

【解析】

(1)利用余弦定理可求cosC,从而得到C的值.

(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得b=4a,得到直后利用面积公式可求5AABC.

【详解】

(1)由(a-/?)?=。2—",得/+〃一。2=".

2.z221

所以由余弦定理，得cose―

2ab2

又因为所以。

(2)由4ccos[A+1]+bsinC=0,得TcsinA+Z?sinC=0.

由正弦定理，得4ca=be,因为cwO,所以b=4a.

又因。=1,所以b=4.

所以AABC的面积S=—absinC-—xlx4x^--百.

222

在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐

次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那

么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.

21八⑥

18.(1)y=4x.(2)0,---

I2J

【解析】

(1)设A的坐标为A(xo,yo),由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线尤=1的距离.由半个弦长，圆心到直线的距

离及半径构成直角三角形可得P的值，进而求出抛物线的方程；

(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元

可得斜率的取值范围.

【详解】

（1）设A（xo,yo）且y（）2=2〃xo,则圆心C（也万+一2'食"）’

圆C的直径|A3|=］（%0_2）2+%2,

圆心C到直线X=1的距离d=|区二—1|=|迎|,

22

因为|MN=2,所以（丝Y）2+屋=（四）2,即］+式=（/—2）2+%2,2=2

2244

整理可得（2p-4）无o=O,所以p=2,

所以抛物线的方程为：y2=4x；

fy2=2px

（2）联乂抛物线与圆的方程,整理可得尤2-2（5-p）x+16=0,△>0,

l（x-5）2+y2=9

设P（xi,yi）,Q（尤2,>2）,则尤1+及=2（5-p）,xi尤2=16,

所以中点G的横坐标XG=5-p,yG=1（C+JE）=,9P-P?，

所以koG=瓦(0<P<l),

5-P

2Q+t-t21型+Ld<"),

令t=5-p(/£(4,5)),贝UZOG二

2t2t5t4

Ji

解得0<%GV注,

2

所以直线OG斜率的取值范围（0,—）.

2

本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.

所

19.（1）见解析；（2）上

7

【解析】

（1）连接AE,证明4£_1依得到？8，面4£）石，得到证明.

（2）以％,AB，AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A—盯z,〃=（1,一1,2）为平面A£C的法

向量，平面DEC的一个法向量为加=（3,1,2）,计算夹角得到答案.

【详解】

（1）连接AE,在四边形ABCD中，DA^AB，24,平面ABCD,

4£^面48。。，；.4£）,上4，PAAB=A,.•.A£）上面R43,

又一PBu面PAB，:.PB±AD,

又•.,在直角三角形ALB中，PA=AB，E为PB的中点，.•.AELPB，ADcAE=A，.•.尸5,面ADE,AFc

面ADE,:.AF±PB.

（2）以Rl，AB，AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A一孙z,

尸（2,0,0）,5（0,2,0）,£（1,1,0）,C（0,2,l）,A（0,0,0）,D（0,0,2）,

n-AC=02y+z=0

设〃=（羽y,z）为平面AEC的法向量,AC=（O,2,l）,AE=（l,l,0）,<[x+y=0，令-1，则,=一1，

n-AE=0

z=2,「.〃=（1,—1,2）,

同理可得平面DEC的一个法向量为m=（3,1,2）.

3—1+4A/21

设向量加与〃的所成的角为夕,/.cos9二

A/6x^47

由图形知，二面角A—£。一。为锐二面角，所以余弦值为3.

7

本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20.（1）见解析；（2）依叵

35

【解析】

(1)先算出的长度，利用勾股定理证明05,再由已知可得Q4L0M,利用线面垂直的判定定理即可证

明；

(2)由(1)可得NMDO为直线与平面A05所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得。为A3中点，然后

建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

【详解】

(1)在AMOfi中，Z(9BC=30，由余弦定理得

0M=VOB2+BM2-2OB-BM-cos30=，

3

•>-OM-+OB2=MB2，

/.OMLOB,

由题意可知：AOA±OB,OA±OC,OBOC=O,

OA_L平面COB,

ONu平面COB,AOA±OM,

又OA\OB=O,

OM±平面AOB.

(2)以。为坐标原点，以。M，OB，OA的方向为x，，，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

平面AOB,在平面A08上的射影是OD,

二血。与平面所成的角是NMDO,NMDO最大时，即ODLAB,点。为A6中点.

8(0,2,0),C(A/3,-1,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(—6,2,1),

DB=(0,l,—1)>OD=(0,1,1),设平面CD3的法向量力=(x,y,z),

n-CD=0,\-s/3x+2y+z=0

由，得《令z=l，得y=l,x=6,

n-DB=0[y-z=0

所以平面CDB的法向量〃=(V3,1,1)-

./.m-CD=0—j3x+2y+z=0

同理，设平面COO的法向量m=(x,y,z),由，得<,

\7[m-OD=Q[y+z=0

令y=l,得z=—l,x=18,所以平面COO的法向量m=^,1,-1，

3I3J

..V105.[3-4y/70

,,cos<m,n>=------，sin<m,n>=JI---------，

35V3535

故二面角B-CD-O的正弦值为生CO.

35

本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

21.(1)/=3"-4；bn=r(2)1=(3〃-7)・2"+7

【解析】

(1)由S“=%+-9〃T化为=6s.+9〃+1,利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到｛4｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

⑵由⑴得到C