2025届河北省阜城中学高二上数学期末经典试题含解析

2025届河北省阜城中学高二上数学期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知对任意实数，有，且时，则时A. B.C. D.2．已知数列满足，则（）A. B.1C.2 D.43．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.A. B.C. D.4．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A. B.C. D.5．设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A.5 B.C. D.96．已知双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）A. B.C. D.8．已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B.C. D.9．已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（）A. B.C. D.10．已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（）A.2 B.4C.6 D.811．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在四面体中，BA，BC，BD两两垂直，，，则二面角的大小为______14．已知函数，则满足实数的取值范围是__15．定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.16．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）设且前项和为，求18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M、N、Q分别为AD、PD、BC的中点（1）证明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值19．（12分）【阅读材料1】我们在研究两个变量之间的相关关系时，往往先选取若干个样本点（），（），……，（），将样本点画在平面直角坐标系内，就得到样本的散点图.观察散点图，如果所有样本点都落在某一条直线附近，变量之间就具有线性相关关系，如果所有的样本点都落在某一非线性函数图象附近，变量之间就有非线性相关关系.在统计学中经常选择线性或非线性（函数）回归模型来刻画相关关系，并且可以用适当的方法求出回归模型的方程，还常用相关指数R2来刻画回归的效果，相关指数R2的计算公式为：当R2越大时，回归方程的拟合效果越好；当R2越小时，回归方程的拟合效果越差，R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2较大的回归模型.【阅读材料2】2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪胺3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当0<x≤13时，建立了与的两个回归模型：模型①:；模型②:；当x>13时，确定y与x满足的线性回归直线方程为.根据以上阅读材料，解答以下问题：（1）根据下列表格中的数据，比较当0<x≤13时模型①，②的相关指数R2的大小，并选择拟合效果更好的模型.回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2（2）当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少.附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；②③，当时，.20．（12分）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线y＝kx＋b为和的“隔离直线”.已知函数，.（1）证明函数在内单调递增；（2）证明和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.21．（12分）已知抛物线E：过点Q(1，2)，F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O.（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值.22．（10分）已知空间中三点，，，设，（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】，所以是奇函数，关于原点对称，是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减，所以考点：函数奇偶性单调性2、B【解析】根据递推式以及迭代即可.【详解】由，得，，，，，，.故选：B3、B【解析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解【详解】因为，所以，则，故选：4、D【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.5、B【解析】由双曲线的的定义可得，于是将问题转化为求的最小值，由得出答案.【详解】设双曲线的由焦点为，且点A在双曲线的两支之间.由双曲线的定义可得,即所以当且仅当三点共线时，取得等号.故选：B6、B【解析】根据双曲线的离心率，求出即可得到结论【详解】∵双曲线的离心率是，∴，即1+，即1，则，即双曲线的渐近线方程为，故选：B7、A【解析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.【详解】解：由，，成等差数列，可得，则，，，可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.则，，则的最大值可能为.由，，可得.因为，，，即，所以，则，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.8、B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，由于，所以，所以，则，所以故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题9、C【解析】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支，，的轨迹方程是，故选C.10、D【解析】根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解【详解】双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以故选：D11、D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.12、A【解析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可计算作答.【详解】因，令，，而双曲线实半轴长，由双曲线定义知，，而，于是可得，在等腰中，，令双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；(2)齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】取的中点为，连接，由面面角的定义得出二面角的平面角为，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角的大小.【详解】取的中点为，连接，因为，所以二面角的平面角为，因为，，所以为等腰直角三角形，即二面角的大小为.故答案为：14、【解析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.【详解】对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，当,解得当，不存在，当时，，解得，故x的范围为点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等15、【解析】设，求出其导数结合条件得出在上单调递减，将问题转化为求解，由的单调性可得答案.【详解】设，则由，则所以在上单调递减.又由，即，即，所以故答案为：16、【解析】计算点渐近线的距离，从而得，由勾股定理计算，由双曲线定义列式，从而计算得，即可计算出离心率.【详解】设双曲线右焦点为，因为的中点在双曲线的渐近线上，由可知，，因为为中点，所以，所以，即垂直平分线段，所以到渐近线的距离为，可得，所以，由双曲线定义可知，，即，所以，所以.故答案为：【点睛】双曲线的离心率是椭圆最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；（2）计算，利用并项求和法可求得.【小问1详解】证明：对任意的，，则，且，故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.【小问2详解】解：，所以，，因此，.18、（1）证明过程见解析（2）【解析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值.【小问1详解】因为M，N是DA，PD的中点，所以MN//AP，因为平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因为四边形ABCD为正方形，且Q为BC中点，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四边形MAQC为平行四边形，所以CM//AQ，因为平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因为，所以面PAQ//面MNC【小问2详解】因为PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面NMC的法向量为，则，令得：，所以，平面NDC的法向量为，则，设二面角M-NC-D的大小为，显然为锐角，则19、（1）模型②拟合效果更好（2）69.1（亿元）【解析】（1）分别求出两个模型的相关指数，在进行比较即可，（2）利用最小二乘法求出回归方程，再求收益即可【小问1详解】对于模型①，因为，故对应的，故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合效果更好【小问2详解】当时，后五组的，由最小二乘法可得，所以当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为故当投入20亿元时，预测公司的收益约为：（亿元）20、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由导数得出在上的单调性；（2）设和之间的隔离直线为y＝kx＋b，由题设条件得出对任意恒成立，再由二次函数的性质求解即可.【小问1详解】，当时，在上单调递增在内单调递增【小问2详解】设和之间的隔离直线为y＝kx＋b则对任意恒成立，即对任意恒成立由对任意恒成立，得当时，则有符合题意；当时，则有对任意恒成立的对称轴为又的对称轴为即故和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.【点睛】关键点睛：在解决问题一时，求了一阶导得不了函数的单调性，再次求导得，进而得出在恒成立，得在上的单调性.21、（1）；（2）证明见解析，的最小值为.【解析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线的方程，联立直线的方程求得的坐标，由此判断出动点在定直线上.求得的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）将点坐标代入抛物线方程得，所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，所以，设直线的方程为，设，由消去得，所以.由于为三角形的垂心，所以，所以直线的方程为，即.同理可求得直线的方程为.由，结合，解得，所以在定直线上.直线的方程为，到直线的距离为，到直线的距离为.所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查抛