高考数学一轮复习：函数与方程（讲义）（原卷版+解析）

第07讲函数与方程

目录

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，高考对函数

(1)理解函数的零点与方程

2022年天津卷第15题，5分与方程也经常以不同的方式进行考

的解的联系.

2021年天津卷第9题，5分查，比如：函数零点的个数问题、位置

(2)理解函数零点存在定

2021年北京卷第15题，5分问题、近似解问题，以选择题、填空题、

理，并能简单应用.

解答题等形式出现在试卷中的不同位

(3)了解用二分法求方程的

置，且考查得较为灵活、深刻，值得广

近似解.

大师生关注.

函数零点的慨念

函数零点与方程实数解的关系

函数零点存在定理

函数与方程

_二分至的慨念

二分3去用二分透求函数零点近似值的步骤

一、函数的零点

对于函数＞="X),我们把使/(尤)=0的实数X叫做函数y=/(x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程〃x）=0有实数根o函数y=/（x）的图像与x轴有公共点o函数＞=有零点.

三、零点存在性定理

如果函数y=〃x）在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/（。卜/伍）＜0,那么函数

y=〃x）在区间（a,6）内有零点，即存在ce（a,b）,使得f（c）=0,c也就是方程f（x）=0的根.

四、二分法

对于区间［。回上连续不断且"4）"伍）＜0的函数〃同，通过不断地把函数“X）的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求

方程“X）=o的近似解就是求函数/（%）零点的近似值.

五、用二分法求函数/（X）零点近似值的步骤

（1）确定区间［a,司,验证〃。）"（6）＜0,给定精度£.

（2）求区间（a,6）的中点%.

（3）计算〃占）.若〃占）=0,则为就是函数“X）的零点；若贝U令人"（此时零点

%）.若〃6＞〃占）＜0,则令°=占（此时零点4e（占,6））

（4）判断是否达到精确度£,即若心-耳＜£,则函数零点的近似值为a（或。）；否则重复第（2）

—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数“X）在定义域上是单调函数，则/（X）至多有一个零点.

②连续不断的函数/（无），其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数/（X）通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/（尤）在闭区间［a,句上有零点，不一定能推出/（a）/0）＜o.

.提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【例1】（2023•广西玉林•博白县中学校考模拟预测）己知函数版尤）是奇函数，且/（x）=/z（x）+2,若

元=2是函数y=/（x）的一个零点，则/（-2）=（）

A.-4B.0C.2D.4

【对点训练11（2023•吉林•通化市第一中学校校联考模拟预测）已知不是函数/（尤）=tanx-2的一个零

点，则sin2尤°的值为（）

【对点训练2】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（力=2，+尤送（%）=1082%+尤/（力=1082了一2的零

点依次为。，瓦c,贝U（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【对点训练3】（2023•全国•高三专题练习）已知/（x）=e，+ln尤+2,若%是方程/（x）—/'（x）=e的一

个解，则为可能存在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【解题总结】

求函数/（X）零点的方法：

（1）代数法，即求方程/'（x）=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数

y=7'（x）的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【例2】（2023•山西阳泉•统考三模）函数”x）=log2X+f+〃7在区间（1,2）存在零点.则实数机的取值

范围是（）

A.（—co,—5）B.（-5,-1）C.（L5）D.（5,+co）

【对点训练4】（2023•全国•高三专题练习）函数/（幻=2工-一-。的一个零点在区间。,3）内，则实数。

X

的取值范围是（）

A.（7,+oo）B.（-oo,-l）C.（-oo,-l）_（7,-KX））D.（-1,7）

2

【对点训练5】（2023•河北•高三学业考试）已知函数/（x）=Q-彳=是R上的奇函数，若函数

2+1

y=2㈤的零点在区间（-1,1）内，则加的取值范围是（）

A.（-：，；）B.（-1,1）C.（-2,2）D.（0,1）

【对点训练6】（2023•浙江绍兴•统考二模）己知函数/（x）=lnx+依2+6,若在区间［2,3］上有零

点，则必的最大值为.

【对点训练7】（2023•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数〃x）=sinG-asinx在

（0,271）上有零点，则实数。的取值范围___________.

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不

等式，解不等式，从而获解.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

【例3】（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x,y满足lnj2y+l+y=2,

e，+尤=5,贝！Jx+2y=.

【对点训练8】（2023•新疆•校联考二模）已知函数〃"=依3+3/—4,若存在唯一的零点％,且

%<0,则。的取值范围是.

x2+4%+a,%<0

【对点训练9】（2023•天津滨海新•统考三模）已知函数/（尤）=1,若函数

—Fa+1,%>0

g（X）="X）-or-1在R上恰有三个不同的零点，贝ua的取值范围是.

【对点训练10］（2023•江苏•校联考模拟预测）若曲线y=xlnx有两条过（e,a）的切线，则。的范围是

【对点训练11］（2023•天津北辰•统考三模）设aeR,对任意实数无，记

/（x）=min{e1-2,e2j:-acx+a+24）.若有三个零点，则实数。的取值范围是.

【对点训练12】（2023•广东•统考模拟预测）已知实数机，九满足

2023-2m3-ln2

——------m=---------Inn-In^2e2020）=0,贝!|机“=.

【解题总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零

点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如

果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

题型四：嵌套函数的零点问题

21c

【例4】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/"）=2',若关于x的方程

-|2JC-1|+1,X>0

/⑴-（左+1）犷（耳+履2=0有且只有三个不同的实数解，则正实数上的取值范围为（）

A.［o,；B.1^（1,2）C.（O,1）U（1,2）D.（2,+s）

【对点训练13］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=|2凶-211,则关于x的方程

产（x）+时（x）+〃=0有7个不同实数解，则实数机，〃满足（）

A.机>0且〃>0B.m<0^n>0

C.0<m<1且〃=0D.—lv根<0且〃=0

【对点训练14】（2023•四川资阳•高三统考期末）定义在R上函数f（x）,若函数y=/（x-l）关于点

（1,0）对称，且“力=a1「、则关于工的方程尸⑺-2时（尤）=1（机£尺）有〃个不同的实数解，

e—2,xGi,+oo）,

则n的所有可能的值为

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【对点训练15］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/5）=，7-1修，设关于无的方程

/（x）-nrf（x）=-（meR）有几个不同的实数解，则«的所有可能的值为

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【解题总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实.

题型五：函数的对称问题

【例5】（2023•全国•高三专题练习）已知函数f（x）=2x+1

的图象上存在点P,函数g

X

（无）=ar-3的图象上存在点。，且P,。关于原点对称，则实数a的取值范围是（）

A.H，0]B.o,jC.[0,4]D.j,4

oo

【对点训练16］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/5）=靖，函数g（x）与/（x）的图象关于直线y=x

对称，若〃（x）=g（x）-质无零点，则实数左的取值范围是（）

A.B.C.（e,+oo）D.

【对点训练17］（2023•全国•高三专题练习）已知函数y=a-21nx,dvx〈e）的图象上存在点函数

e

>=/+1的图象上存在点双，且/,N关于无轴对称，则a的取值范围是（）

【对点训练18］（2023•全国•高三专题练习）已知函数g（x）=。-/（:VxVe,e为自然对数的底数）

与/?（x）=21nx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数。的取值范围是（）

A.1,-7+2B.[l,e2-2]

e

C.3+24-2D.[_e2-2,+co)

e

【解题总结】

转化为零点问题

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

[例6](2023•浙江宁波•高三统考期末)若函数/(x)=x3.2ex2+-Inx至少存在一个零点,则加的

X

取值范围为()

(11「21、(1]「1

A.-s,e2+-B.e+—,+8C.-8,e+—D.e+-,+8

卜\e_e

【对点训练19]（2023•湖北•高三校联考期中）设函数/（尤）=/—2e/+yTnx,记g（x）=3,若函

数g（x）至少存在一个零点，则实数加的取值范围是

A.[-oo]+JB.[oR+Jc.D.^-co,e2+1

【对点训练20】（2023•福建厦门•厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x,使得方程

Inx-mx=x（x2-lex）.则实数用的取值范围为

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【对点训练2。（2023•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）设函数/（无）=/-2工-三+。（其中e为

自然对数的底数），若函数/（无）至少存在一个零点，则实数。的取值范围是（）

A.（0,1H—]B.（0,eH-]C.[eH—,+co）D.（—co,1H—]

eeee

【解题总结】

分类讨论数学思想方法

题型七：唯一零点求值问题

【例7】（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃力=|无+2|+e'+2+e-2r+a有唯一零点，则实数。=

（）

A.1B.-1C.2D.-2

【对点训练22]（2023•全国•高三专题练习）已知函数/⑴=-、a（sinx+cosx）有唯一零点，则

。二（）

A.-B.—C.y/2D.1

ee

【对点训练23]（2023•全国•高三专题练习）已知函数廉无），”（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函

数,且g（x）+Mx）=e*+sinx-x,若函数"到二广20组-Xg（x-2020）-2万有唯一零点,则实数彳的值为

A.T或1B.1或C.-1或2D.-2或1

【对点训练24］（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃无）=2$1一：421+22-，）”2有唯一零点，则

负实数。=

A.—2B.—C.—1D.—或—1

22

【解题总结】

利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

题型八：分段函数的零点问题

⑵r<0

【例8】（2023•天津南开•高三南开中学校考期末）己知函数/（无）=,”一八，若函数

［log2x,x>0

g（x）=〃x）+/n有两个零点，则机的取值范围是（）

A.[-1,。)B.C.(f0)D.

(x—2)ln(x+1),-1<x<m,

【对点训练25】（•全国•高三专题练习）已知函数恰有

202377?>0,cosI3x+^-j,m<x<K,3

个零点，则根的取值范围是（)

715兀c3兀)715兀,3兀唔吟吟

A.2TB.勺CD.

1291212n

ex,x>0#

【对点训练261（2023•陕西西安•高三统考期末）已知函数/（司=；八，若函数

-3x,x<0

g（x）=/（-x）-/（x）,则函数g（x）的零点个数为（）

A.1B.3C.4D.5

2sin2TT\x-a+—,x<a

【对点训练27】（2023•全国-高三专题练习）已知函数〃力=<I2,若函数

x2-(2a+l)x+a2+2,x>A

/（x）在［0,伏）内恰有5个零点，则a的取值范围是（）

【解题总结】

已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解.

题型九：零点嵌套问题

【例9】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=（xe，）2+（a_l）（尤靖）+1-。有三个不同的零点

孙孙％.其中再＜々＜须，则（1一平』）（1一"也）（1一X3j）2的值为（）

A.1B.（o-l）2C.-1D.1一a

【对点训练28】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/'（x）=（ox+lnx）（x-lnx）-x2,有三个不同的零

【对点训练29】（2023•辽宁•校联考二模）已知函数〃x）=9（lnxy+（a-3）xlnx+3（3-a）x2有三个不同

【对点训练301（2023•重庆南岸•高三重庆市第H■•一中学校校考阶段练习）设定义在R上的函数/⑺满

足"X）=9x2+（a-3）xex+3（3-a）e2x有三个不同的零点占,％,X3,且玉＜。＜马＜W，贝U

【解题总结】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

题型十：等高线问题

—兀？一2xX（0

【例10】（2023•全国•高三专题练习）设函数〃x）='一

7|lnx|,x＞0

①若方程/（力=。有四个不同的实根毛，巧，匕，则西•XzKf的取值范围是（。」）

②若方程y（x）=a有四个不同的实根毛，巧，x3,x4,则再+X2+X3+尤4的取值范围是（。，+°°）

③若方程〃力=依有四个不同的实根，则”的取值范围是（0,』

@方程广（可-、+£|〃力+1=0的不同实根的个数只能是1,2,3,6

四个结论中，正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

（X+1）",x<0

【对点训练311（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（尤）=<，若方程〃力=。有四个不

|log2x|,x>0

同的解工,马出3/4,且占<当<W〈七，则%，（占+%）+三一的取值范围是（）

九3，*4

A.（-1,1]B.[-1,1]C.[-1,1）D.（-1,1）

【对点训练32]（2023•四川泸州•高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数

|log3x|,0<x<3

〃尤）=<1210°，若方程/（尤）=机有四个不同的实根占，巧，X3,x4,满足x<三<%,

—x-----x+8,x>3

133

则（入一3）（.%-3）的取值范围是（）

2

A.（0,3）B.（0,4]C.（3,4]D.（1,3）

工,1

【对点训练33】（2023•全国•高三专题练习）已知函数兀0=<若互不相等的实数无/,

x>1

尤2,尤3满足尤/）=/（X2）=/（尤3）,贝“』+^-j的取值范围是（）

95

A.）B.（1,4）C.（0,4）D.（4,6）

42

【解题总结】

数形结合数学思想方法

题型十一：二分法

【例11]（2023•辽宁大连•统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函

数“X）在与附近一点的函数值可用〃力，/（5）+/（尤o）（x-x。）代替，该函数零点更逼近方程的解，以此

法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程/一3彳+1=0,选取初始值

%=（,在下面四个选项中最佳近似解为（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【对点训练34】（2023•全国•高三专题练习）函数AM的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计

算，参考数据如下：

/（I）=-241.5）=0.625/（1.25）=-0.984

“1.375）=-0.260/（1.438）=0.165/（1.4065）=-0.052

那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【对点训练35］（2023•全国•高三专题练习）利用二分法求方程logsx=3-x的近似解，可以取的一个区

间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【对点训练36］（2023•全国•高三专题练习）用二分法求函数f（x）=lg尤+彳-2的一个零点，根据参考数

据，可得函数八力的一个零点的近似解（精确至U0」）为（）（参考数据：1g1.570.176,

1g1.625®0.211,lgl.75®0.243,1g1.875a0.273,1g1.937570.287）

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【对点训练371（2023•全国•高三专题练习）用二分法求函数〃x）=ln（x+l）+x-1在区间［0,1］上的零

点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.6B.7C.8D.9

【解题总结】

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求

方程/（x）=0的近似解就是求函数/（X）零点的近似值.

cos(24x-2%〃).x<a

1.（2021.天津.统考高考真题）设函数/（%）=，若〃龙）在区间（。,+8）

炉—2(〃+l)x+Q?+5,x>a

内恰有6个零点，则。的取值范围是（）

2)5n

A.54

c911c

C.2]D'3

4

2.（2019•全国•高考真题）函数/（x）=2sinx-sin2x在［0,2句的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2014・湖南.高考真题）已知函数/（尤）=尤2+e'-g（尤<0）与g（x）=x2+3ln（x+«）图象上存在关于y轴对称

的点，则。的取值范围是（）

A.(一8,B.(-00,五)C.D.

第07讲函数与方程

目录

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，高考对

(1)理解函数的零点与函数与方程也经常以不同的方

2022年天津卷第15题,5分

方程的解的联系.式进行考查，比如：函数零点的

2021年天津卷第9题，5分

(2)理解函数零点存在个数问题、位置问题、近似解问

2021年北京卷第15题,5分

定理，并能简单应用.题，以选择题、填空题、解答题

(3)了解用二分法求方等形式出现在试卷中的不同位

程的近似解.置，且考查得较为灵活、深刻，

值得广大师生关注.

函数零点的概念

函数与方程

一、函数的零点

对于函数y=〃尤)，我们把使〃x)=0的实数X叫做函数y=〃x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程〃彳)=0有实数根0函数〉="同的图像与；1轴有公共点0函数>=/(x)有零

点.

三、零点存在性定理

如果函数y=〃尤)在区间［凡句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

/(a)"㈤<0,那么函数y=在区间(a,6)内有零点，即存在ce(a,b),使得

f(c)=0,c也就是方程/(x)=0的根.

四、二分法

对于区间［a,“上连续不断且•/㈤<0的函数/⑺，通过不断地把函数/(x)的

零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃尤)=0的近似解就是求函数“X)零点的近似值.

五、用二分法求函数“X)零点近似值的步骤

(1)确定区间［a,b］,验证了(4卜/伊卜。，给定精度£.

(2)求区间(a,6)的中点士.

(3)计算/(%).若〃%)=0,则%就是函数的零点；若/伍)-〃X)<0,则令

b=xl(此时零点％e(a,±)).若/®•〃用)<0,则令〃=为(此时零点七e(占,匕))

(4)判断是否达到精确度£,即若|a-4<£,则函数零点的近似值为a(或6);否

则重复第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数/(%)在定义域上是单调函数，则/(%)至多有一个零点.

②连续不断的函数/(x),其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数/(x)通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/(x)在闭区间［。，句上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.

.提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【例1】(2023•广西玉林•博白县中学校考模拟预测)已知函数〃(x)是奇函数，且

f(元)=6(元)+2,若x=2是函数>=/(元)的一个零点，则〃-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】因为尤=2是函数y=/(x)的一个零点，则/(2)=0,于是〃2)=〃⑵+2=0,即

M2)=-2,

而函数〃(x)是奇函数，贝IJ有场(-2)=-"⑵=2,

所以/(-2)=飘-2)+2=4.

故选：D

【对点训练11(2023•吉林•通化市第一中学校校联考模拟预测)已知%是函数

/(x)=tanx-2的一个零点，则sinZx。的值为()

43c34

A.—B.--C.-D.一

5555

【答案】D

【解析】因为不是函数〃x)=tanx-2的一个零点，

所以tan%—2=0,即tan/=2,故cos%。w0,

Qi]sin-2，由与,cosx0_2tanx0_4

222

sinx0+cosx01+tanx05"

故选：D.

【对点训练2】(2023•全国-高三专题练习)已知函数

/(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,/i(x)=log2尤一2的零点依次为”,瓦c,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】对于/(x)=2，+x,显然是增函数，/(0)=1>0,/(-1)=-1<0,所以/(X)的

唯一零点ae(-l,0)；

对于g(x)=log2》+x,显然也是增函数，g^=-1<0,g(l)=l>0,所以g(x)的唯一

零点6d

对于〃(x)=log2X-2,显然也是增函数，/z(4)=log24-2=0,所以〃(x)的唯一零点

c=4；

/.a<.b<c；

故选：A.

【对点训练3】(2023•全国•高三专题练习)已知〃x)=eX+lnx+2,若为是方程

“力-_f(x)=e的一个解，则与可能存在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】r(x)=ev+-,所以-尸⑺=e，+lnx+2'+口=1门-'+2,

XIX，％

因为与是方程/(力--⑺=e的一个解，

所以与是方程1皿_4+2—©=0的角轧4^(g(^)=lnx--+2-e,

xx

贝='当犬>0时，，(％)=4+3>0恒成立，

XXXX

所以g(%)=liix-工+2-e单调递增，

X

131S

又g⑵=In2-—+2-e=ln2+--e<0,,g(3)=ln3-耳+2-e=ln3+--e>0,

所以％0w(2,3).

故选：C.

【解题总结】

求函数y(x)零点的方法：

(1)代数法，即求方程/(x)=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；(2)几何

法，即利用函数y=/(x)的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

[例2](2023•山西阳泉•统考三模)函数〃尤)=log2尤+^+机在区间(L2)存在零

点.则实数机的取值范围是()

A.(—oo,—5)B.(-5,-1)C.(L5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由M=logzx在(0,+“)上单调递增，%=1+根在(0,+8)上单调递增，得函数

/(%)=log2x+d+机在区间(0,4-00)上单调递增,

因为函数/(x)=log2X+d+m在区间(1,2)存在零点,

诉I、//⑴<°Jl°g21+F+〃2<0

P2

所以伉2)3|log22+2+/77>0解得一5<相<一1,

所以实数m的取值范围是(-5,-1).

故选：B.

3

【对点训练4】(2023•全国-高三专题练习)函数/(%)=2、-―-。的一个零点在区间

x

(1,3)内，则实数。的取值范围是()

A.(7,+co)B.(-oo,-l)C._(7,-H»)D.(-1,7)

【答案】D

3

【解析】=和丁=-3在(0,+8)上是增函数，

x

3

/(%)=2'——。在(0,+8)上是增函数，

x

.•.只需/⑴"(3)<0即可,gp(-l-a)-(7-a)<0,解得-L<a<7.

故选：D.

2

【对点训练5】(2023•河北•高三学业考试)已知函数/(x)=a-h二是R上的奇函数,

2+1

若函数y=/(x-2*的零点在区间(-1,1)内，则机的取值范围是()

A.B.(-L1)C.(-2,2)D.(0,1)

【答案】A

22

【解析】・・・〃尤)是奇函数，・・・/(0)=。一「=0,a=l,=易知〃龙)在H

1+12X+1

上是增函数，

・・・/⑺有唯一零点①

函数y=f(x-2%)的零点在区间内，.•.彳一2»1=0在(-M)上有解，"7=5

根€(-：,；).

22

故选：A.

【对点训练6】(2023•浙江绍兴•统考二模)已知函数/'("=1!«+依2+6,若在区

间[2,3]上有零点，则而的最大值为

【答案】i

【解析】设/(与)=。，x0e[2,3].则lru：o+ax；+b=O,

止匕时人=-lnx0-axl,贝！Jab=-a\nx

2

2

令g(a)=—a\wc0-ax1=-xQa+

lnxn,、

当"=一寿时，g(")max

乙人0

记〃。）=等，贝|］〃。）=与生

2x2x

所以力（无）在［2,e）上递增，在［e,3］上递减,

故无（X）max=〃（e）=［,所以g⑷

所以"的最大值为*.

故答案为：今

【对点训练7】（2023•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数

/3=$111依-411》在（0,2兀）上有零点，则实数。的取值范围

1U，+

【答案】—00,------(2°°{0}

2

.।7L].兀兀.兀71八

【解析】当a＞l时，。＜乌＜兀，fsin〃•一一4sm—=一〃sin一<0,

aaaa

3兀3。兀

=sin+a>0,

故噌卜3兀713兀

＜0,由零点存在性定理知：/（x）在区间上至少有1个零点;

a'2

当a=l时，/（%）=0,符合题意;

I兀兀

当一＜a＜1时,TC＜—＜2兀,一＜〃兀＜兀,兀＜2。兀》＜2兀，

2a2

/[—j=-«sin—>0,/(兀)=sinan>0,/(2K)=sin2a兀<0,

\a)a

由零点存在性定理知，在区间(兀,2兀)至少有1个零点;

当工时，

2

f\x)-acosax-acosx-a(cosax-cosx)

ax+xax-x.ax+x.ax-x(ax+xax-x.ax+x.冰一

=acos--------cos----------sin--------sin----------cos----------cos---------Fsin--------sin--------

2222(2222)\

_.(a+I)x.(a-V)x

=-2asm---------sin----------,

22

因为0<。4工，xG(0,2TC),所以一兀――<0,sin―—―<0,

222

、1,/八2兀.._(Q+1)%.(Q+1)X八”/、八"/、、当4•¥

当X£(O,------)时，0<^--------<71,sm---------->0,/(X)递增，

〃+122

、［//2兀_.„,(a+l)x3兀.(Q+1)X八a,、八£,、、当、T

当％w(---,2兀)时，7i<-------<一,sin-------<0,/(%)<0,7(x)递减，

〃+1222

故了⑺在(0,21)上递增，在(乌,2兀)上递减，

又/'(0)=0,，(2兀)=5抗2加20,即在(兀,2兀)上，/(x)>0,

故/(x)在区间(0,271)上没有零点.

所以，当时，函数/(x)=sinov-qsinx在(0,2兀)上有零点.

令(p(a)=sin依一asin%,(p(-a)=sin(-av)+asinx=-sinax+asinx=~(p(d),

可知奴a)=sin«v-osinx为奇函数，图象关于原点对称，

从而，当时，函数/(x)=sinor-asinx在(0,2兀)上有零点.

又当a=0时，f(x)=0,符合题意，

综上，实数0的取值范围［-巩-£|口,，+，|{0}.

故答案为：1一0°厂3卜网-

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系,

列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

【例3】(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)已知实数无，>满足

InJ2y+1+y=2,e"+x=5,则x+2y=.

【答案】4

【解析】由InJ2y+l+y=2,艮|3In)2y+l=2—丁,

gpe4-2"=2)7+1,

令4—2y=，，则2y=4T,