黑龙江省双鸭山市2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析

黑龙江省双鸭山市2025届高二数学第一学期期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.2．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.1293．，则与分别为（）A.与 B.与C.与0 D.0与4．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A.， B.C.， D.5．已知向量，，且与互相垂直，则（）A. B.C. D.6．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.7．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（）A. B.C. D.8．如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（）A. B.C. D.9．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.710．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A. B.C. D.11．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（）A.4 B.12C.15 D.2112．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是双曲线的左、右焦点，若为双曲线上一点，且，则__________.14．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.15．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.16．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆过点，，且圆心在直线：上.（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.18．（12分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围19．（12分）已知等差数列前n项和为，，，若对任意的正整数n成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点（1）求双曲线的标准方程；（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由21．（12分）设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）判断与题中圆A的半径的大小关系，并写出点E的轨迹方程；（2）过点作斜率为，的两条直线，分别交点E的轨迹于M，N两点，且，证明：直线MN必过定点22．（10分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若，，，求边长c；（2），，，求角C.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，∴到直线AB距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.2、C【解析】由题设可得，再由即可求值.【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.3、C【解析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，，故选：C4、D【解析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，所以，解得故选：5、D【解析】根据垂直关系可得，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】，，又与互相垂直，，解得：.故选：D.6、A【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线，结合建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程【详解】椭圆的标准方程为，椭圆中的，双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，双曲线满足，即又在双曲线中，即，解得：，所以双曲线的方程为，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题7、C【解析】由题意，得，由此可求出答案【详解】解：∵，且分别是直线的方向向量，∴，∴，∴，故选：C【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题8、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.9、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.10、D【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.【详解】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.11、B【解析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算.【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.故选：B12、A【解析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.【详解】设，则，∴R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、17【解析】根据双曲线的定义求解【详解】由双曲线方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案为：1714、##2.25##【解析】求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出，用点到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.【详解】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得.设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直线的距离，所以面积.故答案为：15、或10.【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.16、4【解析】设，写出、的坐标，利用向量数量积的坐标表示有，根据椭圆的有界性即可求的最大值.【详解】由题意知：，，若，∴，，∴，而，则，而，∴当时，.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】(1)根据题意设圆心，利用两点坐标公式求距离公式表示出，解出，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得，利用直线的两点式方程即可得出结果.【小问1详解】圆过点，，因为圆心在直线：：上，设圆心，又圆过点，，所以，即，解得，所以，所以故圆的方程为：；【小问2详解】点关于轴的对称点，则反射光线必经过点和点，由直线的两点式方程可得，即：.18、（1）极大值；极小值（2）【解析】（1）利用导数来求得的极大值和极小值.（2）由不等式分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，令，可得或2所以在区间递增；在区间递减.故当时．函数有极大值，故当时，函数有极小值；【小问2详解】由，有，可化为，令，有，令，有，令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，有，可知，有函数为减函数，有，故当时，若恒成立，则实数a的取值范围为【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解.19、【解析】设等差数列的公差为，根据题意得，解方程得，，进而得，故恒成立，再结合二次函数的性质得当或4时，取得最小值，进而得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由已知，.联立方程组，解得，.所以，，由题意，即.令，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以当或4时，取得最小值，所以实数的取值范围是.20、（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.【解析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得【详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或当时，的标准方程为，代入，无解当时，的标准方程为，代入，解得故的标准方程为（2）不能是线段的中点设交点，，当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，则，由得，将代入判别式，所以满足题意的直线也不存在所以点不能为线段的中点21、（1）与半径相等，（2）证明见解析【解析】（1）依据椭圆定义去求点E的轨迹方程事半功倍；（2）直线MN要分为斜率存在的和不存在的两种情况进行讨论，由设而不求法把条件转化为直线MN过定点的条件即可解决.【小问1详解】圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，所以其与半径相等.因为，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（不包括左右顶点），且有，，即，，，则点E的轨迹方程为；【小问2详解】当直线MN斜率不存在时，设直线方程为，则，，，，则，∴，此时直线MN的方程为当直线MN斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，有则将*式代入化简可得：，即，∴，此时直线MN：，恒过定点又直线MN斜率