2024年中考数学试题分类训练：三角形及全等三角形

专题18三角形及全等三角形（40题）

一、单选题

1.（2024・陕西中考真题）如图，在AABC中，ABAC=90°,AO是BC边上的高，E是。C的中点，连接4E,

则图中的直角三角形有（）

C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的概念.根据直角三角形的概念可以直接判断.

【解析】由图得△ABD,AABC,AADC,VADE为直角三角形，共有4个直角三角形.故选，C.

2.（2024•河北・中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段3。一定是AABC的（）

C.中位线D.中线

【答案】B

【分析】本题考查:的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得3D，AC,从而可得答案.

【解析】由作图可得：...线段5。一定是AABC的高线；故选B

3.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）将一个含30。角的三角尺和直尺如图放置，若4=50。，则N2的度

数是（）

C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求

解.

【解析】如图所示，由题意得/3=N1=5O°,Z5=90°,N2=N4,

Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,故选，B.

4.（2024.四川凉山・中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的

解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B,连接48,作AB的垂直平分线CD交A3于点。，交A8于点C,

测出A5=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出2。的长；设圆心为。，连接。B,在

及△08□中，可用半径表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的

直径长.

【解析】：CD是线段的垂直平分线，，直线CD经过圆心，设圆心为0,连接03.口△080中，

19

BD=-AB=20cm,根据勾股定理得：OD?+BD?=OB?,即：（05-10）"+202=OB2,解得:08=25；

故轮子的半径为25cm,故选，C.

5.（2024・云南•中考真题）已知AF是等腰“WC底边上的高，若点尸到直线的距离为3,则点尸到

直线AC的距离为（）

,37

A.—B.2C.3D.一

22

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形“三线合一”得到AF平分/B4C,再角平分线的性质定理即可求解.

【解析】如图，是等腰"LBC底边BC上的高，平分/BAC,.•.点/到直线AB,AC的距离

相等，：点尸到直线AB的距离为3,...点/到直线AC的距离为3.故选，C.

6.（2024・四川凉山.中考真题）如图，在Rt^ABC中，^ACB=90°,垂直平分AB交BC于点。，若AACD

的周长为50cm,贝i]4C+3C=（）

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得4。=班＞,进而可得AACD

的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+3C=50cm,即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解

题的关键.

【解析】：垂直平分AB,AD=AACD的周长

=AC+CD+AD=AC+CD+3D=AC+3C=50cm,故选，C.

7.（2024・四川眉山・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点8为圆心，大

于;AB的长为半径作弧，两弧交于点E,F,过点E,尸作直线交AC于点£）,连接8D,则△BCD的周

长为（）

【答案】C

【分析】本题考查了尺规作图一作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明根据△BCD的

周长=3D+CD+3C=AD+CE>+3C=AC+3C,即可求出答案.

【解析】由作图知，E尸垂直平分48,.•.&£>=8£>,.•.△BCD的周长

=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,-.-AB=AC=6,BC=4,.•.△BCD的周长=6+4=10,故

选，C.

8.(2024・湖北•中考真题)平面坐标系无S中，点A的坐标为(-4,6),将线段Q4绕点。顺时针旋转90。，

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点A分别作x轴的垂线，证明AAC®丝ACMyAAS),得到

A'C=OB=4,OC=AB-6,据此求解即可.

【解析】过点A和点A，分别作x轴的垂线，垂足分别为BC,..•点A的坐标为(T,6),.•.08=4,A5=6,

:将线段。4绕点。顺时针旋转90。得到04’,Q4=Q4',ZAOA'=90°,AZAOB=90°-ZAOC=ZOAC,

：.^AOB^OAC(AAS),：.AC=OB=4,OC=AB=6,...点A的坐标为(6,4),故选，B.

9.(2024.北京・中考真题)下面是“作一个角使其等于/AQ?”的尺规作图方法.

(D如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交Q4,。3于点C,。；

(2)作射线O'A,以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A于点C'；以点C'为圆心，8长为半径画

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【解析】根据上述基本作图，可得OC=O'C',OD=（yD',CD=C'D',故可得判定三角形全等的依据是边

边边，故选A.

10.（2024・广东广州•中考真题）下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影

部分的两个三角形关于点。对称的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点

。判断即可.

【解析】由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,故选，C.

11.（2024・青海•中考真题）如图，OC平分NA08,点P在。C上，PD1OB,尸£）=2,则点尸到。4的

距离是（）

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理.过点P作于点E,根据角平分线的性质可得尸E=PD,

即可求解.

【解析】过点P作PELQ4于点E,VOC^ZAOB,PD±OB,PE工OA,；.PE=PD=2,故选,

C.

12.（2024.四川凉山・中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当D尸〃A8

时，NEZ汨的度数为（）

15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键.证明

ZAED=ZFDE=30°,再利用NED3=NABC-NAED,进行求解即可.

【解析】由题意，得：NEDF=30。,ZABC=45°,'：DF//AB,：.ZAED=ZFDE=30°,：.

ZEDB=ZABC-ZAED=45°-30°=15°；故选B.

13.（2024.天津•中考真题）如图，Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=40°,以点A为圆心，适当长为半径画弧,

交AB于点E，交忙于点八再分别以点瓦尸为圆心，大于净的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径

相等）在/胡C的内部相交于点尸；画射线AP,与BC相交于点则ZAAC的大小为（）

A.60°B.65C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互

余可求出440=50。，由作图得440=25。，由三角形的外角的性质可得NADC=65。，故可得答案

【解析】VZC=90°,ZB=40°,ABAC=90°-ZB=90°-40°=50°,由作图知，AP平分/SAC,

ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,又ZAT）C=N8+Za4。,；.//1£）。=40°+25°=65°,故选，B

22

14.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，在AABC中，AB=3y/2,AC=2,以2C为边作口以38,BC=BD,

点。与点A在BC的两侧，则AO的最大值为（）

A.2+3夜B.6+2&C.5D.8

【答案】D

【分析】如图，把MSC绕B顺时针旋转90°得到AUBD,求解AH=《AB。+BH?=6AD<DH+AH,

（A,”,D三点共线时取等号），从而可得答案.

【解析】如图，把"LBC绕5顺时针旋转90。得到△HBD,A2=2H=3>/LAC=DH=2,ZABH=90°,

AH=y/AB2+BH2=6-VAD<DH+AH,（A,",。三点共线时取等号），的最大值为6+2=8,

故选D

B

15.（2024・山东烟台・中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线OP为ZAOB的平分线的有()

A

°DB

A.1个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定,全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可.

【解析】第一个图为尺规作角平分线的方法，。尸为NAO3的平分线；第二个图，由作图可知:

OC=OD,OA=OB,AC^BD,VZAOD=ZBOC,：.ZlAOD^ZxBOC,：.ZOAD=ZOBC,VAC^BD,

NBPD=ZAPC,：.ABPD^APC,：.AP=BP,YOA=OB,OP=OP,：.^AOP^/\BOP,：.ZAOP=NBOP,

OP为NAOB的平分线;第三个图，由作图可知ZACP=ZAOB,OC=CP,：.CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.?CPO?BOP：.ZCOP=ZBOP,，。尸为/AOB的平分线;

第四个图，由作图可知：OPVCD,OC=OD,OP为/A03的平分线；故选D.

16.（2024・安徽•中考真题）在凸五边形A3CDE中，AB=AE,BC=DE,尸是CO的中点.下列条件中,

不能推出A/7与CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=ZEAF

C.ZBCF=ZEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形

的判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论.

【解析】A、连接AC、AD,

VZABC=ZAED,AB^AE,BC=DE,：.△AC5^AADE（SAS）,AAC^AD又：点P为CD的中点

AAFLCD,故不符合题意；B、连接BREF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,/.AABF^AAEF（SAS）,/.BF=EF,NAFB=NAFE又；点、

产为CO的中点，CF=DF,BC=DE,：.ACBF分DEF（SSS）,：.NCFB=ZDFE,

ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,AFYCD,故不符合题意；C、连接BREF,

:点尸为CD的中点，.•.（：「=D7",:NBCF=NEDF,BC=DE,：.ACBF%DEF（SAS）,；.BF=EF,

Z.CFB=ZDFE,VAB=AE,AF=AF,：.^ABF^AEF（SSS）,:.ZAFB=ZAFE：.

ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,：.AF1CD,故不符合题意；D、ZABD=ZAEC,无法得出题干结

论，符合题意；故选，D.

17.(2024.浙江•中考真题)如图，正方形由四个全等的直角三角形和

中间一个小正方形EFGH组成，连接OE.若AE=4,BE=3,则DE=()

C.V17D.4

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得"E的长度，利用勾股定理即可

解答，利用全等三角形的性质得到HE=1是解题的关键.

【解析】•.•△ABEAgCFACDGZVMH是四个全等的直角三角形，AE=4,BE=3：.AH=EB,

DH=AE=4,:.HE=AE-AH=1-；四边形EFGH为正方形，..ZDHE=90°,：,DE=《DH?+HE?=方，

故选，C.

18.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程V一10*+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得为=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【解析】由方程--10x+21=0得，%=3,々=7,：3+3<7,.•.等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,故选，C.

二、填空题

19.（2024・四川成都・中考真题）如图，AABC^ACDE,若/0=35。，/ACB=45。，则/OCE的度数

【答案】100°/100度

【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出

Z.CED=ZACB=45。，再利用三角形内角和求出ZDCE的度数即可.

【解析】由AABC四△CDE,"=35°,AZCED=ZACB=45°,VZD=35°,/.

ZDCE=180°-ZD-ZCED=180°-35°-45°=100°,故答案为：100°

20.（2024.甘肃临夏.中考真题）如图，在AABC中，点A的坐标为（0,1）,点8的坐标为（4,1）,点C的坐标

为（3,4）,点Z）在第一象限（不与点C重合），且△ABD与AABC全等，点。的坐标是.

【答案】（1,4）

【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质.利用数形结合的思想是解题的关键.根据点O在第一

象限（不与点C重合），且与ULBC全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出0（1,4）.

【解析】：点。在第一象限（不与点C重合），且△ABD与AABC全等，；.AD=BC,AC=BD,可画

图形如下，由图可知点C、D关于线段A3的垂直平分线x=2对称，则0（1,4）.故答案为：（1,4）.

21.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，中，。是AB上一点，CF//AB,D、E、P三点共线,

请添加一个条件,使得=（只添一种情况即可）

A

【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答.根

据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一.

【解析CF//AB：.ZA=ZECF,=NCFE,.,.添加条件=EF,可以使得四ACFE（AAS）,

添加条件=也可以使得AADE丝ACEE（ASA）,A£=CE；故答案为：DE=EF或AD=CF（答

案不唯一）.

22.（2024・四川凉山•中考真题）如图，AABC中，^BCD=30°,^ACB=80°,CD是边AB上的高，AE是

/C4B的平分线，则NAEB的度数是.

【答案】100。/100度

【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出NACD=5O。，结合高的定义,

得NZMC=40。，因为角平分线的定义得NC4£=2O。，运用三角形的外角性质，即可作答.

【解析】^BCD=30°,-48=80°,AZACD=5O°,<CD是边A8上的高，NADC=90°,

ZDAC=40°,；AE是/GW的平分线，AZCAE=-ZDAC=20°,：.

2

ZAEB=ZCAE+ZACB=20o+80°=100°.故答案为：100。.

23.（2024.江苏连云港.中考真题）如图，直线。〃方，直线Ua,Zl=120°,则N2=

【答案】30

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出/3的度数,

根据三角形的外角的性质，得至4/3=90°+/2,即可求出N2的度数.

【解析】'：aHb,Z3=Z1=12O0,V/±tz,Z3=Z2+90°,AZ2=30°；故答案为：30.

24.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则NA=

【答案】66

【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得NE=/C=33°,

根据三角形的外角的性质可得NDOE=66。，根据平行线的性质，即可求解.

【解析】'：OC=OE,ZC=33°,NE=NC=33°,AZDOE=ZE+ZC=66°,VAB//CD,

/A=/DOE=66。，故答案为：66.

25.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，已知NAO3=50。，点尸为NAOB内部一点，点M为射线。4、

点N为射线上的两个动点，当APMN的周长最小时，则NMPN=.

［分析］本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质,三角形内角和定理的应用；作点P关于。4,

02的对称点AP2.连接。gOP2.则当M,N是PR与OA,02的交点时，APMN的周长最短，根据

对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解.

【解析】作P关于。4,的对称点与心.连接。耳。鸟.则当M,N是勺鸟与Q4,QB的交点时，APMN

的周长最短，连接4尸、PF,；P、6关于。4对称，•••

ZPtOP=2NM0P,OPX=OP,PtM=PM,AOP}M=ZOPM,

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP,,ZOP2N=ZOPN,

ZF\OP2=APXOP+AP2OP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB=100°,OPt=OP2=OP,△片。鸟是等腰三角

形.ZOB,N=ZOPtM=40°,ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+ZOI\M=800故答案为：80°.

26.(2024・四川广元•中考真题)点F是正五边形ABCDE边OE的中点，连接8尸并延长与C。延长线交于

点G,则/3GC的度数为.

【答案】18。/18度

【分析】连接8£>,3E,根据正多边形的性质可证AABE/ACB/XSAS),得至1」9=瓦>,进而得到BG是。E

的垂直平分线，即ZDFG=90°,根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到/TOG=72。，

再根据三角形的内角和定理即可解答.

【解析】连接50，8E,：五边形ABCDE是正五边形；.AB=5C=CD=AE,ZA=ZC

二AA8E0ACBD(SAS”.8E=3D,：点F是OE的中点，，3G是OE的垂直平分线，/DFG=90。，

在正五边形ABCDE中，ZCDE=)-2)-180=10§0,.../"妇=180°-ZCDE=72°,

Z.G=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.故答案为：18。

A

27.（2024・湖南•中考真题）如图，在锐角三角形A3C中，AD是边上的高，在54,3C上分别截取线

段BE,BF,使BE=BF；分别以点E,尸为圆心，大于3E产的长为半径画弧，在NABC内，两弧交于点

P,作射线3尸，交AD于点过点M作朋NSAB于点M若MN=2,AD=4MD,则.

【答案】6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分/ASC,根据角平分线的

性质可知AM=MV=2,结合A£>=4Aff）求出A£）,AM.

【解析】作图可知BP平分/ABC：AD是边BC上的高，MN±AB,MN=2,：.MD=MN=2,VAD=4MD,

：.AD=8,：.AM=AD-MD=6,故答案为：6.

28.（2024.重庆•中考真题）如图，在AABC中，延长AC至点。，使CD=C4,过点。作DE//CB,且OE=OC,

连接AE交BC于点F.^ZCAB=ZCFA,CF=1,贝.

【答案】3

【分析】先根据平行线分线段成比例证AF=£F,进而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,再证明

^CAB^DEA,得BC=AD=4,从而即可得解.

FACA

【解析r・・CD=C4,过点。作。石〃CB,CD=CA,DE=DC,：・——=——=\,CD=CA=DE,：,AF=EF,

FECD

：.DE=CD=AC=2CF=2f：.AD=AC+CD=^,•:DE〃CB,:,NCFk=/E,NACB=ND,,:

ZCAB=ZCFA,：.ZCAB=ZE,u：CD=CA,DE=CD,：,CA=DE,：・4CAB冬DEA,；・BC=AD=4,

：.BF=BC-CF=3,故答案为：3,

29.（2024•陕西・中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,E是边A3上一点，连接CE,在BC右侧作3尸〃AC,

且3尸=/，连接C/＜若AC=13,BC=10,则四边形£»尸（7的面积为.

c

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理:过点c作a/1AB,CNLBF,

根据等边对等角结合平行线的性质，推出=产，进而得到C7W=av,得到当CM=S,ACE，进而得

到四边形EBFC的面积等于“Me，设AM=x,勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出融BC的面

积即可.

【解析】VAB^AC,：.ZABC^ZACB,VBF//AC,：.ZACB^ZCBF,：.ZABC=ZCBF,BC平

分NAB尸，过点C作口/±AB,C7V_L3产，则：CM=C7V,：,也=1台尸CN,且BF=AE,

=

**,^^CBFS^ACE,*•四边形EBFC的面积=S&CBF+SgE=S.ACE+SACBE=S《BA'•「AC=13,「・AB=13,设

222222222

=贝！J：BM=13-xf由勾股定理，得：CM=AC-AM=BC-BM,A13-x=10-(13-x),

解：x=詈，••.6=卜_］詈］、椁...5/耐=：48941=6。，...四边形£B尸C的面积为60.故

答案为：60.

30.(2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当长为半径画弧,

交x轴正半轴于点交y轴正半轴于点M再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两

弧在第一象限交于点H,画射线0H,若〃(2a-l,a+l),则。=.

o\'Mx

【答案】2

【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点》在第一

象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案.

【解析】根据作图方法可得点》在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；••.2a-l=a+l,

解得：a-2,故答案为：2.

31.（2024.四川内江•中考真题）如图，在AABC中，ZDCE=40°,AE^AC,BC=BD,则/ACB的度

数为;

【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差.

根据三角形的内角和可得NCDE+NCED=140。，根据AE=AC,3c=3。得至=,

ZBCD=ZBDC,从而NACE+/BCD=140。，根据角的和差有NACB=/ACE+/BCr>-Na）E,即可解

答.

【解析】:NDCE=4O。,：.Z,CDE+ZCED=180°-ZDCE=140°,VAE=AC,BC=BD,：.

ZACE=ZAEC,/BCD=ZBDC,：.ZACE+ZBCD=ZCDE+ZCED=140°Z.

ZACB=ZACE+ZBCE=ZACE+ZBCD-ZCDE=140°-40°=100°.故答案为：100°

三、解答题

32.（2024・四川乐山・中考真题）知：如图，AB平分/CW,AC^AD.求证：NC=/D.

AB

【分析】利用SAS证明△G4B/AZMB,即可证明NC=/£>.

解：•.♦AB平分NCW,

:.NCAB=NDAB,

在AC4B和AZMB中，

AC=AD

<NCAB=ZDAB,

AB=AB

ACAB^ADAB(SAS),

：.ZC=ZD.

33.(2024・四川内江・中考真题)如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

(1)求证：△ABC四△D£F；

⑵若ZA=55。，ZE=45°,求NF的度数.

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关

键.

(1)先证明45=小，再结合已知条件可得结论；

(2)证明NA=NEDE=55。，再结合三角形的内角和定理可得结论.

解：(1)证明：VAD=BE

：.AD+DB=BE+DB,即A3=DE

,:AC=DF,BC=EF

：.AABCmADEF(SSS)

(2),/^ABC^Z\DEF,ZA=55°,

ZA=ZFDE=55°,

"?ZE=45°,

AZF=180。-ZFDE-NE=80°

34.（2024・江苏盐城・中考真题）已知：如图，点A、B、C、。在同一条直线上，AE//BF,AE=BF.

若,则=

请从①CE〃DF；②CE=DF；③4="这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并

说明理由.

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出NA=/FBD,NO=NEC4,再

由全等三角形的判定和性质得出47=5。，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形

的判定得出AAECgABF/XSAS）,结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

解：选择①CE；

VAE//BF,CE//DF,

：.NA=ZFBD,ND=ZECA,

AE=BF,

：.AAEC、BFD（AAS）,

AC=BD,

:.AC—BC=BD—BC,即AB=CD；

选择②CE=D产；

无法证明AAEC丝4BFD,

无法得出AB=CD；

选择③NE=NP；

,/AE//BF,

ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=ZF,

：.AA£C^ABFD（ASA）,

AC^BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

故答案为：①或③（答案不唯一）

35.（2024・广西・中考真题）如图，在AABC中，ZA=45°,AC>BC.

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线/,分别交AB,AC于点。，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，

标明字母）

⑵在（1）所作的图中，连接BE,若AB=8,求8E的长.

【分析】（1）分别以A、2为圆心，大于为半径画弧，分别交AB,AC于点。，E,作直线DE,则

直线/即为所求.

（2）连接BE,由线段垂直平分线的性质可得出由等边对等角可得出/EBA=NA=45。，由三角

形内角和得出/3E4=90。，则得出A配为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出BE的长.

解：（1）如下直线/即为所求.

,/DE为线段48的垂直平分线,

***BE=AE,

：.ZEBA=ZA=45°,

：.ZBEA=90°,

△ABE为等腰直角三角形,

..人BE忑1

,,sinA-------J

AB2

/.BE=AB—=8x^

=4-\/2

22

36.(2024・四川南充・中考真题)如图，在AABC中，点£>为3C边的中点，过点B作AC交4。的延

长线于点E.

(1)求证：△3。石且△CDA.

(2)若AD13C,求证：BA=BE

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质:

(1)由中点，得到50=8,由8E〃AC,得到NE=ND4C,ZD8E=NC,即可得证;

(2)由全等三角形的性质，得到即=A£>,进而推出8D垂直平分AE,即可得证.

解：(1)证明：•.,。为BC的中点,

:.BD=CD.

BE//AC,

ZE=ADAC,ZDBE=ZC；

ZE=ZDAC

在ABDE和ACEA中，＜ZDBE=ZC

BD=CD

.•.△BDE^ACZM(AAS)；

(2)证明：•.△BDE沿ACDA,

:.ED=AD

AD±BC,

二班)垂直平分AE,

BA=BE.

37.(2024•云南•中考真题)如图，在“IBC和△A£D中，AB=AE,ZBAE=ZCADfAC=AD.

求证：AABC^AAEZ).

A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.利用“SAS”

证明△ABC名△AED,即可解决问题.

解：证明：•••=

:.ZBAE+NEAC=NCAD+NEAC,ZBAC^ZEAD,

在44BC和△AED中，

AB=AE

<ABAC=ZEAD,

AC=AD

AABC冬AAED(SAS).

38.(2024•江苏苏州・中考真题)如图，M1SC中，AB^AC,分别以8,C为圆心，大于JBC长为半径画

弧，两弧交于点。，连接BD,CD,AD,AD与2C交于点E.

(1)