2024-2025学年北师大版九年级数学上册专项复习：矩形中的几何综合（压轴题）解析版

矩形中的几何综合

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

♦知识点总结

一、矩形的性质

1.平行四边形的性质矩形都具有；

2.角：矩形的四个角都是直角；

3.边：邻边垂直；

4.对角线：矩形的对角线相等；

5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点.

二、矩形的判定方法

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2.有三个角是直角的四边形是矩形；

3.对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.

♦典例分析

【典例1】在矩形4BCD中，E是4。边上一点.

(1)若Z71BE=60。，EC平分乙BED,且AB=1,求△EDC的面积；

(2)若“是力E中点且AE=B”，EFLBH于F点,求证：BF=AH+WEF；

(3)若乙4BE=60。，EF14D于E点，连接2F并反向延长至G点使得力G=4F=3EF.点H在直线力D上方,

连接BH、HF,GB=BH,^GBH+^ABE=180°,请探究并请直接写出AF与FH的数量关系.

【思路点拨】

(1)利用角平分线的性质，构造△CEF三△CED,同时得到含30。角的特殊RtZXBCF,可求出BC,进而求

出ED,再求面积.

(2)将B尸分割为4H、8EF两段，过4点作BF的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明.

(3)从NGBH+N2BE=180。，NABE=60。两个条件可发现NG8H=120。=联想到可以构造手

拉手模型，再通过“8”字全等模型找到了HF与EF的数量关系，进而找到了”F与4F的数量关系.

【解题过程】

解：（1）在矩形48C。中CD=48,AD=BC,=/.ABC=ZD=90°.

过C作CF1BE于F,如图1.

图1

•:乙CFE=ZD=90°,乙BEC=4DEC,CE=CE,

BECm△DECQMS）.

•••CF=CD=AB=1.

•:乙EBC=乙ABC-乙ABE=90°-60°=30°,Z.BFC=90°,

FC=^BC.即BC=2CF=2.

•••△4=90。，AABE=60°,

・•.Z.AEB=30°,

・•.BE=2AB=2.

...AE=VBE2-AB2=A/22-12=V3.

・•.ED=AD-AE=BC-AE=2-y/3.

•e,S^EDC—软。,DC=三一誓

(2)过A作ZG1BF于G,过/作Z/1EF延长线于/,如图2.

图2

・••乙4/E=90°=Z.BAH,

•••Z-ABH+乙AHB=90°,乙FEH+Z.FHE=90°,

工乙ABH=乙FEH.

又AE=BH,

AI=AH,AB=EI.

vAILEIfEF1BH,AG1BF,

•••四边形AGF/是矩形.

；.AG=FI,GF=AI.

•••AAGH=乙EFH,^AHG=乙EHF,AH=HE,

.•.AAGH=AEFH.

・•.EF=AG.

.・.AB=IE=2AG.

在RtZkZBG中，BG=7AB2-W=J(2ZG)2—g=例G=®F.

・•.BF=GF+BG=AH+WEF.

(3)作△E/B关于AB的对称连接KG,EH,如图3.

图3

•••△KAB三AEAB,

・•.KA=EA,Z,KBA=(ABE=60°.

乙KBE=乙KBA+乙EBA=60°+60°=120°.

•・•乙GBH+乙ABE=180°,

Z.GBH=180°-乙ABE=180°-60°=120°.

乙KBE=乙GBH,

・•.Z.KBE-乙KBH=乙GBH-乙KBH.

••・乙GBK=乙HBE.

又•・•GB=BH,KB=BE,

KGB=△HBE(SAS).

•♦.KG=HE,乙GKB=LHEB.

•・•KA=EA,Z.KAG=Z.EAF,AG=AF,

AAKG=Ai4EF(SAS).

・•.KG=EF,4AKG=^AEF=90°.

.-.KGWAB.

"GKB=乙KBA=60°.

v/.BAE=90°,AABE=60°,

・••乙BEA=30°.

・••乙HEF=(BEF-乙HEB=乙BEA+^AEF-乙HEB=30°+90°-60°=60°.

为等边三角形，

•••FH=EF,

・•.AF=3EF=3FH.

♦学霸必刷

1.（2023•浙江宁波・中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边为边向外作矩形BCDE,连结4E/D,

设△4ED,/\ABE,△"£）的面积分别为S,Si，S2，若要求出S—Si—S2的值，只需知道（）

A.△力BE的面积B.△2CD的面积C.△ABC的面积D.矩形8CDE的面积

【思路点拨】

过点4作FGIIBC,交EB的延长线于点F,DC的延长线于点G,易得：FG=BC,AF1BE,AG1CD,利用矩形

的性质和三角形的面积公式，可得Si+S2=gs矩形BCDE,再根据s=S&4BC+S矩形⑶⑺月~^2=^AABC+

1

5s矩形BCDE，得到S—SI-S2=即可得出结论，

【解题过程】

解：过点/作FGIIBC,交的延长线于点F,OC的延长线于点G,

•・•矩形8CDE,

/.BC±BE,BC±CD,BE=CD,

•••FG1BE,FG1CD,

・•・四边形BFGC为矩形，

.-.FG=BC,AF1BE,AG1CD,

.•$=|BE-AF,S2=#D-AG,

，Si+S2=-BE^AF+AG)=5BE-BC—5s矩形BCDE，

又S=S4ABC+S矩形BCDE—Si—S2=S&ABC+5s矩形BCDE，

；.S—Si—S2=S4ABC+2^^B.^BCDE~^^,K.BCDE=^AABC>

只需要知道△4BC的面积即可求出S—Si—S2的值；

故选C.

2.（22-23九年级上•浙江宁波•期末）如图，矩形&B1Q01在矩形4BCD的内部，且Bi/IBC,点/，外

在对角线8。的异侧.连结BBi，DBi，BDi，DDlt若矩形A8CD〜矩形48母1。1，且两个矩形的周长已

知.只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形B/Di。的面积（）

A.矩形4BCD的面积B.ABiBDi的度数

C.四边形的周长D.的长度

【思路点拨】

连接BQ,DAr,过点当作8止LAB于点E,过点的作C#，4B于点F,过点当作为G14。于点G,过点

作于点H,设小矩形的长和宽分别为a和b,大矩形的长和宽分别为ak和*,BF=m,AGn,然

后用分割法求得四边形B&DDi的面积，进而可以根据条件得到结果.

【解题过程】

解：如图，连接BC。D公,过点当作B1E14B于点E,过点的作射F14B于点F,过点当作以G14D于点

G,过点Di作DiHlBC于点H,

,­,81cl1BC,

•••四边形力EBiG、四边形EFQBi是矩形,

设小矩形的长和宽分别为a和6,大矩形的长和宽分别为ak和尿，BF=m,AG=n,则S矩形人避心小=

S矩形4BCD=。匕々？，AE=bk—m—a,CH=ak—n—b,

cDBPbmS

•••S^BCij=我的,4G=3an,SABC1D1=lii'=l>ADA1B1=|^i^i,AE=^b(bk-m-a),

S^ZMIDI—2^i^i-CH--a(ak—n—b'),

S四边形B&DDI=SABC'BI+S&BC1D1+SADABI+S/XD41D1+S矩形&BICIDI

1111

=—an+—bm+—b(bk—m—a)+—a(ak—n—b)+ab

11

=—fc(a2+b2)=—fc[(a+b)2—2ab]

=?(a+b)2—kab,

•••矩形ABC。和矩形力/1的。1的周长已知，

•••2(a+b)和2(ak+尿)为定值，

•••k为定值，

•1•夫(a+b)2为定值，

当S矩形ABCD已知时，四边形BiBDiD的面积即为定值,

故选：A.

3.（22-23八年级下•浙江宁波•期末）如图，在矩形A8CD中，对角线AC,BD交于点0,点P为边4。上一点,

过P分另IJ作PE1AC,PF1BD,垂足为点E,F,过力作力“1BD,垂足为若知道△4PE与△DPF的周长

B.△AD”的周长

C.△ABC的周长D.四边形4PF”的周长

【思路点拨】

连接OP,过“作4Mli8D,延长FP交4M于一点G,根据PELAC,PFLBD,建立面积式子即可得S&w。=

SATIPO+SADP0,又因为4H1BD,即得S4A。。=《XD。X4"，四边形4BCD是矩形，得4H=EP+FP,接

着证明aaGP三aAEP,得力E=HF,即可得解.

【解题过程】

解：连接。P,过N作4MIIBD,延长FP交4M于一点G,如图所示：

BC

■:PE1AC,PF1BD,

-'-^AAPO=|xXOxEP,SADP0=|x£)0xFP,

•.•四边形4BCD是矩形，

：.A0=DO,Z.ADO=Z-OADf

ill

则S/VIDO=Sop。+S^DPO=-xAOxEP+-xDOxFP=-xDOx(EP+FP),

-AHA.BD,

・"△/oo=|xDOxAH,

即=EP+FP,

•・・PF上BD,AHLBD,

­.AH||PF,

-AM||BD,

・•・四边形4”FG是平行四边形，

^/.GAP=/.ADO=乙。/0,

.-.AG=HF,

-AH1BD,

・•・四边形/HFG是矩形,

-PE1AC,

：,/,AEP=4AGP=90°,

'：AP=AP,

・•.△AGP=△ZEP(AAS)，

贝Ij/G=AEf

-AG=HF,

：,AE=HF,

•・•已知］与△DPF的周长和,

EP+AP+AE+DP+FP+DF=EP+FP+AP+DP+DF+AE=AH+AD+DF+HF

即已知

=AH+AD+HD

因为的周长=4"+/。+”。,

所以则一定能求出△4DH的周长,

故选：B.

4.（23-24八年级下•福建龙岩•阶段练习）如图，四边形力BCD是矩形，点F在边上，2F平分立艮4。且

AD=AF,DE14F垂足为点E,连接BE并延长交CD于点G,连接DF交BG于点H,连接EC交OF于点/,有下

列结论：①N2FD=ZZTD；②。尸垂直且平分EC；@AEFC=AEHD；④4B=EG；@z£GC=67.5°.其

中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】

由矩形的性质可得力。IIBC,ZBCD=90°,得出乙4DF=NCF。，由等腰三角形的性质得出乙4尸。=乙4。尸,

故①正确；由RtaDEF三Rt^DCF得EF=CF,由线段垂直平分线的性质可得②正确；由NEDC=45。，

ED=DC,得△EDC不可能是等边三角形，彳导ED手EC,故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全

等三角形的性质及长方形的性质可得△力ED为等腰直角三角形，求出N4BE=67,5。，再根据平行线的性质

可得NEGC=AABE=67.5°,可判定⑤正确.

【解题过程】

解：••・四边形4BCD是矩形，

/.AD\\BCf£.BCD=90°,

・•・Z.ADF=Z.CFD,

vAD=AF,

Z-AFD=Z.ADF,

^AFD=^CFDf故①正确；

vLAFD=Z.CFD,DELAF,DCLBC,

・•.DE=DC,

・•.D在CE的垂直平分线上，

在RtMEF和RtMCF中，｛器：g]

•••Rt△DEFmRt△DCF(HL),

•••EF=CF,

•••点尸在CE的垂直平分线上，

•••OF垂直且平分CE,故②正确；

•••AF平分NB2D,

••2£MF=45。，

•••/LADE=45°,

:.乙EDC=45°,

又ED=DC,

•.AEDC不可能是等边三角形，

:.EDHEC,

•••△EFCw^EHD错误；故③错误；

vAB=CD,ED=CD,

・•.AB=ED,

,:乙EDG=45°,

•••EDHEG,

:.AB丰EG,故④错误;

V^DAF=45°,DE1AF,

・•・△/ED为等腰直角三角形，

•••AE—DEf

vRt△DEF=Rt△DCF(HL),

•••DE=DC,

又AB=DC,

・•・AB=AE,

•••Z-ABE=Z.AEB,

v^LBAE=45°,

・•・/.ABE=67.5°,

-AB||PC,

・・・NEGC=448E=67.5。，

故⑤正确.

故选：c.

5.(22-23八年级下•广西南宁•阶段练习)如图，四边形4BCD是矩形，点尸是力B边的三等分点，

BF=22F,点电是CB边的中点，连接力F,ErD,得到△EF。；点是C/的中点，连接&F,得到

△&FD；点电是C&的中点，连接E3乩E3D,得到△电/£＞；…按照此规律继续进行下去，若矩形4BCD

的面积等于6,则△治023尸。的面积是.

【思路点拨】

根据题意，并结合矩形的性质可得：AB=CD/D=BC,N4=NB=NC=90o/F=，B,=C%=5

力B=-CD,AB=CD=3AF,而S^EIFD=S-[S&ADF+^/\EXBF+,整理可得：SAE^FD=6—

（1+：x2+：x3）,再表示出SAEZFD,S/^FD的面积，观察规律可得：6—^1+—^―x2+^x3^=3——,

从而可求解.

【解题过程】

解：•・・四边形/BCD是矩形，

AB=CD,AD=BCfZ,A==(C=90。，

•・•BF=2/凡点Ei是CB边的中点，

・•・AF==CE1=^AB=^D,AB=CD=3AF,

•••S^E'FD=SABCD-(S&WF+SAE1BF+S^E]CD)

/l11\

=6-卬。•”+/％・BF+2密•叼

/I1111\

=6-[-AD-AF+-X-AD-2AF+-X-AD-3AF)

1/I1\

=6——AD-AFX^14--x2+-x3j

=6-(1+2X2+]X3),

•••奥是CEI的中点，

■■-BE2=弟C=\AD,CE2=；BC=\AD,

:，SAEZFD=S-(S△/皿z+S^EBF+SAECD),

319

1+2+

-X-X

整理得：SAE?FD44

同理可得:尸0=6_(1+tx2+?X3),

•，・S4EnFD=6—(1+x2+^x3)=3--,

.c_Qi

,••^△^2023™—J-22023,

故答案为：3—云篙.

6.(22・23九年级上•广东深圳•期中)如图，已知ZBIIC。，AB=CD,乙4=乙。，E是43边的中点，F为AD

边上一点，乙DFC=2乙BCE,若CE=4,CF=5,贝抬产的值为.

BC

【思路点拨】

先根据已知条件证四边形/BCD是矩形，得出=ADWBC.再延长CE交于点G,证明△AGE三

△BCE(AAS),得出ZG=BC,再证明CF=FG,设OF=x,根据勾股定理得出：CD2=CF2-DF2=CG2-D

G2,列方程求出。尸的长度，进而求出/£

【解题过程】

解：-ABWCD,AB=CD,

・・・四边形/BCD是平行四边形，

•MB||CD,

・・.4+ZD=180°,

又•.,乙4=(D,

.•・〃=90°,

・•・四边形/BCD是矩形，

：.AD=BC,ADWBC；

如图，延长口4,CE交于点G,

•・•四边形48CD是矩形，

：,/LDAB==90°,ADWBC,

'./.GAE=90°,乙G=LECB,

，:E是AB边的中点，

.\AE=BE,

(Z-G—Z-ECB

在△AGE和△BCE中，\^LGAE==90°,

IAE=BE

△AGE=△BCE(AAS),

.'.AG=BC,GE=CE=4.

-ADWBC,

：.Z-DFC=乙BCF,

-A.DFC=2(BCE,

"BCE—Z.FCE—Z-G,

；.CF=FG=5.

设DR=x,

根据勾股定理得：CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,

即52—%2=82—(5+%)2,

解得x=1.4,

：.DG=6.4,

：.AD=^DG=3.2,

：.AF=AD-DF1.8.

故答案为：1.8.

7.(22-23九年级上•广东梅州•阶段练习)如图，在矩形ABCD中，28=2,AD=3,E为BC边上一

动点，作EFLAE,且EF=AE.连接DF,AF.当DF1EF时，△ADF的面积为.

【思路点拨】

如图，过。作DHIAE于X,过£作EM1AD于连接DE,证明四边形DHEF是矩形得到

DH=EF=AE,证明四边形4BEM是矩形，的EM=2B=2,利用面积法可得4E的长，根据勾股定理可得

BE的长，证明aABE三△EQF,得FQ=BE=最后根据三角形面积公式可得结论.

【解题过程】

解：如图，过。作。于〃，过E作EM14D于连接DE,

vEF1AE,DF1EF,

"DHE=乙HEF=乙DFE=90°,

・•・四边形DHE尸是矩形，

：.DH=EF=AE,

•・•四边形/BCD是矩形，

;/B=Z-BAD—90°,

-/LAME=90°,

四边形4BEM是矩形，

.-.EM=4B=2,

设力E=EF=DH=x,

■■■SAADE=\AD-EM=^AE-DH,

.,.3x2=%2,

••-x=V6(负值舍去)，

即/E=V6,

由勾股定理得：BE=yjAE2-AB2=V2,

过尸作PQIICD,交4。的延长线于P交BC的延长线于0,

:•乙Q=Z.ECD=LB=90°,乙P=Z.ADC=90°,

-Z.BAE+AAEB=Z.AEF=^AEB+^FEQ=90°,

"FEQ=Z-BAE,

'：AE=EF,Z-B=Z-Q=90°,

・••△/BEW2\EQF(AAS),

'-FQ=BE=V2,

.-.PF=2-V2,

■■■SAADF=|X£)-PF=|X(2-V2)=3-^,

故答案为：3—乎.

8.(22-23八年级下•江苏泰州•期中)如图，在矩形4BC。中,AB=2,E为BC上一点,且BE=1,作EF14E

交边CD于F,将△CEF沿EF折叠后点C恰好落在2D边上的G处，则4。长=.

【思路点拨】

如图，连接4F,过E作于H,证明四边形EHOC为矩形，求解4E=7乎+/=而,设CF=%,

CE=y,EF=z,则%2+y2=z2,由等面积法可得：|xlx2+1xV5z+=|(x+2)(y+1),可得

y=2x,设GD=n,可得HG=2x—n,同理可得：|X2(2%—n)+1n(2—%)+•2%=1(2—x+2)

X2x,可得n=4久-4,GH=2x—(4x—4)=4—2%,由勾股定理可得：EH2+HG2=EG2,再建立方程

求解即可.

【解题过程】

解：•••矩形48CD,

:/B=Z-BAD=乙D=Z.C=90°,AB=CD=2,

如图，连接力F,过E作EH_LAD于H,

则四边形EHDC为矩形，

.-.HD=EC,EH=CD=2,

■.■AE1EF,

：./.AEF=90°,

-BE=1,

•-AE=722+12=近,

设CF=x,CE=y,EF=z,则/+y2—z2,

由等面积法可得：Ix1x2+1xV5z+|xy=|(x+2)(y+1),

整理得：x+2y=V5z,则％2+4%y+4y2=5z2=5x2+5y2,

.•Ax2-4xy+y2=0,即(2%—y)2=0,

.,.y=2x,

设GO=n,

••.HG=2x—n,

由对折可得：GF=FC=x,Z,EGF=zC=90°,EG=EC=2x,而OF=2一%,

同理可得：

5x2(2%_7i)+万九(2_x)+5工,2%—万(2_%+2)x2%,

整理得：x(4x—n—4)=0,

'：xW0,

.-.4%—n—4=0,即ri=4x—4,

:,GH=2x—(4x—4)=4—2x,

由勾股定理可得：EH2+HG2=EG2,

.,.4+(4—2%)2=(2x)2,

解得：x=I

...4。==2x+1=|5+1=-7.

故答案为：

9.（2024•江苏淮安•一模）如图，在矩形4BCD中，点K在4D上，且=3,4E=4,BC=14,点尸是

【思路点拨】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，分两种情况：

当翻折后，点F在BC下方时，当翻折后，点尸在BC上方时，分别作出图形，构造直角三角形利用勾股定理建

立方程是解题的关键.

【解题过程】

解：当翻折后，点尸在8。下方时，过点尸作FG18C,并延长交于4。于H,

4gH口

「［

E------____________________C

方

■:BF=CF,

.-.BG=CG=^BC=7,

•.•四边形4BCD是矩形，

.♦.4D=8C=14,ADIIBC,则

则四边形4BGH也是矩形，

：.AH=BG=7,AB=HG=3,EH=AH-AE=3,

.-.AB=HE,

由翻折可知，BE=EF,BP=FP,

.-.Rt△ABE=Rt△HEF(HL),

.-.HF=AE=4,则GF=HF-HG=1,

设BP=FP=x,则PG=BG—BP=7—x,

由勾股定理可得：PF2=PG2+FG2,即：%2=(7-x)2+1,解得：X=y,

当翻折后，点尸在BC上方时，过点F作尸G1BC,交于2D于H,

：.BG=CG=|BC=7,

•.,四边形ABC。是矩形，

.-.AD=BC=14,AD||BC,则FH_LAD,

则四边形48GH也是矩形，

.-.AH=BG=7,AB=HG=3,EH=AH-AE=3,

:.AB=HE,

由翻折可知，BE=EF,BP=FP,

.-.Rt△ABEmRt△HEF(HL),

.-.HF=AE=4,则GF=HF+HG=7,

设BP=FP=x,则PGBG-BP^\7-x\,

由勾股定理可得：PF2=PG2+FG2,即：x2=(7-x)2+7,解得：x=7,

..BP=7(此时点P与点G重合)；

综上，8「=7或m.

故答案为：7或今.

10.(23-24八年级下•重庆•阶段练习)如图，己知£、尸分别是矩形ABCD的边4B、CD上的点，连接EF,

将矩形沿EF对折，点4的对应点4恰好落在边BC上，。的对应点为。，4。恰好经过CD的中点若

AB=24B=8,则折痕EF的长度为.

A-------------------D

【思路点拨】

此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理与折叠、全等三角形的判定和性质等知识，设4E=x,则

BE=—=8—x,求出4E=AE=5,BE=AB-AE=3,DM=CM=^CD=4,证明4EBmZiMa'C

(AAS),BE=CA'=3,A'E=A'M=3,贝必0=BC=7,由翻折的性质得到AD=40=7,则M;D=4。一

A'M=7-5=2,设DF=y,贝ijDF=OF=y,MF=DM-DF=4-y,在RtZiOMF中，MF2=D'F2+

D'M2,得到y=5，过点/作FN_L4B于点N,贝叱4=ND=N4NF=90。，AN=DF=],NF=AD=7,

EN=AE-AN===(在Rt△EFN中，EF=y/NF2+EN2=竽.

【解题过程】

解：设力E=x,则BE=4B-4E=8-x,

'.'AB=2ArB=8,

：,A'B=4,

由翻折的性质可知，AE=A'E=x,

•.•四边形ABC。是矩形，

=乙B=Z.C=乙D=90°,CD=AB=8,AD=BC

在RtZkABE中，AfE2=AfB2+BE2,

.,.%2=42+(8—x)2

解得久=5,

.-.AE=A'E=5

.-.BE=AB-AE=3,

•••4。恰好经过CD的中点M,

:.DM=CM=|C£>=4,

由翻折可知，NE4D'==90°,

.-.^EA'B+AMA'C=90°,

-Z-EA'B+/,A'EB=90°,

：.Z.A'EB=Z.MA'C,

又・・£M=A'B=4,zB=ZC=90°,

：.ArEB=△M4c(AAS)

：.BE=CA'=3,4E=A'M=5,

：.BC=4B+4c=4+3=7

：.AD=BC=7

由翻折的性质得到，A,D=AD=7,

：.M'D=A'D-A'M=7-5=2,

设。F=y,则DF=0F=y,MF=DM-DF=4-yf

在RtZkZXMF中,MF2=D'F2+D'M2

.,.(4—y)2=y2+22,

解得，y=|,

过点F作FN14B于点N,则乙4=4。=Z.ANF=90°,

四边形ANFN是矩形，

3

・・.AN=DF=-fNF=AD=7

37

・・.EN=AE-AN==5--=-

在Rt△EFN中，EF=7NF2+EN2=卜+©=竽，

故答案为：竽

11.（22-23八年级下•山东青岛•期末）如图，在矩形/BCD中，。是对角线的交点，AB=1,

28。4=60。，过C作CE1BO于点E,EC的延长线与NBAD的平分线相交于点“，AH与BC交于点F,与BD

交于点M.给出下列四个结论：①BF=BO-②力C=CH-③BE=3DE-④S9CF=等MMF；⑤AH=V6

+V2.其中正确的结论有（填写正确的序号）.

【思路点拨】

先证明△tMB是等边三角形，得08=48,再证△ABF是等腰三角形，得BF=AB,即可得出=B。,

可判定①正确；求得NH=NC4”=15。，得出2c=07,可判定②正确；利用含30。的直角三角形的性质得

出。E=2C£）,AB=池,再由CD=48,BD=DE+BE,即可求得BE=3DE,可判定③正确；过程点M

作MNJ.力B于N,分别求出S44CF=/F,4B=g二，S&BFM=5x]x"工=力工,即可得出S^CF=2

SABFM,可判定④错误；过点〃作HQ_L4B交48延长线于Q,延长DC交HQ于P,先求出PH=1,从而求

得力Q=HQ=8+1,即可求得4H=VZ4Q=e+VL可判定⑤正确.

【解题过程】

解：•••矩形/8C。，

.-.0A=0C=0D=OB,/.BAD=Z.ABC=Z.ADC=90°,

■：^B0A=60°,

.•.△Q4B是等边三角形，

：.0B=AB,40AB=4AB0=60°

•••4H平分NB4D,

：./.HAB=45°,

.-.^AFB=AHAB=45°,

：.BF=AB,

：.BF—OB,

故①正确；

.­.Z.CAH=/-0AB-Z.BAF=60°-45。=15。，

"MF=Z,AMB=180°-60°-45°=75°,

vCE1BD,

.♦/HEM=90°,

.・ZH=90°-75°=15°,

"H="AH,

.-.AC=CH,

故②正确；

•・・矩形45c

：.AB\\CD,AB=CDf

:/CDE=60°,

"DCE=2LADB=30°,

・・.OE=Q,AB=，D,

.t.DE=4BD,

'：BD=DE+BE,

.'.BE=3DE,

故③正确；

在RtZ\4BC中，AB=1,ABAC=60°,

■■.AC=2,BC=V3,

'：BF=AB=1,

...CF=V3-1,

•••S/vic尸=-AB=

过程点”作MN148于N,如图，

・・ZHAB=45°,

・・.44MN=乙HAB=45°,

：,AN=MN,

,•2MBN=60°,

;.MN=WBN,

-MN+BN=AN+BN=AB=1,

.'.BN=

.c—iv1y6T

x1x

♦•'△BFM-7o——；-，

•'•^AACF—2s△BFM，

故④错误；

过点H作HQ14B交ZB延长线于Q,延长DC交HQ于P,

■.■HQLAB,

：./.AQH=90°,

.•.乙4HQ=4HAQ=45°,

■.AQ=HQ,"HP=45°+15°=60°,

■.PC=WPH,

♦:乙BQP=Z.CBQ=Z.BCP=90°

四边形BCPQ是矩形，

：.PQ=BC=®BQ=PC=WPH,

••-1+V3PH=V3+PH,

.-.PH=1,

：.AQ=HQ=y/3+l,

■•AH=五AQ=V6+V2,

故⑤正确，

・•.正确的结论有①②③⑤

故答案为：①②③⑤.

12.(22-23八年级上•江苏淮安•阶段练习)已知，如图，O为坐标原点，四边形04BC为矩形，4(10,0),

《0,4),点。是。力的中点，点尸在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点8运动.

(1)△。P。的面积5=；

(2)当f为何值时，CP=OD?

(3)当△OP。为等腰三角形时，写出点尸的坐标(请直接写出答案，不必写过程).

【思路点拨】

(1)由矩形的性质结合题意可得出。。=《。4=5,yP=4,再利用三角形面积公式计算即可；

(2)由题意得出CP=。。=5,从而即可求解；

(3)分类讨论：①当。。=P。=5时，②当。P=P。时，且位于点。左侧时，③当。P=OD=5时和④

当。。=PD=5,且位于点D右侧时，分别根据等腰三角形的定义和勾股定理求解即可.

【解题过程】

(1)解：••・四边形04BC为矩形，71(10,0),40,4),

■，OA=BC=10,OC=AB=4.

■:点、D是。a的中点，

：.OD=j0A=5.

,•,点P在边BC上运动，

•••yp=4,

:.S—^OD-yp=10.

故答案为：10；

(2)解：・.・CP=OD=5,

CP_

••-t=—=5,

...当t=5时，CP=0D-,

如图点Pi，过点。作DF1BC于尸,

■■PiF=gD2_DF2=3,

.-.CP1=CF—PiF=2,

”1(2,4)；

②当。P=P。时，且位于点。左侧时，如图点P2，过点P2作「2石1。4

••.CP2=0E=1o£>=2.5,

•也(254)；

③当。P=0D=5时，如图点P3，

■.-0C=4,乙OCP=90°,

2

■.CP3=^JoP^-OC=3,

•吗(3,4)；

④当。。=PD=5,且位于点D右侧时，如图点P4，过点作P4G1OA,

•.,P4G=OC=4,

：.DG=qDPA2_p4G2=3,

J.CP4=OG=OD+DG=8,

•'•P4(8,4).

综上可知，当△OPD为等腰三角形时，点P的坐标为(2,4)或(2.5,4)或(3,4)或(8,4).

13.（22-23八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）矩形4BCD中，点E、F在对角线4C上，AE=CF,连接BE、

(2)如图2,当4E=2EF时，连接BF,DE,在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写

,2

出的每个三角形的面积都等于矩形4BCD面积的看.

【思路点拨】

(1)由矩形的性质可得=CD,AB||CD,贝此=通过证明△题《三△CDF(SAS),可得

Z.AEB=乙CFD,由NAEB+乙BEC=180°,Z.CFD+Z.AFD=180。可得N8EC=^AFD,即可得到答案；

(2)作BG12C交4C于G,贝。S4ME=/石•BG,SAABC=^AC-BG,

由4E=2EF,AE=CF,可得4E=|XC,根据高相等的两个三角形的面积之比等于底边之比，可得S“BE=

由矩形的性质可得：=/矩形工，从而可得=三X5s矩形矩形/吕⑺，

_33113

同理可得尸=五S矩形748c0，S^BCE=五S矩形4BczrSMFB=gS矩形/BCZT^AADE=gS矩形力弘。，^AADF=五

13

S矩形/BCD，R矩形/BCD，SMDE=QgS矩形/BCD，即可得到答案•

【解题过程】

(1)证明：,•・四边形"BCD是矩形，

AB=CD,AB||CD,

・••Z-BAE=乙DCF,

(AB=CD

在△ZBE和△COF中，\/-BAC=^DCF,

IAE=CF

•••△ZBE32\CDF(SAS),

•••Z.AEB=Z-CFD,

v/.AEB+乙BEC=180°,乙CFD+^AFD=180°,

・•・乙BEC=Z.AFD,

・•・BE||DF；

贝=夕月,BG,SNBC=“C.BG，

•・•AE=2EF,AE=CF,

AE=^AC,

c_2

,,、RABE—0ZV1BC，

由矩形的性质可得：S&4BC=/矩形/BCD,

•••S^ABE—^AABC=5X5s矩形4Bco=gS矩形4BC0,

同理可得：

_3c_3

^AABFX

=^AABC一55s矩形/BC。=五S矩形力BCO

_3le_Ac

ABCE=^AABCXd

S一52矩形/BC。一奇矩形ZBC。'

2_2

ABCF=^AABCX

S一55s矩形/Bco=gS矩形48co，

_2c_2入-1c

AADEX

S=5->AT4CD一5p矩形/BCO-“矩形ZBCO'

_3c_3

AADFX

S—^AACD一55s矩形4Bco=y^S矩形4BCO，

_2人-1c

MDF=^AACDX_d

S一5亍矩形ZBCO5矩形/BCO'

3_3i_Ac

CDE=^AACDXc

S^一5声矩形力BCO一谈矩形力BCO'

，综上所述，△ABF、ABCE.AADF,△CDE的面积为矩形力BCD面积的行.

14.（23-24八年级下•江苏无锡•阶段练习）已知如图，矩形4BCD中，AB=5,P为2C上一个动点,

BP=m,点、B关于直线4P的对称点是点E.

(1)当爪=2时，若直线PE恰好经过点。，求此时4D的长；

(2)若4D足够长，当点E到直线4。的距离不超过3时，求加的取值范围.

【思路点拨】

(1)根据点2关于直线AP的对称点是点E可证得4E=4B=5,PE=PB=m,^AEP=AABP,

乙4PE=NAPB,进而可证4£>=PD,设4D=PD=X,则0E=X—2,AE-5,根据勾股定理列出方程解

答即可；

(2)分两种情况进行讨论：①当E点位于直线4。上方且到力D距离为3时；②当£点位于直线力D下方且

到4。的距离为3时.

【解题过程】

(1)如图，

••,点B关于直线2P的对称点是点E,

：.AE=AB=5,PE=PB=m,/.AEP-/.ABP,/.APE=乙APB.

•.•四边形4BCD是矩形，

."=90。，AD||BC,

：./.AEP=/.AED=90°,4PAD=4APB,

■■.Z-PAD=Z.APD,

:.AD—PD,

在△4DE中，设40=PD=x,

.■.DE=x—2,AE=5,

.,.(x—2)2+52=x2,

解得X=彳，

即2。的长为弓;

4

(2)当£点位于直线40上方且到49距离为3时，如图1,过点E作

・•・四边形4BC”是矩形，

.-.AH=BG,GH=AB.

在中，AE=5,EH=3,

.'.AH=4,

在△EPG中，PE=m,PG=4—m,EG=2,

.,.(4—m)2+22=m2,

解得m=I，

当E点位于直线2D下方且到4。的距离为3时，如图2,过点E作GH14B,

:.EH=4,

在△EPG中,PE=m,PG=8,EG=m—4,

.,.(m—4)2+82=m2,

解得m=10,

・•・当点E到直线2D的距离不超过3时，m的取值范围为•!<m<10.

15.(22-23八年级上•江苏镇江・期末)如图1,在长方形4BCD中，NA=NB=90。，含45。角的直角三角板

放置在长方形内，4FEG=90°,EG=EF,顶点E、F、G分别在AB、BC、AD±_.

(1)求证：4AEG34BFE；

(2)若P是斜边FG的中点.

①如图2,连接EP,请写出线段EP与4G、BF之间的数量关系，并说明理由；

②如图3,连接BP,若AB=3a,则BP的长等于

【思路点拨】

(1)根据矩形的性质得到“=NB=90。，根据余角的性质得到41EG=NBFE,根据全等三角形的判定定

理即可得到结论；

(2)①由(1)知，a/lEG三△8FE,根据全等三角形的性质得到AE=BF,根据勾股定理和直角三角形的

性质即可得到结论；②过G作GM1BC于M,过P作PN1BC于N,贝"PN||GM,四边形2BMG是矩形，根据

矩形的性质得到4B=3近，AG=BM,根据全等三角形的性质得到4G=BE,设4G=BE==x,根据

勾股定理即可得到结论.

【解题过程】

(1)证明:•••四边形48co是长方形，

・・・44-L.B-90°,

vzFEG=90°,

：.Z.AEG+乙BEF=乙BEF+乙BFE=90°,

：.Z-AEG=Z-BFE,

-EG=EF,

△AEG=△BFE(AAS);

(2)解：①EP=,BF2+AG2；理由：

由(1)知，△AEG=ABFE,

：.AE=BF,

“FEG=90°,EG=EF,

.--FG=V2EG,

■■■EG=7AE2+力G2=yjBF2+AG^,

：.FG=&'BF2+AG2,

”是斜边FG的中点，

：.EP=#G=,BF2+AG2；

②过G作GMIBC于M,过P作PN1BC于N,则PN||GM,四边形4BMG是矩形,

图3

.-.GM=AB=3V2,AG=BM,

•；P是斜边FG的中点，

;.PN=池=当

•••AAEG三ABFE,

：-AG=BE,

设力G=BE=BM=x,则BF=AE=3V2-x.

;.FM=BF—BM=3V2-2%,

■■BN=3V2-x-|x(372-2%)

BP=7PN2+BN2=3.

故答案为：3.

16.(22-23八年级下•湖南长沙•期中)如图，在矩形A8CD中，AD=4,4B=3,点£为4。中点，连接

BE,CE,点尸为BE中点，点G为线段CE上一点，连接力F,FG.

(1)如图1,若点G为CE中点，求证：四边形4FGE为平行四边形;

(2)如图2,若点G使得NFGE=2NECD,求四边形4FGE的面积；

(3)如图3,连接BG,若点G使得NE8G=45°,求CG的长.

【思路点拨】

(1)运用三角形的中位线定理和矩形的性质得到力E=FG,FGWAD,进而得到四边形4FGE为平行四边形;

(2)连接BG,先证明aaBE三△£)(：£得至UNHBE=NOCE,再推导得到NBGE=90。，然后计算面积即可;

(3)过点E作EM1BE交BG延长线于点M,作MT1EC于点T,作BR1EC于点R,得到△BRE三

然后利用三角形的面积求出边的长度即可.

【解题过程】

(1)证明：•.・点F为BE中点，点G为CE中点

FG||BC,FG=1BC

矩形ABCD

■■.ADWBC,AD=BC

■.FG||A